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P-S-N曲线是指在给定存活概率下, 疲劳实验所得循环应力与疲劳寿命的关系曲线, 简称概率疲劳寿命曲线[1]。抽油杆高载荷往复运动过程中受到交变应力作用, 达到一定限度时抽油杆断裂, 即发生疲劳破坏。为研究抽油杆疲劳性能, 进行室内疲劳实验研究, 通过拟合数据获得的P-S-N曲线对曲线拟合程度要求很高。
针对抽油杆P-S-N曲线的拟合方法, 多位学者进行了相关研究。宋开利(2003)提出利用K-S方法验证疲劳实验的数据分布, 以及P-S-N曲线线性拟合模型[2]; 林元华等(2005)基于抽油杆轴向载荷的数学模型, 建立了疲劳寿命的预测模型[3]; 李大建等(2015)基于疲劳实验数据计算了H级抽油杆P-S-N曲线的方程[4]。以上研究均作出假设:同一循环应力下, 疲劳寿命满足正态分布; 指定存活概率下疲劳寿命和循环应力对数线性相关。然而, 大量疲劳实验数据表明:不同循环应力下, 疲劳寿命的分布不完全满足正态分布, 且方差不同; 中、长寿命区材料在指定存活概率下, 疲劳寿命和循环应力的对数线性相关程度低, 从而导致回归误差大[5-8]。超高强度抽油杆的主要特点为疲劳强度高, 属于中、长寿命区材料, 其拟合模型不再满足拟合普通抽油杆的假设条件, 需要提出新的拟合方法。
利用Box-Cox变量变换法解决疲劳寿命不服从正态分布的问题, 能够实现高拟合优度, 又能保证信息不丢失。而针对模型的不适用性, 根据典型S-N曲线趋势提出三参数拟合模型。
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Box和Cox于1964年提出Box-Cox变量变换法, 原理为对因变量y作以下变换[9]
$$ y^{(\lambda)}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{y^{\lambda}-1}{\lambda} & (\lambda \neq 0) \\ \lg y & (\lambda=0) \end{array}\right. $$ (1) 式中, λ为待定参数。
Box-Cox变量变换法的特点:变换因变量y前后, 自身遵循规律不发生变化, 信息不丢失, 且回归模型满足正态分布。对于X=[x1, x2, …, xn]T和Y=[y1, y2, …, yn]T, 变换后Y(λ)=[y1(λ), y2(λ), …, yn(λ)]T满足方程
$$ \boldsymbol{Y}^{(\lambda)}=\alpha \boldsymbol{X}+\varepsilon \quad \varepsilon \sim N\left(0, \sigma^{2}\right) $$ (2) 式中, α为矩阵Y(λ)和X的相关系数。
$$ z_{i}^{(\lambda)}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{y_{i}^{\lambda}}{\left(\prod\limits_{i=1}^{n} y_{i}\right)^{\frac{\lambda-1}{n}}} & (\lambda \neq 0) \\ \left(\ln y_{i}\right)\left(\prod\limits_{i=1}^{n} y_{i}\right)^{\frac{1}{n}} & (\lambda=0) \end{array}\right. $$ (3) 式中, zi(λ)为yi经过λ值转换的求参因变量。
确定λ值的方法:先确定λ值的取值范围, 给定初值, 通过计算得出Z(λ)= [z1(λ), z2(λ)…zn(λ)]T, 误差残差平方和R(λ, Z(λ))=Z(λ)T[I–X(XTX)–1XT]Z(λ), λ所求值即为满足minR(λ, Z(λ))的值。
疲劳实验数据为某一循环应力对应的多组疲劳寿命数值, 即X样本为定值, 认为minR(λ, Z(λ))=Z(λ)TZ(λ)。据此求得不同循环应力下对应的λ值, 完成所有疲劳实验数据的Box-Cox变量变换。解决了不同循环应力下, 疲劳寿命的分布不完全满足正态分布的问题。
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以往的抽油杆P-S-N曲线模型原理:指定存活概率P下, 疲劳寿命N与循环应力S的对数线性相关, 为
$$ \lg N_{\mathrm{P}}=m_{\mathrm{P}} \lg S+\lg C_{\mathrm{p}} $$ (4) 式中, NP为存活概率(即可靠度)P下的疲劳寿命; S为循环应力, MPa; mP, CP为存活概率P下的待定系数。
令YP=lgNP, X=lgS, β1=mP, β2=lgCP。式(4)变换为线性关系式为
$$ Y_{P}=\beta_{1} X+\beta_{2} $$ (5) 当疲劳寿命N趋近无限大时, 循环应力趋近疲劳极限S0, S-N曲线趋势与指数函数相近。提出适用于中、长寿命区材料S-N曲线的模型为
$$ N=C\left(S-S_{0}\right)^{m} $$ (6) 式中, m, C为材料常数。
给定存活率P下, 变形为三参数P-S-N曲线模型方程为
$$ \lg N_{P}=m_{P} \lg \left(S-S_{P 0}\right)+\lg C_{P} $$ (7) 式中, SP0为存活率P下的疲劳极限。令X=lg(S–SP0)、YP=lgNP、β1=mP、β2=lgCP, 式(7)可以变形为式(5)的形式, 与以往抽油杆拟合过程不同的是X值的计算方法以及YP经过了Box-Cox变量变换这个步骤。因此虽然最后拟合模式均为线性拟合, 但参数发生变化。
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对线性方程式(5)的拟合使用最小二乘法
$$ y_{P}=\bar{y}+\mu_{P} \sigma $$ (8) 式中, y为某一循环应力下疲劳寿命对数样本的平均值; σ为该循环应力下疲劳寿命对数样本的方差; μP为可靠度P时标准正态分布的下侧分位数(可查表获得)。
据此获得k组循环应力X=[lg(S1–SP0), lg(S2–SP0), …, lg(Sk–SP0)]T下的Yp=[yP1, yP2, …, yPk]T。最小二乘法拟合线性关系的原理为
$$ \begin{array}{c} \beta_{1}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{k} \lg \left(S_{i}-S_{P 0}\right) y_{P i}-\frac{1}{k} \sum\limits_{i=1}^{k} \lg \left(S_{i}-S_{P 0}\right) \sum\limits_{i=1}^{k} y_{P i}}{\sum\limits_{i=1}^{k}\left[\lg \left(S_{i}-S_{P 0}\right)\right]^{2}-\frac{1}{n}\left[\sum\limits_{i=1}^{k} \lg \left(S_{i}-S_{P 0}\right)\right]^{2}} \end{array} $$ (9) $$ \begin{array}{c} \beta_{2}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{k} y_{P i}-\frac{\beta_{1}}{k} \sum\limits_{i=1}^{k} \lg \left(S_{i}-S_{P 0}\right) \end{array} $$ (10) 拟合产生的误差V表示为
$$ V=\sum\limits_{i=1}^{k} \sum\limits_{j=1}^{n}\left|N_{j}-\hat{N}_{j}\right| $$ (11) 最后得出拟合公式为
$$ \hat{N}=10^{\beta_{2}}\left(S-S_{P 0}\right)^{\beta_{1}} $$ (12) 式中,
为拟合所得的疲劳寿命。 -
根据上述理论, 确定P-S-N曲线拟合步骤。
(1) 进行疲劳实验, 测定循环应力Si(i=1, 2, …, k)的疲劳寿命Nj(j=1, 2, …, n)。
(2) Box-Cox变量变换, 循环应力Si下, 先给定λ值的取值范围, 给定初始值, 利用式(3)由Nj求得Z(λ), 在取值范围内试算满足minR(λ, Z(λ))=Z(λ)TZ(λ)的λ值。以此方法计算出其他循环应力下的λ值。用式(1)对Si下Nj进行Box-Cox变量变换, 使其满足正态分布, 得出Si对应新的Nj值。
(3) 给定可靠度P, 根据式(8)计算YP=[yP1, yP2, …, yPk]T。
(4) 假定SP0, 计算X=[lg (S1–SP0), lg(S2–SP0), …, lg(Sk–SP0)]T。
(5) 根据式(9)和式(10)最小二乘法拟合线性方程计算β1, β2。
(6) 根据式(11)计算V值, 然后返回第(4)步重新假设SP0值, V达到最小值则停止计算, 记录试算最后一步的SP0值。
(7) 得出可靠度P下, 超高强度抽油杆P-S-N曲线方程式(12)。
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根据SY/T 5029—2013《抽油杆》附录L中钢制抽油杆疲劳性能要求和实验方法, 利用PLG-300C电磁谐振高频疲劳实验机进行了18组超高强度抽油杆的疲劳实验, 每组7根试件(2根备用)。试件发生疲劳断裂时, 如果疲劳寿命不低于106, 则为合格, 认为是有效数据, 否则无效。筛选出2种类型的超高强度抽油杆(HY型和HL型)在不同循环应力下的疲劳寿命数据, 见表 1。分别利用新方法和以往方法对实验所得数据进行了P-S-N曲线拟合, 并计算相应的误差值, 计算结果见表 2。
表 1 超高强度抽油杆疲劳实验
Table 1. Fatigue test on ultra-high-strength pumping rod
表 2 计算结果
Table 2. Calculation results
由表 2可以看出, 可靠度为50%和95%时, 采用新方法拟合的曲线偏差更小, 其相对误差降低到以往方法的11%~30%, 说明基于Box-Cox变量变换法的三参数P-S-N曲线模型与实验数据吻合程度更高, 更能代表超高强度抽油杆的力学性能。
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(1) 针对一定循环应力下的超高强度抽油杆, 其疲劳寿命不完全满足正态分布以及以往模型不适用的问题, 提出了基于Box-Cox变量变换法的三参数P-S-N曲线模型:Box-Cox变量变换法能够保证信息不丢失, 且模型满足正态分布; 三参数P-S-N曲线模型符合典型S-N曲线的趋势, 是对以往模型的优化。
(2) 实验结果表明, 新方法将拟合曲线的相对误差降低到了1.46%~4.12%, 仅为以往模型的11%~30%, 提高了P-S-N曲线的拟合精度和可信度。因此, 新方法更适用于超高强度抽油杆P-S-N曲线的拟合, 更能代表超高强度抽油杆的力学性能。。
A new fitting method for P-S-N curve of ultra-high-strength sucker rod
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摘要: P-S-N曲线是超高强度抽油杆力学性能分析的主要依据，其拟合方法通常参照于普通抽油杆。然而实验数据表明，超高强度抽油杆并不满足普通抽油杆P-S-N曲线拟合模型的假设条件。为了研究适应于超高强度抽油杆的P-S-N曲线拟合方法，提出了基于Box-Cox变量变换法的三参数P-S-N曲线拟合模型，其中Box-Cox变量变换法解决了一定循环应力下，疲劳寿命不满足正态分布的问题；三参数P-S-N曲线模型更符合典型S-N曲线的趋势。实验计算结果表明，新方法下的P-S-N曲线拟合度更高，相对误差仅为1.46%~4.12%，仅为以往方法的11%~30%，新方法拟合的曲线更能体现超高强度抽油杆力学性能，精确度更高。
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关键词:
- P-S-N曲线 /
- 超高强度 /
- 抽油杆 /
- Box-Cox变量变换法
Abstract: P-S-N curve is one important basis for analyzing the mechanical performance of ultra-high-strength sucker rod, and its fitting method is generally referred to that of conventional sucker rods.Based on experimental data, however, ultra-high-strength sucker rod can't satisfy the assumptions of P-S-N curve fitting model which is used for conventional sucker rods.A three-parameter P-S-N curve fitting model based on Box-Cox variable transformation method was developed to search for a fitting method suitable for the P-S-N curve of ultra-high-strength sucker rod.By means of Box-Cox variable transformation method, fatigue life can satisfy normal distribution in a certain cyclic stress.The three-parameter P-S-N curve model is more accordant with the trend of typical S-N curve.It is indicated from experimental calculation results that by virtue of this new method, the fitting degree of P-S-N curve is higher with relative error only 1.46%-4.12%, which is just 11%-30% of the conventional value.The fitting based on this new method can embody the mechanical performance of ultra-high-strength sucker rod more accurately.-
Key words:
- P-S-N curve /
- ultra high strength /
- sucker rod /
- Box-Cox variable transformation method
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