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底部钻具组合(BHA)是井眼轨迹控制的核心部件，其造斜率的准确预测和控制是复杂结构井工程的关键技术之一[1-10]。国内外学者对导向钻具造斜率的预测方面做了大量的研究，其预测方法主要经历了几何法[11]、力学法[12-13]、轨迹法[14]、极限造斜率法[15]的过程。
几何法假设BHA处于小变形状态或钻具组合长度较短的情况下，将钻头、下稳定器、上切点当作同一圆弧上的3个点，求解该圆弧的曲率作为BHA的造斜率，然而该方法并未考虑钻具刚度及钻井参数[16-17]。力学法采用静力学计算导向钻具组合钻头处的机械合力，将合力作用线与井眼轴线的夹角作为导向工具造斜率的预测结果，但该方法并未考虑钻头切削性能和地层各向异性[18-21]。轨迹法通过计算钻头侧向力和钻压联合作用下的合位移，确定合位移方向与钻头轴线的夹角，阐明了钻进过程中的运动趋势，但是钻进趋势角与造斜率之间缺少明确的定量关系，不利于造斜率的准确评估。极限曲率法采用了最小势能原理，将钻头侧向力为0或趋近于0时的井眼曲率作为导向工具造斜率的评价标准，但是未充分考虑钻头切削性能和地层各向异性的影响。总之，目前造斜率的计算方法仍存在不足，加之参数的不确定性，使得导向工具造斜率的理论计算值与实际值存在较大的误差。
本文在前人研究的基础上，综合考虑工具结构、钻井参数、轨迹参数及钻头-地层相互作用等影响，建立了基于零侧向钻速准则的滑动钻进造斜率计算方法，并从“杠杆效应”和“钟摆效应”的角度揭示了造斜率的影响机理，为导向钻具组合的结构设计、造斜率预测、钻具优选及钻井参数优化等提供了分析手段。
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在定向钻进过程中，导向工具受到钻压、扭矩、支反力、自重等载荷作用。将BHA分解成多个梁的组合，针对每一段梁，考虑纵向和横向载荷的作用来计算梁的变形，建立BHA的三维力学模型。由于钻头处在井斜平面、方位平面内都会存在侧向力的作用，在钻压、侧向力的作用下，井下管柱所受多种载荷的大小、方向也会进行相应变化，钻出的井眼轨迹为三维曲线，因此可将三维力学问题转化为两个二维力学问题进行求解，控制方程为
$$ \frac{{{{\text{d}}^4}{u_k}}}{{{\text{d}}{s^4}}} + \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}s}}\left ( {\frac{F}{{EI}}\frac{{{\text{d}}{u_k}}}{{{\text{d}}s}}} \right) = {K_{\text{B}}}{q_k} \quad\quad (k = 1,2) $$ (1) 式中，k=1代表井斜平面，k=2代表方位平面；
${u_k}$ 为管柱在井斜平面或方位平面上的横向位移，m；s为管柱任意一点的弧长，m；EI为相应的抗弯刚度，N · m2；F为轴向力，N；KB为管柱的浮力系数，KB=1−ρd/ρs；ρd为钻井液密度，g/cm3；ρs为管柱的材料密度，g/cm3；qk为管柱线重投影到井斜平面或方位平面的分量，N/m；由于井斜平面与方位平面相互垂直，管柱线重qk在方位平面上的投影始终为0，即q2为0。本文利用加权余量法求解了导向钻具组合的变形问题，需要构造BHA的变形试挠度函数作为控制方程的近似解，即可令BHA第j跨的试挠度函数为
$$ {u_{k,j}}\left ( s \right) = \sum\limits_{i = 1}^5 {{C_{k,i,j}}{s^{5 - i}}\quad\quad {\left ( {j = {\text{1,2}}, \cdots ,n{\text{ + 1}}} \right)} } $$ (2) 式中，Ck,i, j为井斜平面和方位平面的待定系数，无因次；n表示导向钻具单元节点个数，节点包括BHA的结构弯角、稳定器、管柱与井壁的接触点等。
假定底部钻具的下部边界为铰支约束，钻具上端躺在井眼底边，即
$$ \left\{ \begin{gathered} {u_{k,n + 1}}({L_{k,n + 1}}) = ({1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{\kappa _k}}}} \right. } {{\kappa _k}}} + {\lambda _k} \cdot {r_{n + 1}})\cos {\psi _{k,n + 1}} - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{\kappa _k}}}} \right. } {{\kappa _k}}} \\ {{u'}_{k,n + 1}}({L_{k,n + 1}}) = - (1 + {\lambda _k} \cdot {r_{n + 1}} \cdot {\kappa _k})\sin {\psi _{k,n + 1}} \\ {{u''}_{k,n + 1}}({L_{k,n + 1}}) = - (1 + {\lambda _k} \cdot {r_{n + 1}} \cdot {\kappa _k})\cos {\psi _{k,n + 1}} \cdot {\kappa _k} \end{gathered} \right. $$ (3) 式中，
$ {u'_k} $ 和$ {u''_k} $ 分别表示$ {u_k} $ 的1阶导数和2阶导数；Lk,n+1表示钻具上切段的长度在井斜平面和方位平面的投影，m；λk为无因次系数(如果将Lk,n+1投影至井斜平面，λ1=1；如果投影至方位平面，需要考虑投影所产生的居中效应，此时λ2=0)；rn+1表示上切点处的井眼视半径，m；ψk,n+1表示钻头至钻具上切点的狗腿角在井斜平面和方位平面上的投影，rad；κk表示井眼曲率在井斜和方位平面上的分量，rad/30 m。将式(2)代入到边界条件式(3)中可得到关于Ck,i, j的线性方程，将式(2)代入到控制方程式(1)并利用子域法可得到关于Ck,i, j的线性方程。由于钻具上切段长度是待定的，因此需要采用迭代法求解所有的未知量。
钻头处(j=1)的轴向力F1和支反力Nsk，1可表示为
$$ \left\{ \begin{gathered} {F_1} = {W_{{\text{ob}}}} \\ {N_{{\text{s}}k,1}} = 6E{I_1}{C_{k,2,1}} + {W_{{\text{ob}}}}{C_{k,4,1}} \\ \end{gathered} \right. $$ (4) 其余各跨节点(j=2,···,n+1)的轴向力Fj和支反力Nsk，j表示为
$$ \left\{ \begin{gathered} {F_j} = {F_{j - 1}} + {K_{\rm{B}}} \cdot \sum\limits_{j = 2}^{N + 1} {{q_{{\text{1}},j - 1}} \cdot {L_{j - 1}} \cdot \cos {\beta _{j - 1}}} \\ {N_{{\text{s}}k,j}} = - E{I_j}(24{L_{k,j}}{C_{k,1,j}} + 6{C_{k,2,j}}) + 6E{I_{j{\text{ + 1}}}}{C_{k,2,j + 1}} \\ \end{gathered} \right. $$ (5) 式中，Wob为钻压，一般无论对于井斜平面还是方位平面，钻头处的轴向力F1等于钻压，N； Nsk，1为钻头处的支反力，可表示为钻头处井斜平面和方位平面的侧向力，N；L j−1为管柱第j−1跨的弧长，m；Lk, j为管柱在井斜平面和方位平面第j跨的弧长，m；βj−1为管柱第j−1跨的井斜角，rad。
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在定向造斜过程中，一般采用滑动钻进方式进行导向钻进。然而在实际工况中，接触点产生较高的摩阻会使得BHA难以连续滑动，甚至会大大降低管柱的轴向力传递效率，因此需要合理计算滑动钻进时管柱的摩阻分布。依据式(4)、式(5)，可得到三维井眼中各跨段管柱的轴向载荷和摩阻计算公式。
$$ {F_{{\text{r}},j}} = {F_j} \pm {f_j} $$ (6) $$ {f_j} = \mu \sqrt {N_{{\text{s}}1,j}^2 + N_{{\text{s}}2,j}^2} $$ (7) 式中，Fr, j为第j跨管柱的实际轴向载荷，N；fj为第j跨管柱的摩阻，N；μ为管柱的轴向摩阻系数。
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在钻头与地层相互作用的影响下，钻头的位移方向并非与其机械合力方向一致。为了得到更加精确的造斜率计算模型，本文考虑BHA实际钻进过程的影响，即侧向钻速为0，建立滑动钻进造斜率的计算方法。
根据式(4)，进一步考虑钻头与地层相互作用[18]，建立井斜平面和方位平面上的钻速方程。
$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{R_{\text{a}}}} \\ {{R_k}} \end{array}} \right]{\text{ = }}{D_{\text{n}}}{{\boldsymbol{R}}^{\text{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{} \\ {}&{{I_{{\text{r}}k}}} \end{array}} \right]{\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{S}}^{\text{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{} \\ {}&{{I_{\text{b}}}} \end{array}} \right]{\boldsymbol{S}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_1}} \\ {{N_{{\text{s}}k,1}}} \end{array}} \right] $$ (8) 式中，Ra、Rk分别为沿井眼轴线方向、井斜以及方位平面侧向方向上的钻速分量，m/h；Dn为标准(法向)钻井效率；R为井底坐标与地层坐标的转换矩阵；S为井底坐标与钻头坐标的转换矩阵；Irk为地层各向异性指数；Ib为钻头的各向异性指数。
由于式(3)中的井眼曲率κk并未得到解决，因此第1次迭代所得到钻头在井斜平面和方位平面处的侧向力Nsk，1中含有井眼曲率κk。为了确定式(3)中的井眼曲率κk，需要在第1次迭代的基础上，基于零侧向钻速准则，对式(8)再次进行牛顿迭代求解，可构造目标函数为
$$ {R_k}\left ( {{\kappa _k}} \right) \to 0 $$ (9) 考虑滑动钻进过程中工具面的影响，结构弯角的存在会导致BHA的作用方向线与管柱轴线构成一个工具面。在滑动钻进时，由于钻头侧向力的变化，导致工具造斜能力无法用某一特定的工具面去进行表述，因此需要通过调整装置角从0°到 360°的变化范围来表征结构弯角的方位，如图1所示。
图 1 滑动钻进工具面的示意图
Figure 1. Schematic diagram of the tool face during sliding
图1中x、y、z轴相互正交并构成了井斜α平面和方位φ平面，交点为钻头；N表示正北方向；Φc为装置方位角，rad；Azc为导向钻具投影在水平面上的方位角，rad；ω为高边模式中，工具面与井底平面的交线所转过的装置角，rad；θ为导向钻具的结构弯角值，rad。
根据图1，结构弯角的方位表示为
$$ {\overline \theta _k} = \left\{ \begin{gathered} \theta \sin \omega \begin{array}{*{20}{c}} {}&{(k = 1)} \end{array} \\ \theta \cos \omega \begin{array}{*{20}{c}} {}&{(k = 2)} \end{array} \\ \end{gathered} \right. $$ (10) 式中，
$ {\overline \theta _k} $ 为结构弯角在井斜平面和方位平面的投影值，rad。根据式(9)，利用牛顿迭代法进行求解，并引入式(10)中结构弯角方位变化的影响，将侧向钻速为0时井眼曲率作为滑动钻进的造斜率，计算公式为
$$ {\kappa _{\text{L}}} = \sqrt {\kappa _{{\text{1}},\omega }^{\text{2}}{\text{ + }}\kappa _{{\text{2}},\omega }^{\text{2}}} $$ (11) 式中，κL为滑动钻进在某一工具面下的理论造斜率，κ1,ω和κ2,ω分别为BHA在某一工具面对应的造斜率在井斜平面和方位平面上的投影，rad/30 m。
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根据钻速方程式(8)可知，钻头各向异性指数Ib和地层各向异性指数Irk的确定是准确预测工具造斜率的关键所在。一般地，Ib和Irk可以通过实钻资料进行反演计算。当Ib=1时，钻头为各向同性；当0＜Ib＜1时，钻头的轴向切削能力强，并且当Ib越小时，钻头的轴向切削能力越强；当Ib＞1时，钻头的侧向切削能力强。然而，即使在均质的各向同性地层条件下，钻头实际的运动轨迹也并非沿着机械合力的方向。对于Irk而言，在考虑地层层面各向差异和Ib的影响下，会使得Irk确定更加困难。因此，本文假设地层为各向同性的均质地层(Irk=1)，进一步简化了式(8)计算的复杂性，并引入折算系数对式(11)进行修正，得到实际造斜率的计算公式为
$$ {\kappa _{\text{A}}} = \lambda {\kappa _{\text{L}}} $$ (12) 式中，
$ {\kappa _{A} } $ 为滑动钻进时真实造斜率，rad/30 m；λ为折算系数，无因次。引入折算系数，可将地层各向异性、实钻过程等参数引入到造斜率预测模型中，λ的取值范围大致为0.3~0.9。 -
以涪陵地区一口页岩气水平井为例，该井完钻井深4 734 m，水平段长度1 930 m (包括口袋长度30 m)，造斜点深度489 m，水平位移2 421.45 m。该井的水平井段长，地层承压能力低，密度窗口窄，钻进时易发生窜气、窜水等复杂情况，致使在滑动钻进过程中，随着井深的增加，摩阻越来越大，井眼轨迹难以得到良好的调控。现场施工在造斜段中使用的钻具组合及对应的工况参数如下。
钻具组合：Ø215.9 mm混合钻头+Ø172 mm×1.25°单弯螺杆+浮阀+Ø127 mm无磁承压钻杆+LWD短节(411×410)+Ø127 mm无磁承压钻杆+Ø127 mm加重钻杆×9根。参数：钻压120~160 kN，方位角180°，钻井液密度1.39 g/cm3，钻头各向异性指数0.2。
依据该井的实钻轨迹数据、钻具组合参数、工况参数以及钻头的切削特性，反演计算了滑动钻进工具的造斜率，绘制了造斜率折算系数反演图版，并采取相对误差来评估造斜率计算模型的精度，如图2所示。工程中一般采用(°)/30 m作为造斜率的单位，因此本文将结果图中造斜率数值的理论结果单位rad/30 m换算成(°)/30 m。
图 2 滑动钻进造斜率折算系数反演图版
Figure 2. Inversion chart of the build-up rate conversion coefficient during sliding
图2结果表明，滑动钻进工具造斜率的实测值主要分布在折算系数(λ)取值为0.4~0.5之间，当折算系数取值为0.45时，造斜率实测值与预测值的平均相对误差为6.36%，验证了造斜率预测模型的合理性。该折算系数综合考虑了地层各向异性、钻进过程等影响，为涪陵地区钻具优选、钻井参数优化等提供依据。
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针对于不同的工具结构，本文分析了滑动导向在不同钻压、井斜角、钻头各向异性及工具面下造斜率的影响规律，计算结果如图3~图6所示。整体结果表明，滑动导向模式下导向工具结构弯角(θ)对造斜率的敏感性大于钻井参数、轨迹参数及钻头侧向切削能力的敏感程度。由于结构弯角值的增加，加大了弯角与井壁之间的接触，有利于杠杆效应的充分发挥，因此BHA的整体造斜能力也将不断提高。
图 3 滑动钻进时造斜率随钻压的变化
Figure 3. Build-up rate vs. weight on bit during sliding
图 4 滑动钻进时造斜率随井斜角的变化
Figure 4. Build-up rate vs. well inclination during sliding
图 5 滑动钻进时造斜率随钻头各向异性指数的变化
Figure 5. Built-up rate vs. bit anisotropy during sliding
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图3为滑动钻进过程中，井斜角为60°条件下，造斜率随钻压的变化。对于具有增斜效应的滑动导向工具而言，造斜能力随钻压的增加而增强，然而当钻压增加至120 kN后，造斜率的整体趋势略微下降，其主要原因是高钻压下结构弯角处的支反力与钻压之比变小，进而减弱了结构弯角对钻进轨迹的作用。
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图4为滑动钻进过程中，钻压值为140 kN条件下，造斜率随着井斜角的变化规律。结果表明，当井斜角由40°变化至60°时，造斜率呈现略微增大的趋势。因为该过程结构弯角接触井壁产生的杠杆效应大于BHA在重力作用下产生的钟摆效应，并且产生的杠杆效应会增加钻头对地层的侧向切削作用；随着井斜角继续增加，造斜率略微下降，因为随着滑动钻进接近于水平段，BHA在重力作用下产生的钟摆效应逐渐增强。
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图5分析了钻压140 kN、井斜角60°条件下，钻头各向异性指数Ib对造斜率的影响规律。随着Ib的增大，钻头的侧向切削能力不断增强，进而提高了工具的造斜能力。说明轨迹变化能力与钻头的侧向切削能力密切相关，提高钻头的侧向切削能力，有利于导向工具杠杆效应的充分发挥。
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图6分析了钻压140 kN、井斜角60°条件下，不同工具面对造斜率的影响规律。对于具有增斜效应导向工具而言，当工具面指向井眼高边 (ω=0°) 时，结构弯角上部钻柱重力会加强结构弯角处产生的杠杆效应，此时工具造斜率最大；随着工具面顺时针旋转至井眼低边(ω=180°) ，结构弯角上部钻柱重力会抑制杠杆效应，使得造斜率逐渐降低。
图 6 滑动钻进时造斜率随工具面的变化
Figure 6. Built-up rate vs. tool face during sliding
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结构弯角的增加虽然会增大工具的造斜性能，但过大的弯角会造成BHA在井内难以滑动。图7为BHA在滑动钻进过程中钻压140 kN、轴向摩阻系数0.7条件下的平均摩阻，通过计算得出，随着钻进轨迹的变化、钟摆效应的逐渐增强，BHA与井壁间产生的平均摩阻增加。结构弯角的增大，加大了BHA与井壁产生的支反力，因此管柱的平均摩阻会随结构弯角的增加而增加。
图 7 不同结构弯角下的平均摩阻
Figure 7. Average friction vs. structural bend angle
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(1)针对滑动钻进过程，基于零侧向钻速准则，建立了滑动钻进过程中造斜率的计算方法。通过现场实钻数据进行验证，其计算值与理论值吻合良好，该方法可为后续的理论研究及实际应用提供依据。
(2)滑动导向模式下，造斜率对工具结构弯角的敏感性大于钻井参数、轨迹参数及钻头侧向切削能力的敏感程度。这是因为结构弯角值的增加，明显加大了杠杆效应，因此在实际钻进过程中，可根据滑动钻进过程的特点，合理设计优化工具结构。
(3)在杠杆效应的作用下，钻压和井斜角的增加，均有助于提高工具的造斜能力。然而，过高的钻压会减弱结构弯角对轨迹的相对作用，过大的井斜角会加大管柱对地层的钟摆效应，这些因素均会降低工具的造斜能力，其结果对于钻压影响而言更为明显。
(4)随着工具面由井眼高边旋转至井眼低边，结构弯角上部钻柱重力对结构弯角处的杠杆效应由加强转为抑制，因而钻具的造斜性能会逐渐降低，且结构弯角值越大，造斜率减弱的趋势越明显。
(5)在滑动钻进工况下，不同的结构弯角不仅会影响工具造斜率，也会导致导向钻具上摩阻的不同。因此，需要综合考虑工具造斜率、摩阻扭矩等因素的影响，合理地设计工具结构，优化钻井参数，以充分提高滑动钻进效率。
Prediction and analysis of build-up rate during sliding drilling
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摘要: 滑动钻进工况下造斜率的准确预测是钻井工程面临的难点问题。首先利用加权余量法，建立了导向钻具组合的三维力学模型，得到了滑动钻进过程下钻头机械载荷及导向钻具组合的摩阻分布；其次考虑滑动钻进过程中工具的造斜特性，建立了零侧向钻速准则下的滑动钻进造斜率预测模型及折算系数反演方法；最后利用一口页岩气水平井钻井数据，反演计算了该井造斜率折算系数，验证了滑动钻进造斜率预测模型的精度，并分析了钻井参数、轨迹参数、钻头切削特性、工具结构等对工具造斜率和摩阻的影响规律。研究结果表明：滑动导向模式下，通过适当增加工具结构弯角、降低钻压、提高钻头侧向切削能力等，有利于发挥工具的造斜性能，提高滑动钻进效率，为导向钻井参数优化、工具结构优化设计及井眼轨迹控制等提供重要依据。Abstract: The drilling engineering is facing difficulties in accurately predicting the build-up rate during the sliding drilling operation. First, this research developed the three-dimensional mechanical model of the steering bottomhole assembly (BHA), based on the weighted residual method, and calculated the mechanical load of the bit and friction distribution in the steering BHA during sliding. Moreover, given the build-up characteristics of the tool during sliding, the sliding build-up rate prediction model with a zero side penetration rate and the inversion method of the conversion coefficient were developed. At last, the build-up rate conversion coefficient of a shale gas horizontal well was inverted from its drilling data and this application confirms the precision of the proposed sliding build-up rate prediction model. Besides, the effects of drilling parameters, trajectory parameters, cutting characteristics of the bit, and tool structure on the build-up rate and friction of the tool are investigated. It is shown that during the sliding steering, it is in favor of improving the build-up performance of the tool and the sliding drilling efficiency to properly increase the structural bend angle of the tool, lower the weight on bit, and enhance the side cutting performance of the bit. The findings of this research provide vital references for optimizing the steering drilling parameters, tool structure design, and well trajectory control.
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Key words:
- sliding drilling /
- steering drilling tool /
- build-up rate /
- friction /
- structural bend angle /
- trajectory control
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图 2 滑动钻进造斜率折算系数反演图版
Figure 2. Inversion chart of the build-up rate conversion coefficient during sliding
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