Solution of the direct magnetic problem for homogeneously and inhomogeneously magnetized bodies

Contents A method is presented for the determination of the direct magnetic problem for homogeneously and inhomogeneously magnetized bodies. The magnetic field quantities are calculated with help of the method of the analytical supplement.Several examples explain the applicability of the method deduced.

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Zur Lösung der direkten magnetischen Aufgabe homogen und inhomogen magnetisierter Körper

Übersicht Es wird eine Methode zur Lösung des direkten magnetischen Feldproblems homogen oder inhomogen magnetisierter Körper angegeben. Die magnetischen Feldgrößen werden durch die Methode der analytischen Ergänzung beschrieben.Für die Anwendbarkeit der hergeleiteten Methode werden verschiedene Beispiele erläutert.

     

A new method for the solution of the direct magnetic field problem

Contents A method is described allowing a solution of the direct field problem of magnetized bodies which is generally valid to a large extent. It is shown that the classical solution can be simplified considerably by means of the principle of the analytical supplement, which makes it possible to reduce volume integrals to surface integrals. Furthermore it is shown that this method can also be employed for the two-dimensional case in an analogous way. Various numberical examples demonstrate the applicability of the ideas presented.

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Ein neues Verfahren zur Lösung des direkten magnetischen Feldproblems

Übersicht Es wird eine Methode beschrieben, die eine weitgehend allgemeingültige Lösung des direkten Feldproblems magnetisierter Körper gestattet. Dabei wird gezeigt, daß sich die klassischen Lösungen mit Hilfe des Prinzips der analytischen Ergänzung erheblich vereinfachen lassen, indem auftretende Volumenintegrale auf Flächenintegrale reduziert werden. Weiterhin wird dargestellt, daß das Verfahren auch im zweidimensionalen Fall in analoger Weise seine Gültigkeit beibehält. Verschiedene numerische Beispiele belegen die Anwendbarkeit der vorgestellten Methode.

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Dedicated to Professor Dr.-Ing. Károly Simonyi on occasion of his 75th birthday     

A method for the solution of the two-dimensional direct magnetic problem

Contents A method is presented which solves the direct magnetic problem of homogeneously and inhomogeneously magnetized bodies. The solution has been deduced by V. N. Strahov in a complex form for the case when the magnetizationM(z)=M _x +jM _y is an analytical function of the variable z. — In this study the general solution provides a wider base for the calculation of the internal and external magnetic fields. Several examples illustrate the application of the presented method.

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Eine Methode zur Lösung des zweidimensionalen direkten magnetischen Problems

Übersicht Es wird eine Methode beschrieben, die eine Lösung des direkten magnetischen Problems eines homogen oder inhomogen magnetisierten Körpers ermöglicht. — Während dic von V. N. Strahov angegebene Methode den Nachteil hat, daß mit ihr nur das äußere magnetische Feld eines homogen oder analytisch magnetisierten Körpers bestimmt werden kann, wird in der vorliegenden Arbeit ein weitgehend allgemeingültiges Verfahren vorgestellt, welches die Berechnung der magnetischen Erregung sowohl im Äußeren als auch im Inneren eines magnetisierten Körpers gestattet. — Die Anwendung der beschriebenen Methode wird mittels einiger Beispiele dargestellt.

     

Bestimmung der Eigenwellen von induktiv erregten Spulen mit Eisenkern

Zusammenfassung Es wird ein Verfahren dargestellt, das die Berechnung der Eigenwellen niedriger Ordnungszahl einer Spulenanordnung mit geschlossenem Eisenkern gestattet. Unter Voraussetzung einer willkürlichen Strombelagsverteilung, welche als Fouriersche Reihe als gegeben betrachtet wird, werden mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen die Lösungen als Wurzeln einer unendlichen Determinante ermittelt. Eine vollstÄndige Auswertung aller Determinantenglieder ist wegen ihres unendlichen Bereiches nicht möglich. Die Teillösungen stimmen mit dem Me\ergebnis, bei Berücksichtigung der Grö\e des benutzten quadratischen Ausschnitts, befriedigend überein. Die AnnÄherung des FrequenzverhÄltnisses der Eigenwellen an das harmonische bei höheren Ordnungszahlen stimmt mit den von Lenz festgestellten Beobachtungen an eisenlosen Spulen überein.Meinem verehrten Lehrer, Herrn Geheimrat Prof. Dr. Orlich , verdanke ich die Anregung zu dieser Arbeit, Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Schwenkhagen danke ich für das Interesse, mit dem er die vorliegende Lösung der Aufgabe gefördert hat.     

An integral equation approach to the problem of eddy currents in cylindrical shells of finite thickness with infinite or finite length

Contents In this work an attempt is made for the application of the integral equation for the solution of the problem of eddy current distribution in cylindrical shells. For the numerical treatment of the integral equation the method of moments is used. This approach is applied to a circular cylindrical shell of finite thickness and infinite or finite length when the excitation is a current filament.

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Eine Näherungslösung zum Problem der Wirbelströme in zylindrischen Schalen endlicher Dicke und endlicher oder unendlicher Länge mit Hilfe einer Integralgleichung

Übersicht In dieser Arbeit wird versucht, die Integralgleichung bei der Lösung des Problems der Wirbelstromverteilung in zylindrischen Schalen anzuwenden. Für die numerische Behandlung der Integralgleichung wird die Momenten-methode verwendet. Diese wird angewandt an einer zylindrischen Schale endlicher Dicke und endlicher oder unendlicher Länge wenn die Erregung von einem Stromfaden herrührt.

     

Taking advantage of the quasiharmonic polynomials for analysis of stationary electromagnetic fields by Trefftz's method

Contents In the paper quasi-harmonic polynomials have been applied for solving the Laplace and Poisson equations by means of Trefftz's method. These polynomials are a generalization of the commonly used harmonic polynomials for field theoretic problems of axial symmetry. The proposed method is illustrated by examples of the analysis of scalar and vector fields having axial symmetry.

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Anwendung der quasiharmonischen Polynome zur Analyse der stationären elektromagnetischen Felder mit Hilfe der Trefftzschen Methode

Übersicht In der Arbeit wird die Anwendung der sogenannten quasiharmonischen Polynome zur Lösung von Aufgaben, die mit Hilfe der Laplaceschen und Poissonschen Gleichungen beschrieben werden, nach der Methode von Trefftz vorgeschlagen. Diese Polynome sind eine Erweiterung der bisher verwendeten harmonischen Polynome auf axialsymmetrische Felder.Die vorgeschlagene Methode wird mit Hilfe von Beispielen über die Analyse von axialsymmetrischen Skalar- und Vektorfeldern veranschaulicht.

     

Field analysis of an induction motor at no-load by means of the finite element method with gap elements

Contents Field quantities at several succesive moments of time within a half-cycle of a constant current supply are given. Magnetic field distributions are computed using the finite element method (FEM) suited to the frontal solution technique. The motor air gap is replaced by gap elements (GE).

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Die Feldanalyse des Leerlaufzustandes eines Induktionsmotors mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente und der Spaltelemente

Übersicht Die Feldgrößen in einigen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten der Halbperiode des Speisungsstromes werden ermittelt. Die Verteilungen des magnetischen Feldes werden mit der für direkte Lösungen geeignetenFE-Methode berechnet. Der Luftspalt des Motors wird durch Spaltelemente ersetzt.

     

Zur Berechnung des zeitabhängigen Temperaturverlaufs in einem Stab mit innerer Wärmeerzeugung

Übersicht Die zeitabhängige Lösung des Temperaturverlaufs in einem geraden Stabe mit konstantem Querschnitt und innerer Wärmeerzeugung, der am Umfang und an den beiden Endquerschnitten verschiedentlich gekühlt ist, wird mit Hilfe derLaplace-Transformation durchgeführt. Die Wanderung der Lage der Höchsttemperatur während der Erwärmung wird untersucht für einen leicht vereinfachten Fall und dafür ein numerisches Beispiel gegeben.

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Summary The solution for a straigt bar with constant cross-section, the bar being cooled on his perimeter and, with unequal heat dissipation, on his both end-cross-sections, is treated by the Laplace Transformation method. The displacement of the maximum Temperature, which occurs during the heating period, is examinated for a slightly simplified case. A numerical example shows the application of the given formulae.

     

Solution of the direct stationary current problem of a three-axial ellipsoid

Contents In the present work a rigorous method for the solution of the field problem of a three-axial ellipsoid within a stationary current field is presented. At first the field problem is solved for outer feeding. This allows, by use of the linearly superposition and imaging principle, the treatment of the four-electrode-system by presence of an ellipsoid as disturbance body. The derived method will be made accessible by a suitable integral form of Lamé's functions for numerical proceedings. The applicability of the solution method will be demonstrated at numerical examples.

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Lösung der direkten stationären Strömungsfeldaufgabe für ein dreiachsiges Ellipsoid

Übersicht In der vorliegenden Arbeit wird eine strenge Methode zur Lösung des Feldproblems eines dreiachsigen Ellipsoids, welches sich in einem stationären Feld befindet, vorgestellt. Das Feldproblem wird zunächst für die äußere Speisung gelöst. Dies gestattet, durch Anwendung des linearen Überlagerungssatzes und des Spiegelungsprinzips, die Behandlung des Vierelektrodensystems bei Anwesenheit von einem Ellipsoid als Störkörper. Die abgeleitete Methode wird durch geeignete Integraldarstellungen von Lamé'schen Funktionen den numerischen Verfahren zugänglich gemacht. Die Anwendbarkeit der Lösungsmethode wird an numerischen Beispielen erläutert.

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Dedicated to Prof. Dr. rer. nat. Tibor Kolbenheyer on occasion of his 70th birthday     

Transienter Skineffekt in einer Hohlkugel im erregenden ebenen Feld von Leitern

Übersicht Die Berechnung der transienten Wirbelstromverteilung in einer Kugel erfordert allgemein eine Integration über die erregende Leiterschleife beliebiger Kontur, die einen Strom mit beliebiger Zeitabhängigkeit führt. In der vorliegenden Abhandlung wird die Lösung dieses Problems für eine Hohlkugel, die sich im ebenen Feld einer erregenden Leiteranordnung befindet, ohne Konturintegration angegeben und für den Fall zeitlich sinusförmiger Abhängigkeit der Feldgrößen mit der dann möglichen direkten Lösung der Differentialgleischungen überprüft. Der unter praktischen Gesichtspunkten wichtige Fall der Abschirmung transienter Felder durch eine Hohlkugel geringer Wandstärke wird für einen Stromimpuls auf einer erregenden Doppelleitung behandelt. Aus der geschlossen darstellbaren Lösung werden die Feldbilder im Kugelhohlraum zu verschiedenen Zeitpunkten der transienten Feldänderung angegeben und der Zeitverlauf des magnetischen Flusses durch eine quadratische Fläche im Innern der Kugel wird in Abhängigkeit von der Zeitdauer des erregenden Stromimpulses untersucht.

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Skin-effect transients on hollow sphere in the plane field of a system of conductors

Contents Generally, for the calculation of the distribution of the eddy current transients in a sphere, an integration has to be performed along the arbitrary contour of the exiting loop of current having an arbitrary time dependence. This paper deals with the solution of this problem for a hollow sphere placed in the planar field of excitation of a system of conductors, whereby the contour integration is avoided. Solutions derived are verified with the discrete solutions obtained in the case of sinusoidal excitation. The practically important screening effect of a thin hollow sphere on transient field produced by current impulses flowing through two conductors is also discussed. The field plottings in the hollow space of the sphere are derived out of the closed form solution and are also given for different instances of the transient excitation.The time dependence of the magnetic flux penetrating the area of a square inside the hollow sphere is analysed and is given as a function of the duration of the exciting impulse.

     

Carter-Faktor und Leitwertswellen elektrischer Maschinen mit magnetischem Nutverschluß

Übersicht Zur Berechnung des Carterschen Faktors und der Leitwertswellen wird das skalare Potential des Luftspaltfeldes einer einseitig genuteten Maschine mit Hilfe von Reihenansätzen ermittelt. Der Nutverschluß besteht aus magnetischem Material mit einer vorgegebenen konstanten Permeabilität. Um die Lösung auch für Maschinen mit großem Luftspalt verwenden zu können, wird der Luftspalt in Polarkoordinaten dargestellt.

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Carter's coefficient and permeance waves of electrical machines with magnetic slot wedges

Contents For the purpose of calculating Carter's coefficient and the permeance waves of slotting the scalar potential of the air gap field is computed using Fourier series. The slot wedges consist of magnetic material with a constant permeability. The air gap is described by polar coordinates in order to get solutions applicable to machines possessing a large air gap.

     

Beitrag zur Berechnung der Erwärmung von Prüftransformatoren

übersicht Unter vereinfachenden Annahmen wird für eine volleingepackte Hochspannungslagenwicklung die Differentiagleichung des Erwärmungsvorganges angegeben, die rein formal einer erweiterten Differentialgleichung für eine Leitung mit Widerstand und Kapazität entspricht. Zur Bestimmung des zeitlichen und örtlichen Temperaturverlaufes geht man daher von den aus der Leitungstheorie bekannten Vierpolgleichungen aus. Die Lösung wird mit Hilfe der Operatorenrechnung durchgeführt. Zum Schluß werden die Gleichungen zur Berechnung des Temperaturverlaufes während der Abkühlzeit und bei wechselnden Belastungen des Prüftransformators angegeben.Mit 6 Textabbildungen     

Eigenmoden und Eigenwerte komplementärer sektorförmiger Strukturen: Eine sphärische Multipolanalyse des elektromagnetischen Randwertproblems

Übersicht Mit Hilfe der sphärischen Multipolanalyse werden in dieser Arbeit die E-Moden und die H-Moden sektorförmiger Strukturen bestimmt. Die Lösung des Randwertproblems wird auf die Lösung eines zweiparametrigen Eigenwertproblems mit zwei gekoppelten Laméschen Differentialgleichungen zurückgeführt. Wir leiten eine bemerkenswerte Relation zwischen den Eigenwerten der Eigenmoden komplementärer sektorförmiger Strukturen ab und stellen numerische Ergebnisse vor. Abschließend untersuchen wir die Zusammenhänge zwischen den Eigenmoden komplementärer Strukturen mittels der Babinetschen Transformation.

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Eigenmodes and eigenvalues of complementary sectorstructures: A spherical multipole analysis of the electromagnetic boundary value problem

Contents In this paper the E-modes and H-modes of sectorstructures are determined using multipole expansion. The solution of the boundary value problem is reduced to a two-parametric eigenvalue problem with two coupled Lamé equations. We deduce a remarkable relation between the eigenvalues belonging to the eigenmodes of complementary sector-structures and we present numerical data. Finally, we show the relations between the eigenmodes of complementary structures with the help of Babinet's transformation.

     

Ein im Zeitbereich arbeitendes automatisches Entwurfsverfahren für elektrische Filter

Übersicht Der Entwurf von Glättungsfiltern in der Leistungselektronik erfolgt besser im Zeitbereich als im Frequenzbereich. Aus den bekannten Kirchhoffschen Gesetzen erhält man die Differentialgleichungen zur Beschreibung des Netzwerkes im Zustandsraum. Für die Lösung wird die Transitionsmatrix verwendet. Für periodische Eingangszeitfunktionen beliebiger Form werden die Anfangsbedingungen berechnet, die auf eine stationäre Lösung, d. h. auf einen solchen Periode wird ein Kriterium berechnet, mit dessen Hilfe unter Verwendung bekannter Optimierungsverfahren die Schaltung dimensioniert wird. Die stationäre Lösung wird für das Beispiel eines Sperrwandlers berechnet und diskutiert; für andere Filterkonfiguration wird jeweils die kritische (minimale) Induktivität berechnet.

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An automatic design procedure in time domain for electric smoothing filters

Contents Design of smoothing filters for power electronic applications can be realized better in time domain than in frequency domain. Using Kirchhoff's laws differential equations can be derived to describe the network in state space; the transition matrix is used for the solution. For arbitrary periodic input time functions initial conditions of all state variables are calculated which lead to the stationary solution. From the simulation of one period a criterion is determined. The minimization of this criterion leads to the optimal choice of design parameters. The stationary solution is calculated and discussed for specific chopper circuits. For other examples the critical (minimal) inductivity is determined.

     

Schirmdämpfung inhomogener Metallgehäuse beliebiger Kontur im quasistationären Magnetfeld

Übersicht Die Schirmdämpfung von Metallgehäusen wird bei Wellenlängen größer als die Gehäuseabmessung hauptsächlich durch das magnetische Rückwirkungsfeld der induzierten Wirbelströme erzeugt. Im folgenden Beitrag wird eine allgemeingültige analytische Lösung für die Berechnung der Schirmdämpfung inhomogener Gehäuse, d.h. bestehend aus unterschiedlichen Materialien verschiedener Wandstärke, vorgestellt. Dies gestattet z.B. die Berechnung des Einflusses von Schweißnähten oder verschiedener Frontbleche. Die Herleitung basiert auf der Lösung der Diffusionsgleichung für einzelne homogenene Wandabschnitte unter voller Berücksichtigung des Skineffekts. Mit Hilfe des Induktionsgesetzes in integraler Form wird die Schirmdämpfung des gesamten, Gehäuses ermittelt.

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The shielding effectiveness of nonuniform enclosures in a quasistatic magnetic field

Contents This paper presents a general analytical solution for electromagnetic shielding problems below resonance frequencies. The solution is valid for enclosures of arbitrary shape with any given combination of materials and wall thicknesses. Considering skin effects, the shielding effectiveness is calculated by solving the Helmholtz equation for every single part of the wall with given thickness and material. The solution for the whole shield is then found by applying the Faraday's law in integral form.

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Forschungstätigkeit am Institut für Elektroenergiesysteme und Hochspannungstechnik, Universität Karlsruhe.     

Domain Decomposition Methoden für gemischte elliptische Randwertprobleme

Übersicht In diesem Artikel werden einige analytische Domain Decomposition Methoden zur Lösung elliptischer Randwertaufgaben beschrieben. Bei diesen Verfahren wird das Grundgebiet des Randwertproblems in mehrere Teilgebiete unterteilt. Ein Iterationsverfahren verknüpft die Näherungslösungen der Teilprobleme, die gegen die exakte Lösung des Grundproblems konvergieren. Numerische Anwendungen der analytischen Verfahren sind naheliegend, und im letzten Abschnitt werden mit deren Hilfe mehrere gemischte Strömungsprobleme gelöst.

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Domain decomposition methods for mixed elliptic boundary value problems

In this paper some analytic domain decomposition methods used to solve elliptic boundary value problems are described. These techniques are based on a splitting of the grounddomain into several subdomains. An iterative algorithm connects the approximate solutions of the subproblems, which converge to the exact solution of the basic problem. In the last section several mixed electrical flow problems are solved by numerical applications of the analytic methods.

     

Electrical-thermal coupled calculation of an asynchronous machine

Contents The temperature field over the whole cross section of an asynchronous electric machine (windings, stator and rotor core, insulation, air gap) is calculated under both steady-state and transient conditions. Thermal sources (copper losses) depend on rotor slip, deep-bar effect and windings temperature. All these quantities are, in the transient condition, functions of time. The thermal part of this coupled electro-thermal process is solved by the finite element method (FEM), while the electromagnetic part is dealt with by the equivalent circuit of the asynchronous machine. The air-gap problem is specially treated. The presented method can be applied to other electric machines having negligible axial thermal heat flow.

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Elektrisch-thermische Berechnung einer Asynchronmaschine

Übersicht In der vorliegenden Arbeit wird das Temperaturfeld über den ganzen Querschnitt einer Asynchronmaschine (Nutkupfer, Ständer- und Läuferblechpaket, Isolationen, Luftspalt) berechnet. Die Berechnung wird für stationäre und transiente Zustände durchgeführt. Die Wärmequellen (Kupferverluste) sind vom Schlupf, der Stromverdrängung und den Kupfertemperaturen abhängig. Alle diese Größen sind während der transienten Vorgänge zeitabhängig. Der thermische Teil dieses elektrisch-thermischen Prozesses wird mit Hilfe der FEM, der elektromagnetische Teil mit Hilfe des Ersatzbildes der Asynchronmaschine berechnet. Besonders wird das Problem des Luftspaltes behandelt. Die Methode kann bei allen Maschinenarten mit vernachlässigbaren axialen Wärmeströmen angewendet werden.

     

Wirbelstromverteilung in einer Leitenden Platte bei durchdringender erregender Leiterschleife

Übersicht Für den Fall, daß eine beliebig geformte erregende Leiterschleife eine elektrisch leitende Platte durchdringt, wird mit Hilfe eines übergeordneten Vektorpotentials die Wirbelstromverteilung in der Platte berechnet, die sich in Form von Fourier-Integralen als Lösung der skalaren Skineffektgleichung durch Integration über die Kontur der erregenden Leiterschleife angeben läßt. Die Lösungen werden anhand bekannter Ergebnisse für einige Sonderfälle kontrolliert.

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Contents Using a special vector potential, the eddy-current distribution is calculated for an exciting coil of arbitrary shape penetrating a conducting plate. The eddy-current density is given in form of Fourier integrals as a solution of the scalar diffusion equation by integration over the exciting coil. The results are controlled by known special cases.

     

Digitale Rechenverfahren für elektrische Netze Teil II

Zusammenfassung Aus einer für beliebige Netzsysteme gültigen Theorie werden konstruktive Lösungsverfahren für die verschiedenen Aufgabentypen der Netzberechnung abgeleitet. Dazu wird zunächst das Betriebsverhalten von Zwei- und Dreiwicklungstransformatoren durch Vier- und Sechspolgleichungen in Leitwertform beschrieben unter Berücksichtigung beliebiger Übersetzungsverhältnisse und der Einflüsse von Stern-Dreieckschaltungen in Drehstromnetzen. Durch Verwendung des Knotenpunktsverfahrens läßt sich die Information über die Netzelemente übersichtlich in der Knotenpunktsadmittanzmatrix zusammenfassen; sie ist gewissermaßen ein mathematisches Abbild der physikalischen Eigenschaften des Netzes. In der Kurzschlußberechnung können damit die Kurzschlußströme sehr einfach aus den invertierten Matrizen ermittelt werden. Die Ströme sind dabei im wesentlichen bestimmt durch die Diagnolelemente der Kehrmatrizen; bei offenem Gegenschalter, Abstandskurzschluß oder Doppelfehlern gehen nichtdiagonale Elemente in die Rechnung mit ein. Die Problemstellung bei der Lastflußberechnung führt zur Anwendung iterativer Verfahren; die Lösung liefert stets auch die Größe der Netzverluste. Aus der exakten Abhängigkeit der Netzverluste von den Leistungsströmen kann durch Vernachlässigungen die vielverwendeteGeorgesche Verlustformel abgeleitet werden, womit sich eine übersichtliche Methode zur Berechnung derB _ik -Koeffizienten ergibt. Für das Problem des Verlustminimums wird erstmals ein Iterationsverfahren beschrieben, das die genaue Lösung liefert, sowie ein weniger aufwendiges Näherungsverfahren. Auch für das Kostenminimum kann mit Hilfe eines Iterationsverfahrens die genaue Lösung ermittelt werden.Mit 1 TextabbildungenTeil I dieses Beitrages ist erschienen in: Arch. f. Elektrotechn. 48 (1963) Heft 1, S. 41–68.     

Entladung einer Induktivität über veränderlichen ohmschen Widerstand

Übersicht Die aufgabe, die in einer Induktivität gespeicherte, magnetische Energie in möglichst kurzer Zeit abklingen zu lassen, wird vielfach mit der Forderung nach Einhaltung einer höchst-zulässigen Spannung während des Abklingvorganges verbunden. Zunächst wird die Ideallösung gesucht, die sich aber praktisch nicht oder nur schwer verwirklichen läßt. Eine technisch einfache Lösung ist die Ausnützung der Temperaturabhängigkeit ohmscher Widerstände zur Abkürzung der Entladungszeit. Die Gleichungen dieser Lösung werden abgeleitet und mit den Ergebnissen der Schaltung mit temperaturunabhängigem Widerstand verglichen.Mit 6 Textabbildungen