环F2+uF2的Galois扩张上的迹码

环F2+uF2是介于环Z4与域F4之间的一种四元素环,因此分享了环Z4与域F4 的一些好的性质,此环上的编码理论研究成为一个新的热点。该文给出了环F2+uF2 的Galois扩张的相关理论,指出此Galois扩环的自同构群不同于Z4环上的Galois扩环的自同构群;定义了Galois扩环上的迹码的概念及子环子码的概念,证明了此Galois扩环上的一个码的对偶码的迹码是该环的子环子码的对偶码。     

环F2+uF2上线性码及其对偶码的二元象

利用环F2＋uF2上线性码C的生成矩阵给出了码C的对偶码C^┴及其Gray象Ф（C）的生成矩阵，证明了环F2＋uF2上线性码及其对偶码的Gray象仍是对偶码。并由此给出了一个环F2＋uF2如上线性码为自对偶码的充要条件。     

环F2+uF2上线性码的结构特性

该文研究了环F2 uF2上线性码的结构特性,讨论了环F2 uF2上线性码及其剩余码、挠码和商码之间的关系,通过这些关系.给出了线性码(特别是循环码)的深度分布与深度谱.     

环F4+uF4上线性码及其对偶码的Gray象

研究了环F4+uF4与域F4上的线性码,利用环F4+uF4上码C的Gray重量wG,Gray距离d G和(F4+uF4)n到F4 2n的Gray映射φ,证明了环F4+uF4上线性码C及其对偶码的Gray像φ(C)为F4上的线性码和对偶且dH G(φ(C))dG(C)。同时,给出了F4+uF4上循环码C的Gray像φ(C)为F4上的2-拟循环码。     

有限非链环Fpm+vFpm上循环码的迹码和子环子码

给出了有限非链环F_p^m+vF_p^m的Galois扩环相关理论,明确了有限非链环F_p^m+vF_p^m上循环码的迹码和子环子码的生成元结构.     

环F2+uF2+…+uk-1F2上常循环自对偶码

最近,剩余类环上的常循环码及常循环自对偶码引起了编码学者的极大关注.本文首先利用一些相关的线性码,建立了一类特殊有限链环上长为N的常循环自对偶码的一般理论,利用其结果给出了该环上长为N的(1+uλ)-常循环自对偶码存在的充分条件,得到了该环上长为N的一些常循环自对偶码,并给出了其生成多项式.     

F2+uF2+…+ukF2环上的循环码

在有限环F2＋uF2＋…＋u^k F2与F2之间定义一个新的Gray映射，证明了该映射是距离保持映射。考察了F2＋uF2＋…＋u^k F2环上循环码，得到了F2＋uF2＋…＋u^k F2环上循环码的生成多项式。最后，证明了F2＋uF2＋…＋u^k F2环上循环码在新定义的Gray映射下的像是F2上的准循环码。     

环Z4上线性循环码的深度谱

Etzion定义并研究了域Fq上线性码的深度谱，该文研究了环Z4上线性码与线性循环码的深度谱，证明了4^k12^k2型线性码的深度谱至少含有k1＋k2个非零值，并给出了一类4^k型线性循环码的深度谱为{n，n-1，…，n-k＋1}。     

环Fp+uFp上的Kerdock码和Preparata码

 Kerdock码和Preparata码是两类著名的二元非线性码,它们比相同条件下的线性码含有更多的码字.Hammons等人在1994年发表的文献中证明了这两类码可视为环Z₄上循环码在Gray映射下的像,从而使得这两类码的编码和译码变得非常简单.环F₂+uF₂是介于环Z₄与域F₄之间的一种四元素环,因此分享了环Z₄与域F₄的一些好的性质,此环上的编码理论研究成为一个新的热点.本文首次将Kerdock码和Preparata码的概念引入到环F_p+uF_p上,证明了它们是一对对偶码;并给出Kerdock码的迹表示;当p=2时,建立了环F₂+uF₂上这两类码与域F₂上的Reed-Muller码之间的联系;并证明了二元一阶Reed-Muller码是环F₂+uF₂上Kerdock码的线性子码的Gray像.     

环Z4上自对偶码的构造

利用有限环Z₄+vZ₄（其中v²=1）上自对偶码,给出了一种构造Z₄上自对偶码的方法.引入了（Z₄+vZ₄）ⁿ到Z₄²ⁿ的保距Gray映射,给出了Z₄+vZ₄上自对偶码的性质,证明了Z₄+vZ₄上长为n的自对偶码的Gray像是Z₄上长为2n的自对偶码,由此构造了Z₄上一些极优的类型I与类型Ⅱ自对偶码.     

Cyclic codes and self-dual codes over F2+uF2

We introduce linear cyclic codes over the ring F₂+uF ₂={0,1,u,u¯=u+1}, where u²=0 and study them by analogy with the Z₄ case. We give the structure of these codes on this new alphabet. Self-dual codes of odd length exist as in the case of Z₄-codes. Unlike the Z₄ case, here free codes are not interesting. Some nonfree codes give rise to optimal binary linear codes and extremal self-dual codes through a linear Gray map     

Affine invariant extended cyclic codes over Galois rings

Recently, Blackford and Ray-Chaudhuri used transform domain techniques to permutation groups of cyclic codes over Galois rings. They used the same technique to find a set of necessary and sufficient conditions for extended cyclic codes of length 2/sup m/ over any subring of GR(4,m) to be affine invariant. Here, we use the same technique to find a set of necessary and sufficient conditions for extended cyclic codes of length p/sup m/ over any subring of GR(p/sup e/,m) to be affine invariant, for e=2 with arbitrary p and for p=2 with arbitrary e. These are used to find two new classes of affine invariant Bose-Chaudhuri-Hocquenghem (BCH) and generalized Reed-Muller (GRM) codes over Z/sub 2//sup e/ for arbitrary e and a class of affine invariant BCH codes over Z/sub p//sup 2/ for arbitrary prime p.     

环Fq+uFq++uk-1Fq上一类重根常循环码

记R=Fq+uFq++uk-1Fq,G=R[x]/,且是R中可逆元。定义了从Gn到Rtn的新的Gray映射,证明了J是G上长为n的线性的x-常循环码当且仅当(J)是R上长为tn的线性的-常循环码。使用有限环理论,获得了环R上长为pe的所有的(u-1)-常循环码的结构及其码字个数。特别地,获得了环F2m+uF上长为2e的(u-1)-常循环码的对偶码的结构及其码字个数。推广了环Z2a根负循环码的若干结果。     

Cyclic codes over Z4, locator polynomials, and Newton'sidentities

Certain nonlinear binary codes contain more codewords than any comparable linear code presently known. These include the Kerdock (1972) and Preparata (1968) codes that can be very simply constructed as binary images, under the Gray map, of linear codes over Z₄ that are defined by means of parity checks involving Galois rings. This paper describes how Fourier transforms on Galois rings and elementary symmetric functions can be used to derive lower bounds on the minimum distance of such codes. These methods and techniques from algebraic geometry are applied to find the exact minimum distance of a family of Z ₄. Linear codes with length 2^m (m, odd) and size 2(2^m+1-5m-2). The Gray image of the code of length 32 is the best (64, 2³⁷) code that is presently known. This paper also determines the exact minimum Lee distance of the linear codes over Z₄ that are obtained from the extended binary two- and three-error-correcting BCH codes by Hensel lifting. The Gray image of the Hensel lift of the three-error-correcting BCH code of length 32 is the best (64, 2³²) code that is presently known. This code also determines an extremal 32-dimensional even unimodular lattice     

环F2+uF2+…+uk-1F2上长为2S的(1+u)-常循环码的距离分布

研究码字的距离分布是编码理论的一个重要研究方向。该文定义了环R=F₂+uF₂+…+u^k-1F₂上的Homogeneous重量,研究了环R上长为2^S的(1+u)-常循环码的Hamming距离和Homogeneous距离。使用了有限环和域的理论,给出了环R上长为2^S的(1+u)-常循环码和循环自对偶码的结构和码字个数。并利用该常循环码的结构,确定了环R上长为2^S的(1+u)-常循环码的Hamming距离和Homogeneous距离分布。