共形几何代数与几何不变量的代数运算

几何不变量的使用是计算机视觉和图形学的一个重要手段.发现一个不变量后,如何找到它与其他不变量的关系,是实际应用中的一个重要问题,这种关系的探讨主要依靠在不变量层次上的代数运算.文中介绍了共形几何代数中的基本、高级和有理不变量如何在几何问题中自然出现,它们之间如何进行代数运算,以及如何通过不变量的化简,自然地得到几何条件的充分必要化和几何定理的完全化.几何定理的机器证明作为几何定理完全化的副产品,被发展成几何定理的关系定量化,这种量化的几何还原就是几何定理的自然推广.几何不变量之间的几何关系的计算是这些技术的一个具体应用.     

图形变换和运动的共形几何代数表示方法*

共形几何代数是一种新的几何表示和几何计算工具,它具有直观、简洁、高效、统一、雅致等特性。在简单介绍外积、内积和几何积等基本概念之后,重点论述了共形几何代数在图形反射、旋转、平移等变换和刚体运动、螺旋运动等方面的描述和计算方法,并给出了实验示例。共形几何代数在计算机图形学、计算机视觉和机器人学等领域将有广泛应用。     

几何代数的高阶逻辑形式化

几何代数是一种用于描述和计算几何问题的代数语言.由于它统一的表达分析和不依赖于坐标的几何计算等优点现已成为数学分析、理论物理、几何学、工程应用等领域重要的理论基础和计算工具, 然而利用几何代数进行计算和建模分析的传统方法,如数值计算方法和符号方法等都存在计算不精确或者不完备等问题.高阶逻辑定理证明是验证系统正确的一种严密的形式化方法.本文在高阶逻辑证明工具HOL-Light中建立了几何代数系统的形式化模型,主要包括片积、多重矢量、外积、内积、几何积、几何逆、对偶、基矢量运算和变换算子等的形式化定义和相关性质定理的证明.最后为了说明几何代数形式化的有效性和实用性,本文在共形几何代数空间中对刚体运动问题提供了一种新的简单有效的形式化建模与验证方法.     

共形几何代数与运动和形状的刻画

共形几何代数在基于运动和形状刻画的视觉和图形学若干问题中的应用,反映了它能够提供统一和有效的表示和算法,这些应用主要集中在采纳几何体的Grassmann分级表示以及刚体运动的旋量和扭量表示.着重介绍了Grassmann分级表示如何被应用于单眼视觉问题并带来解决方法的简化;通过对刚体运动不同表示的分析,介绍旋量和扭量表示如何克服刚体运动蹬矩阵表示中参数空间具有过多非线性约束的缺点,从而为姿态估计、形状逼近和曲线拼接等问题的解决提供简化方案.     

Clifford 代数几何不变量3D医学图像配准的方法

就3D医学图像配准数据量大、计算复杂度高、配准精度低的问题,提出一种基于Clifford代数几何不变量的配准方法,以实现人头颅部3D医学图像配准。提出配准所需的Clifford代数几何不变量及其Clifford代数方程算式,并构造适合于该几何参考轴旋转的Clifford几何旋转算子,利用所求的最大、最小值对应的Clifford几何不变量建立Clifford旋转算子,对浮动影像数据实现几何变换,以达到配准的结果。配准实验中对两个世界著名的3D医学数据集进行了测试,结果表明:该方法计算简单,几何意义直观,配准精度高,执行效率高,并且通过轴线变换不易陷入配准过程的局部极值点。     

基于几何代数的散焦模糊高维图像恢复

几何代数易于对高维空间几何进行计算和分析,应用几何代数的这一特性,将彩色图像表示为高维几何空间中的点元素,利用几何代数描述图像的变换关系,将图像的散焦变换看作是高维空间中点元素的平移运动。通过分析模糊图像以及其衍生出的相关模糊图像对应在高维几何空间中点之间的分布关系的研究,计算出空间中复原图像的点分布位置。实验结果验证了该方法的有效性。     

基于广义代数旋转曲面的刚柔混合人体几何建模方法

为了满足计算机辅助人机工程应用软件对数字化人体模型外观逼真性及运动真实性的要求,提出采用广义代数旋转曲面进行刚、柔混合人体几何建模的方法.首先在拓宽传统代数旋转曲面的基础上,提出广义代数旋转曲面并给出曲面隐式方程组的表达方式;其次利用广义代数旋转曲面对人体肢体表面进行几何统一表示,并将主躯干(腰部和胸部)在姿态变换过程中视为柔性肢体;最后,通过应用实例表明了人体模型的有效性,并能较好地满足人机仿真的需要.     

基于CGA理论的虹膜定位算法的研究*

为了能够有效提高虹膜检测和定位的质量、准确性和速度,排除光线照射、噪声或是拍摄的角度等不利的因素对定位结果的影响,本文提出一种虹膜的定位算法。该方法首先在对图像进行预处理的基础之上,运用共形几何代数理论的思想,将欧式空间当中的几何量变换到共形几何代数空间当中去,这些几何量在共形几何代数空间当中都是以统一矢量的形式表示,从而这些几何量之间的计算更加的方便、简洁,最后借助Radon变换对目标圆,即虹膜的内外圆所在的平面进行检测,实现虹膜的定位。实验结果表明,该方法简单快速且虹膜定位结果准确,抗干扰的能力强,最重要的是实现了对虹膜内外边缘的同时定位,这对提高虹膜检测和定位的效率有着重要的意义。     

基于几何约束的三次代数曲线插值

尽管三次参数曲线在曲线曲面造型中扮演着主要角色,但是计算几何专家也一直没有放弃对三次代数曲线的性质及应用进行研究。该文首先综述了近年来有关三次代数曲线研究的最新进展,对各主要方法的优缺点进行了客观的评价。然后提出了一种基于几何约束的三次代数曲线的插值方法,该方法守完全通过几何量如控制顶点、切线和曲率来控制三次代数曲线的形状,使得对三次代数曲线的编辑与对三次B－样条曲线的编辑一样灵活方便。该文提出的代数曲线的结构有两种,一种是插值平面上四点及两端点切线的三次代数曲线;另一种是插值两端点、两切线及两曲率的三次代数曲线。在第二种情况下对曲率的情况进行了详细的分类。并且从理论上对曲线的连续性及保凸性进行了严格的证明。     

超越表达式类上的代数化简器

超越表达式的化简是很困难的计算机代数符号化简问题．本文提出了一种新的超越表达式类上的代数符号化简方法，这种方法是基于爬山策略的和替换法；作为应用实例，本文还用该方法对标准三角表达式类进行了化简．目前该种化简方法已经应用于计算机代数化简系统ＣＡＳＳ１．     

直方图不变矩在零水印中的应用

本文提出了一种使用直方图不变矩抗几何攻击零水印算法。该方法首先对图像直方图进行分析,然后计算该图像的直方图不变矩,最后使用直方图不变矩来构建水印系统。水印提取过程简单,只需计算所得图像的几个直方图不变量。文中给出了实验结果,并与基于几何矩不变量的算法进行了比较。经过仿真实验证明,该方法对于旋转、缩放等攻击具有很好鲁棒性的同时,对于普通的滤波、JPEG压缩攻击也具有很好的鲁棒性,且具有极低误检率。     

Omnidirectional Robot Vision Using Conformal Geometric Computing

In this paper, we show how to use the conformal geometric algebra (CGA) as a framework to model the different catadioptric systems using the unified model (UM). This framework is well suited since it can not only represent points, lines and planes, but also point pairs, circles and spheres (geometric objects needed in the UM). We define our model using the great expressive capabilities of the CGA in a more general and simpler way, which allows an easier implementation in more complex applications. On the other hand, we also show how to recover the projective invariants from a catadioptric image using the inverse projection of the UM. Finally, we present applications in navigation and object recognition. Carlos Alberto López-Franco is a doctoral student at CINVESTAV, GEOVIS Laboratory, Unidad Guadalajara, México. He received in 2003 the M.S. degree in Computer Science from CINVESTAV, Unidad Guadalajara. His scientific interests are in the fields of computer vision, robotics and the applications of geometric algebra for mobile robots. Eduardo Jose Bayro-Corrochano gained his Ph.D. in Cognitive Computer Science in 1993 from the University of Wales at Cardiff. From 1995 to 1999 he has been Researcher and Lecturer at the Institute for Computer Science, Christian Albrechts University, Kiel, Germany, working on applications of geometric Clifford algebra to cognitive systems. At present is a full professor at CINVESTAV Unidad Guadalajara, México, Department of Electrical Engineering and Computer Science. His current research interest focuses on geometric methods for artificial perception and action systems. It includes geometric neural networks, visually guided robotics, color image processing, Lie bivector algebras for early vision and robot maneuvering. He developed the quaternion wavelet transform for quaternion multi-resolution analysis using the phase concept. He is associate editor of Robotics and Journal of Advanced Robotic Systems and member of the editorial board of Journal of Pattern Recognition, Journal of Mathematical Imaging and Vision, Iberoamerican Journal of Computer and Systems and Journal Of Theoretical And Numerical Approximation. He is editor and author of the following books: Geometric Computing for Perception Action Systems, E. Bayro-Corrochano, Springer Verlag, 2001; Geometric Algebra with Applications in Science and Engineering, E. Bayro-Corrochano and G. Sobczyk (Eds.), Birkahauser 2001; Handbook of Geometric Computing for Pattern Recognition, Computer Vision, Neurocomputing and Robotics, E. Bayro-Corrochano, Springer Verlag, 2005. He has published over 120 refereed journal, book chapters and conference papers.     

Geometric Invariant Shape Representations Using Morphological Multiscale Analysis

In this paper, we present a new geometric invariant shape representation using morphological multiscale analysis. The geometric invariant is based on the area and perimeter evolution of the shape under the action of a morphological multiscale analysis. First, we present some theoretical results on the perimeter and area evolution across the scales of a shape. In the case of similarity transformations, the proposed geometric invariant is based on a scale-normalized evolution of the isoperimetric ratio of the shape. In the case of general affine geometric transformations the proposed geometric invariant is based on a scale-normalized evolution of the area. We present some numerical experiments to evaluate the performance of the proposed models. We present an application of this technique to the problem of shape classification on a real shape database and we study the well-posedness of the proposed models in the framework of viscosity solution theory.     

图学与几何

本文讨论图学与几何的关系。从形是图之源、图形/图像的本质是几何这个基本认 识出发,指出图的产生、表示、处理与传播过程都是在处理几何的定义、变换与其间关系,因 此图与图学的基础是几何,图学计算的基础是几何计算。基于图学与计算的内涵分析,剖析了 图形计算的本质、矛盾和关键技术。讨论了代数与几何在图学计算中各自的作用与利弊,强调 人在算法设计中的主导地位。指出生成一幅图或构建一个模型的主要工作不是决定构成该图或 模型的元素本身,而在于找出元素之间的相互关系。针对图形图像已经成为计算的主要对象与 结果表述,介绍了一种基于几何的形计算机制,弥补常规数计算的不足,追求“形思考、数计算” 的几何计算新模式。     

Towards geometric control of max-plus linear systems with applications to queueing networks

The max-plus linear systems have been studied for almost three decades, however, a well-established system theory on such specific systems is still an on-going research. The geometric control theory in particular was proposed as the future direction for max-plus linear systems by Cohen et al. [Cohen, G., Gaubert, S. and Quadrat, J.P. (1999), ‘Max-plus Algebra and System Theory: Where we are and Where to Go Now’, Annual Reviews in Control, 23, 207--219]. This article generalises R.E. Kalman's abstract realisation theory for traditional linear systems over fields to max-plus linear systems. The new generalised version of Kalman's abstract realisation theory not only provides a more concrete state space representation other than just a ‘set-theoretic’ representation for the canonical realisation of a transfer function, but also leads to the computational methods for the controlled invariant semimodules in the kernel and the equivalence kernel of the output map. These controlled invariant semimodules play key roles in the standard geometric control problems, such as disturbance decoupling problem and block decoupling problem. A queueing network is used to illustrate the main results in this article.     

两空间三角形的退化关系研究

通过对两空间三角形关系的分类,讨论了几何退化对几何计算的稳健性的影响力。解决一个问题的第一步是描述这个问题,空间几何退化的完整表述是稳健几何计算算法的设计、改进以及测试的重要基础和保障。首次对空间三角形对的退化进行了深入的研究、全面的梳理。基于投影降维原理,抽取繁杂的空间两三角形关系的规律,分离出完整的空间三角形对的退化样本模型。基本策略是建立计算坐标系,通过投影降维,将空间三角形对的位置关系变成一个固定,只有一个变化的平面位置关系。以相离、接触、相交、内含的线索改变另一三角形的位置和大小,分类出空间三角形对的位置关系,检索出两者的所有退化状态。该方法可以推广到其他三维几何间的退化状态分类和几何计算算法的稳健性设计中。