交换环上含参数的幂映射的周期轨道分支的对称性

设Ｒ是个交换环，带有离散拓扑，ｆｔ：Ｒ→Ｒ是由ｆｔ（ｘ）＝ｔｘｎ（任意ｘ∈Ｒ）定义的映射，ｎ≥２，ｔ∈Ｎ是参数。又设ｘ、ｙ是ｆｔ的周期点，其周期分别是ｋ及ｌ。记Ｗｘ＝∪∞ｉ＝０ｆ－ｉｔ（ｘ），Ｗｙ＝∪∞ｉ＝０ｆ－ｉｔ（ｙ），称Ｗｘ为含有ｘ的周期轨道分支。本文证明了，Ａ：Ｗｘ在ｆｔ之下具有循环对称性，即存在周期为ｋ的映射ｈｘ：Ｗｘ→Ｗｘ，使得ｆｔｈｘ＝ｈｘｆｔ｜Ｗｘ，且ｈｘ（ｘ）＝ｆｔ（ｘ）；Ｂ：当ｌ是ｋ的因数且存在ｕ∈Ｒ使得ｙ＝ｕｘ时，存在映射ζｕ：Ｗｘ→Ｗｙ满足①ｆｔζｕ＝ζｕｆｔ｜Ｗ；②ζｕｈｘ＝ｈｙζｕ；③若还存在ｖ∈Ｒ使得ｘ＝ｖｙ，且ｌ＝ｋ，则此ζｕ与ζｖ互为逆映射。     

二维离散型随机变量相互独立

二维离散型随机变量（Ｘ，Ｙ）相互独立的定义是：Ｆ（ｘ，ｙ）＝ＦＸ（ｘ）ＦＹ（ｙ）。其中Ｆ（ｘ，ｙ），ＦＸ（ｘ），ＦＹ（ｙ）分别为（Ｘ，Ｙ），Ｘ，Ｙ的分布函数。一般用等式Ｐ｛Ｘ＝ｘｉ，Ｙ＝ｙｊ｝＝Ｐ｛Ｘ＝ｘｉ｝Ｐ｛Ｙ＝ｙｊ｝进行判定，其中（ｘｉ，ｙｊ）为（Ｘ，Ｙ）所有可能取值，ｉ＝１，２，…；ｊ＝１，２，…；没有给出具体证明。本文给出二维离散型随机变量相互独立的定义及与这种判定方法等价的严格证明。     

二阶线性微分方程解的有界性和无界性

用渐近方法建立了方程Ｌ〔ｘ〕＝ｘ〃＋ｑ（ｔ）ｘ＝０同时有有界解和无界解的条件。     

关于Euler函数方程ψ（x）=m的解

研究了Ｅｕｌｅ函数方程（ψ）（ｘ）＝ｍ的解。当ｍ＝２ｐ,２ｐ＾ｎ,２ｐｑ（ｐ,ｑ为素数,ｎ为正整数）时,给出了方程ψ（ｘ）＝ｍ的所有解。当ｍ＝２ｒ,２＾ｎｒ（ｒ为奇数）时,给出了方程ψ（ｘ）＝ｍ的解结构。这一结果可以应用在有限群论的结构研究中。     

随机两点边值问题样本解的局部存在性

利用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理的随机类比在构造了Ｃ’「ｘ１，ｘ２」空间中的一个紧凸集后，证明了随机两点边值问题：ｙ″＝ｆ（ω，ｘ，ｙ，ｙ‘），ｙ（ｘ１）＝ｙ１（ω），ｙ（ｘ２）＝ｙ２（ω）样本解的局部存在性，将文「２」中引理１和２推广到了随机情形。     

随机两点边值问题样本解的局部存在性

利用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理的随机类比在构造了Ｃ′［ｘ１，ｘ２］空间中的一个紧凸集后，证明了随机两点边值问题：ｙ″＝ｆ（ω，ｘ，ｙ，ｙ′），ｙ（ｘ１）＝ｙ１（ω），ｙ（ｘ２）＝ｙ２（ω）样本解的局部存在性，将文［２］中引理１和２推广到了随机情形     

广义Liénard系统解的终归一致有界性

讨论非线性非自治系统ｘ＝ｈ（ｙ）－Ｆ（ｘ，ｙ）＋Ｅ（ｔ）ｙ＝－ｇ（ｘ）｛的解的一致有界性，得到了此系统的解终归一致有界的充分条件，进而获得存在周期解的条件，改进和推广了［１－５，８，１０］的结果。     

广义Lienard系统解的终归一致有界性

讨论非线性非自治系统ｘ＝ｈ（ｙ－Ｆ（ｘ，）＋Ｅ（ｔ）；ｙ＝－ｇ（ｘ）的解的一致有界性，得到了此系统的解终归一致有界的充分条件，进而获得存在周期解的条件，改进和推广「１－５，８，１０」的结果。     

一阶微分代数方程组的一个解的解法

力学和控制问题中经常处理微分代数方程组：｛ｉ＝ｆ（ｘ，ｙ，ｔ）， ｇ＝（ｘ，ｔ）＝０而一类方程组的处理远不如常微分方程组成熟，本文利用微分方程的成熟结论给出了此方程组的一种解的存在唯一性条件，并利用这一条件，了相应的解法。     

一类二阶周期系数线性微分方程的解及有界性

讨论了当ｐ（ｔ），ｑ（ｔ）是以Ｔ为周期的周期函数，ｐ（ｔ）连续可微，且ｐ（ｔ）≥ｐ０≥０时，微分方程ｄｄｔ［ｐ（ｔ）ｘ］＋ｑ（ｔ）ｘ＝０的解的结构及有界性．     

关于Euler函数方程φ(x)=m的解

研究了Ｅｕｌｅｒ函数方程φ（ｘ）＝ｍ的解。当ｍ＝２ｐ，２ｐｎ，２ｐｑ（ｐ，ｑ为素数，ｎ为正整数）时，给出了方程φ（ｘ）＝ｍ的所有解。当ｍ＝２ｒ，２ｎｒ（ｒ为奇数）时，给出了方程φ（ｘ）＝ｍ的解结构。这一结果可以应用在有限群论的结构研究中（见文［４－６］）。     

模糊关系(续完)

２模糊矩阵有限论域上的模糊关系可用矩阵来表示。定义２．１设Ｘ＝｛ｘ１，ｘ２，…，ｘｍ｝，Ｙ＝｛ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ｝，Ｒ是空间Ｘ×Ｙ上的模糊关系。令μｉｊ＝μＲ（ｘｉ，ｙｊ），（ｉ＝１，２，…，ｍ；ｊ＝１，２，…，ｎ）则矩阵〔μｉｊ〕ｍｎ＝μ１１μ１...     

关于丢番图方程x4-4x2y2+y4=193

证明了丢番图方程ｘ＾４－４ｘ＾２ｙ＾２＋ｙ＾４＝１９３仅有正整数解（ｘ,ｙ）＝（１,４）和（４,１）,进而又推得丢番图方程ｘ＾４－１０ｘ＾２ｙ＾２＋ｙ＾４＝－１５４４仅有正整数解（ｘ,ｙ）＝（３,５）和（５,３）。     

关于丢番图方程x^3＋z^3=Dy^2

设Ｄ∈Ｎ无平方因子且不被６ｋ＋１形的素数整除。文中给出了方程ｘ＾３＋ｚ＾３＝Ｄｙ＾２,ｘ,ｚ∈Ｚ,ｙ∈Ｎ,（ｘ,ｚ）＝的全部解的表达式;     

非自治二阶微分方程周期解的存在唯一性

在不要求ｆ（ｘ）→±∞（ｘ→±∞）的条件下,复Ｂｒｏｕｗｒ不动点定理,得到了方程组ｘ＝ψ（ｙ）－ｆ（ｘ）,ｙ＝－ｇ（ｘ）＋ｅ（ｔ）周期解的存在性,并给经方程组的一个唯一性结果,另外,通过构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函,推广了另一类方程前人的相关结果。     

有单位元环的交换性条件

讨论了环的交换性问题,设Ｒ为有单位元的环,若Ｖ＝ｘ,ｙ∈Ｒ有下列条件之一成立：（Ａ）：「ｐ（ｘ）ｑ（ｙ）－ｆ（ｘ）ｈ（ｙ）ｇ（ｘ）,ｙ」＝０;（Ｂ）：「ｘｐ（ｙ）ｘ－ｆ（ｙ）ｈｘ）ｇ（ｙ）,ｘ」＝０,则Ｒ为交换的。     

非线性抛物型方程组解的整体存在性

本文讨论带非线性边界条件的抛物型方程组｛Ｕｔ＝△ｖ＾ｍ,ｘ∈,ｔ〉０;δｕ＝ｕ＾ｐｖＱ,δｖ／δｎ＝ｕ＾ｒｖ＾ｓ,ｘ∈δΩ,ｔ〉０;ｕ（ｘ,０）＝ｕ０（ｘ）≥δ〈,ｖ（ｘ,０）＝ｖ０（ｘ）≥δ〉,∈Ω。解的整体存在性。其中ｍ、ｐ、ｑ、ｒ、ｓ均为正数ΩＩＲ＾Ｎ是有界光滑区域。δ〉０,可以充分小。利用知的上、下解方法,得到关于问题（Ｉ）整体解存在的充分条件。     

带非定域项Schrodinger方程的Jost解

采用积分方程的方法证明了带有非定域项的Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程：－ｙ＂（ｘ）＋∫∞ｘｑ（ｘ，ｔ）ｙ（ｔ）ｄｔ＝λｙ（ｘ） ｘ∈［０，＋∞）的Ｊｏｓｔ解的存在性。得到了Ｊｏｓｔ解的平移表示及其所满足的相应的偏微分方程。这将对与此联系的非线性发展方程的求解提供一些信息。     

机会约束规划问题的最优解

本文讨论了机会约束规划ｍｉｎ｛ｃｘ｜Ｐ（Ａｉｘ≥ｂｉ）≥Ｐｉ，（ｉ＝１，…·，ｒ），Ｄｘ≥ｄ｝最优解的存在性，其中仅Ａｉ是随机的，Ａｉ是ｎ维正态随机向量；我们给出了这一机会约束规划存在最优解的充分条件，当Ａｉ～Ｎ（０，σｉＩ）（ｉ＝１，……，ｒ）时，我们还给出了机会约束规划ｍｉｎ｛ｃｘ｜Ｐ（Ａｉｘ≥ｂｉ）≥ｐｉ，ｉ＝１，…，ｒ｝的最优解     

单晶生长中的三相界面的近似解析解

本文考虑了单晶生长中的三相界面问题，即研究了气——液新月形界面满足的Ｌａｐｌａｃｅ－Ｙｏｕｎｇ方程２ｙ＝β〔ｙ″（１＋ｙ′２）３／２－ｙ′ｘ（１＋ｙ′２）１／２〕在边界条件为ｙ（∞）＝０，ｙ′（∞）＝ｂ＜０时的解，其中β＝２σ０／ｇΔρ是正常数（Ｌａｐｌａｃｅ常数）．我们得到了新月形高ｈ应满足的关系式：ｈ＝βｓｉｎ２α０２ｃｏｓα０以及新月形轮廓线的一个近似解析解ｘ＝１－（Ｉ－１βｙ２＋ｓｉｎα０２ｒｈｙ２）２ｓｉｎα０ｒｈｙ其中α０是三相边界（ｒ，ｈ）处的切角，Ｉ＝１１＋ｂ２．