利用方程组求解不定积分

求解不定积分,解方程的技巧是常用的。基于同样的想法,对于某些不定积分,可以构造方程组,适当降低难度,求解不定积分。 引理:若求integral(P(x)dx),构造integral(Q(x)dx) 则 :integral([P(x) Q(x)]dx)=f(x) C_1 integral([P(x)-Q(x)]dx)=g(x) C_2 则 :integral(P(x)dx)=1/2[f(x) g(x) C 同时 :integral(Q(x)dx)=1/2[f(x)-g(x)] c' 引理的证明是显然的,关键是构造Q(x)。为叙述方便,以下略去常数C。 (一)从函数的构造上出发,寻找对称式,构造出Q(x).至少可使方程组中的一个好积。下面的例子多是从sinx到cosx的对称。 例1:求integral(sin~2xdx) 解: 记上式为M,N=integral(cos~2xdx) M N=x ,N-M=1/2sin2x 从而 例2:求integral(sin(lnx)dx) 解: M=integral(sin(lnx)dx) ,N=integral(cos(lnx)dx) M N=integral(sin(lnx)dx) integral(xdsin(lnx))=xsin(lnx) -M N=integral(xdcoslnx) integral(coslnxdx)=xcos(lnx)     

具有星形结点的平面N次系统的全局结构分析

本文研究平面N次系统x =x +Pn(x ,y) ,y =Qn(x ,y) ,这里Pn(x ,y) ,Qn(x ,y)为N次多项式齐式 ,讨论了有限远奇点、无限远奇点和直线解三者之间在复平面内的关系 .     

一阶非齐次线性微分方程的求解方法——常数变易法探析

众所周知，一阶非齐次线性微分方程dy/dx p(x)y=Q(x) (1)(式中P(x)、Q(0)均为某区间上的x的连续函数)的求解方法为常数变易法。所谓的常数变易法就是：就是在所求的方程(1)的相应齐次线性方程dy/dx p(x)y=0 (2)的通解y=u(x)e-∫p(x)dx将y=u(x)e-∫p(x)dx代入原方程dy/dx p(x)y=Q(x)中，求得待定函数u(x)=∫Q(x)e∫(x)dx dx c(式中c为积分常数)再把(5)代入(4)式，     

等直梁弯曲内力和变形的普遍方程式及其应用

一、普遍方程式的建立 直梁在外力作用下发生平面弯曲时,挠度曲线的近似微分方程为: EIy″=M(x) (1) (1)式为二阶非齐次微分方程,设通解为: y=y_1 y_2 (2)式(2)中的y_1为齐次微分方程EJy″=0的解,将其积分两次得: EIy′_1=C_1 EIy_1=C_1x C_2 (3)式(2)中的y_2为式(1)的特解,将(1)式积分两次得:     

迭代矩阵谱半径的界限

为求解线性方程组Ax=b,常将矩阵A分解为A=M-N,这里M为非奇异矩阵.我们知道,得到的迭代格式x(k+1)=M-1Nx(k)+M-1b(k=0,1,2,…)对任意初始向量x(0)都收敛到解x=A-1b,当且仅当M-1N的谱半径ρ(M-1N)＜1,其中M-1N称为迭代矩阵.因此,估计ρ(M-1N)的界限就成了一个热点问题.我们首先推广了由Hoffman等提出的G-函数的概念,其次应用这一概念得到了迭代矩阵特征值模的界限.作为应用,得到了解线性方程组迭代矩阵M-1N的谱半径的界限,改进了已有的结论.最后用数值例子说明了所给结果的优越性.     

多项式类Lienard方程的多个极限环及电子计算机分析

苍l引言本文讨论Li已nard型方程多=y一F(·),条一g‘·(L)中的一类N丫a ix‘山J(P) 一一y一t,d月以 一 V︺ 一一 X一t.nJ月﹄ i=1其中N为正整数,称(P)为N次多项式类Li己narJ方程,简称N次Lieoard方程,特别 n当F‘x)=三aZ;一,xZ一’时,称为奇(Zn一1)次Li。。ard方程。 i=1 由于方程(L)在非线性振动领域中有着重要应用,吸引了许多微分方程与非线性振动工作者,对该方程的极限环存在性与唯一性,唯。性进行了大量工作,这些工作的特点在于为保证(L)存在一个或多个极限环周期振荡,在g(x)满足xg(x)>o等适当条件下,加在函数F(x)上的条件有多…     

高维时滞离散周期系统解的性态

考虑了具有时滞的高维离散周期系统x(τ+1) =A(τ ,x(τ) )x(τ) +f(τ ,x(τ-r) )其中 ,(τ ,x) ∈I×Rn,A(τ ,x)是n×n连续方阵 ,f(τ ,x)是n维连续向量 ,且A(τ+N ,x) =A(τ ,x) ,f(τ+N ,x) =f(τ ,x) ,N >0 ,r是滞量 ,应用离散系统的线性理论 ,不动点理论 ,建立了保证其N周期解的存在性 ,唯一性的充分条件 ,所得结果推广了文 [1,2 ]的结果 .     

一阶非齐次线性微分方程的求解方法——常数变易法探析

众所周知,一阶非齐次线性微分方程 (dy)/(dx)+P(x)y=Q(x) (1)(式中P(x)、Q(x)均为某区间上的x的连续函数)的求解方法为常数变易法。所谓的常数变易法就是:就是在所求的方程(1)的相应齐次线性方程     

关于乘积测度的一个性质

设N是自然数全体,{μn}∞n=1为R1上的任一概率测度序列,记P=∏n∈Nμn·若f与g属于L2(RN,P),且在RN上f(x1,x2,…,xn,…)与g(x1,x2,…,xn,…)关于每个分量是上升的,其中(x1,x2,…,xn,…)表示RN中的点,则有如下的正相关性成立:∫NRfgdP≥∫RNfdP∫NRgdP.     

某些迭代法的一个收敛性定理

为求解线性方程组Ax=b,将矩阵A分解为A=M-N,这里M为非奇异矩阵.得到的迭代格式x(k+1)=M-1Nx(k)+M-1b(k=0,1,2,…)对任意初始向量x(0)都收敛到解x=A-1b,当且仅当M-1N的谱半径ρ(M-1N)<1,其中M-1N称为迭代矩阵.针对线性方程组的系数矩阵为严格双α对角占优矩阵的情况,讨论了线性方程组求解时几种常用迭代方法的收敛性,给出了迭代法的一个收敛性定理,由此得到了几个重要的推论.最后举例说明了所给结果的优越性.     

哈密尔顿连通图与邻域并条件

记G＝(V，E)表示简单图，NC＝min{|N(x)∪N(y)|:x,y∈V(G),xy∈E(G)},NC2=min{|N(x)∪N(y)1:x,y∈V（G),d(x,y)=2}。1989年Faudree等4个美国著名图论专家研究课题NC≥(2n 1)／3的哈密尔顿连通图，得到：若3连通n阶图G，NC≥(2n 1)／3，则G是哈密尔顿连通图。本文进一步研究NC2≥(2n 1)／3的哈密尔顿连通图，得到界为最好的结果：若3连通n阶通图G，NC2≥(2n 1)／3，则G是哈密尔领连通图。而且本文的证明极其简捷。     

非平衡磁控溅射TiCxN1-x薄膜微结构及性能分析

为了研究不同沉积条件下TiCxN1-x(0≤x≤1)薄膜的相结构、显微硬度及摩擦性能的影响因素,用扫描电子显微镜(SEM)、X射线衍射仪分析薄膜的形貌和相结构,用HXD-1000数字式显微硬度计、MCMS-1摩擦磨损仪测试薄膜的硬度和摩擦系数.研究结果表明:TiN,TiC薄膜显示出〈111〉择优取向生长趋势,Ti(C,N)有较强的〈200〉取向,Ti(C,N)衍射峰涵盖了TiN峰和TiC峰,薄膜存在TiN和TiC两相共存.与TiN,TiC相比,Ti(C,N)薄膜具有更高硬度,当C原子含量x＝0.582时,Ti(C,N)薄膜硬度达到最大值为33.6 GPa,且表现出更低的摩擦系数和更好的耐磨性能.     

关于极值点、拐点问题的探讨

利用数学归纳法及相关引理将文献[1]中通过考察U0-(x0)和U0 (x0)内f′(x)或f(x)的符号来判断(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点的充分条件推广到通过考察U0-(x0)和U0 (x0)内f(n)(x)的符号来判断(x0,f(x0))是否为曲线y=f(x)的拐点与极值点,并在此基础上得到若y=f(x)在点x=x0的某去心邻域内具有(n-1)阶导数,在x=x0具有n阶导数(n≥2),如果f′(x0)=f″(x0)=…=f(n-1)(x0)=0,而f(n)(x0)≠0,则当n为奇数时,(x0,f(x0))是拐点不是极值点;当n为偶数时,(x0,f(x0))是极值点不是拐点,且当f(n)(x0)>0时为极小值点,当f(n)(x0)<0时为极大值点.最后将本文所得三定理举例加以应用.     

在Orlicz空间中混合阶广义导数的存在性及其估计(Ⅰ)

本文证明了,如果函数f(x)满足:(1)f(x)∈L(?)_M(G)而且f(x)的支集严格属于G,(2)对每一个变量x_1(i=1,…,n)f(x)有非混合阶广义导致D_1(?)f(x)∈L(?)_M(G)而且D_1(?)f(x)的支集也严格属于G,则f(x)的所有l 阶混合广义导数D~af(x)在L(?)_M(G)中存在并得出了相应的估计。其中L(?)_H(G)表示由N(?)函数M(u)在区域G 上生成的Orlica 空间,而l 是正整数。     

不对称于相平面坐标轴只对称于原点的■ F(x,■)=0型的微分方程极限环方程

在文献〔1〕里,作者曾推导出两个关系式: F(x,■)=F〔x,(-1)■〕 (1)(1)是用来求对称于x轴的极限环的代数方程的关系式。 F(x,■)=-F〔(-1)x,■〕 (2)(2)是用来求对称于x轴的极限环的代数方程的关系式。用同样的方法可推导出一个关系式     

用增广共轭斜量法解非线性最小二乘问题

非线性最小二乘问题,是一类目标函数具平方和形式的特殊最优化问题.它的一般形式是m茗n甲(x)X‘刀”(1一1)其中具体形式为f‘(x)为非线性的实值函数. 1,、,,__、,.2甲(x)=舟一1}f(x)}}二 2”-,.。f:R件令R’了‘f(x)=〔f:(x)…,f。(x)〕r,而 解问题(1一1)的古典方法,即熟知的Gauss一Ne叨ton算法.它将(1一1)化为序列线性最小二乘问题价:in冲(△x、)k=o,(1一2)其中‘!.,A__、1 Ilt,_.、.,‘_.:l:甲又凸蕊‘’=不了(1’、x“) 拄“。x‘({“ 八x、=X一x、 A、=Df(x*)二〔vf:(x*),…,Vf、(x*)〕r G一N算法仅对小残量及满秩(A‘列满秩)良态…     

Stieltjes常数的弱有界及其衍生Euler常数的数学表示

为了探讨Euler常数γ的数学表示式,通过对Stieltjes常数γk=nl→im∞S(Nk)=∑Nn=1lnknn-1k+1lnk+1(N+1)(k=0,1,2,…)的一个弱有界进行了进一步的优化估计,然后从该估计出发,把Euler常数γ的一个数学表达式γ=limx→0+{∑∞n=11n1+x-1x}的右边函数展成关于x的幂级数,并对其一致收敛性进行了详细地讨论.最后通过构造一个函数g(x)∑∞n=1(-1)n-1n1+x,(∞1,x∈R)而得到Euler常数γ的一个新的数学表达式.     

关于数值微分公式的截断误差分析

令L_n(x)是函数f(x)的n次插值多项式。数值微分公式f~(k)(x)=L_n~(k)(x) R_n~(k)(x)的截断误差R_n(k)(x)在引理2中用f(x)的n l,n 2,…,n m 1阶差商或导数表示出来,并且给出误差估计式:     

一类带有梯度的p(x)-Laplace方程正解的存在性

本文讨论如下p(x)-Laplace方程边值问题正解的存在和不存在性:-△_(p(x))u+g(u)■▽u■~(p(x))=λu~(q(x))x∈Ω,u=0x∈Ω,(1),其中Ω是R~N中有界开子集,p(x)∈C(Ω),q(x)∈C(Ω),N≥1,p(x)1,q(x)1,g:[0,∞)→[0,∞)的非负连续函数.λ是给定的常数.     

关于一种正态随机过程的一点注记

如果<白色干扰>信号I(t)=sum from ∈∞ to ∞ (a_kσ(t—t_k))作用于线性系统。则系统反应函数为x(t)=sum fron j=1 to N (a_jk)(t-t_j)。设t_o极小,λ极大,a~2又极小,但干扰总能量强度保持一定水平不变的话,令,a=0,那么这种信号的系统反应函数x(t)是适合于正态分布律的。(χ/σ)的各阶矩是: (χ/σ)~(2m-1)=0 (χ/σ)~(2m)=(2m)l/(2m.ml)=1.3.5…(2m-1)但直接用通常的<矩法>来计算各阶矩是相当繁杂的。本文将求x~2表达式中得到启发,不求(χ/σ)的各阶矩,可用代数方法得到(*)的结果。