Fibonacci序列构造广义M J混沌分形图谱周期性的研究

为更好的研究M-J混沌分形图谱的周期性,首先利用旋转逃逸时间算法绘制了正整数阶复映射的广义M-J混沌分形图谱,然后分析了广义Mandelbrot集(M-集)周期芽苞的分布规律,并验证了广义M-集周期芽苞存在Fi-bonacci序列拓扑不变性的规则;最后通过大量计算机数学实验,找出了M-集参数平面与动力平面上相应的Julia集图像结构之间的对应关系,同时给出了广义M-J集周期轨道的计算公式。     

Newton法对应单参有理函数族的广义M-J集

讨论了Newton法对应单参数有理函数族的广义Mandelbrot集和Julia集,给出了它们的构造算法,证明了其广义Mandelbrot集的有界性,并给出了其周期点个数的计算公式.利用数学实验的方法研究了广义Mandelbrot集周期芽苞分布规律,并通过对比分析得到了它们与z~n+c的Mandelbrot集和Julia集之间的族相似性类似的新的族相似关系.文中算法为Mandelbrot集和Julia集的发展提供了新的思路.     

2-旋转对称复动力系统的可视化研究

在复解析映射动力系统的计算机可视化研究中,采用Clifford A.Reiter的"共轭函数和"方法,结合本文作者提出的复指数模型分析构造出一个具有2旋转对称特性的复解析映射族.在参数平面上构造出与经典M集的"周期芽苞"的排列方式不同的广义M集,在动力平面上构造了新形式的2旋转对称分形图.发现了M集上的周期芽苞的排列规律,找到了参数与相应充满Julia集图形结构之间的对应关系.利用本文提出的复映射,可以大量生成以原点为充满Julia集各叶片交汇中心的2旋转对称分形图.为复解析映射的计算机可视化研究增添了新的研究对象.     

Fibonacci序列构造z-2+c广义M-J混沌分形图谱及其标度不变性的研究

利用周期分类法绘制了z^-2 c的广义M—J集分形图，分析了广义M集周期芽苞同分岔图的对应关系，发现其广义M集周期芽苞的Fibonacci序列的拓扑不变性。通过大量计算机数学试验，发现了主轴上倍周期芽苞在超吸引点处的符号序列的排列规律，给出了构造广义M集任意倍周期芽苞字提升方程的一个算法，得到主轴上各倍周期芽苞的超吸引点，通过大量计算结果猜测M集倍周期芽苞存在一个普适常数δ，Julia集存在一个标度因子。     

复映射z←()~(-a)+c(a≥2)的广义M集及其对称周期检测法

研究了指数为负实数的非解析复映射()()2+-aaczz的广义Mandelbrot集.分析和证明了a取不同值时该映射的广义M集所具有的性质,严格地给出了a为正整数时复映射周期1轨道稳定区域边界的参数方程.提出了对称周期检测法,根据各参数点的周期值对M集进行着色,并充分利用M集的对称性来减少绘制过程中计算周期时所需要的迭代运算.实验结果表明,新算法在获得高质量M分形图的同时具有较高的绘制速度.进一步地,新算法可以推广到其他M(Mandelbrot)集和J(Julia)集的绘制.     

复映射z←(-z)-a+c(a≥2)的广义M集及其对称周期检测法

研究了指数为负实数的非解析复映射z←(-z)-a+c(a≥2)的广义Mandelbrot集.分析和证明了(取不同值时该映射的广义M集所具有的性质,严格地给出了(为正整数时复映射周期1轨道稳定区域边界的参数方程.提出了对称周期检测法,根据各参数点的周期值对M集进行着色,并充分利用M集的对称性来减少绘制过程中计算周期时所需要的迭代运算.实验结果表明,新算法在获得高质量M分形图的同时具有较高的绘制速度.进一步地,新算法可以推广到其他M(Mandelbrot)集和J(Julia)集的绘制.     

复映射z←(z)-a+c(a≥2)的广义M集及其对称周期检测法

研究了指数为负实数的非解析复映射z←(z)^-a+c(a≥2)的广义Mandelbrot集.分析和证明了(取不同值时该映射的广义M集所具有的性质,严格地给出了(为正整数时复映射周期1轨道稳定区域边界的参数方程.提出了对称周期检测法,根据各参数点的周期值对M集进行着色,并充分利用M集的对称性来减少绘制过程中计算周期时所需要的迭代运算.实验结果表明,新算法在获得高质量M分形图的同时具有较高的绘制速度.进一步地,新算法可以推广到其他M(Mandelbrot)集和J(Julia)集的绘制.     

复映射Z←Z—1／WZ^W—1构造M集与J集

从复映射z←e^zw c构造牛顿变换z←z－1／wz^w-1(w≠0或1）,新的复z←z-1/wz^w-1在参数w下有可数无穷多极值点,文中构造了动力平面上的有效极值点集,根据有效极值点集中的轨道是否有界构造多种广义M集,探讨M集的图像的特征,进一步揭示了反映M集中经典“Mandelbrot”周期碎片中的参数与相应充满Julia集图象结构之间的对应关系。     

非解析复映射构造IFS的参数研究

为了采用非解析复映射构造分形或奇怪吸引子,研究了复映射f(z)=e~(iπ/2)z~n+c的广义M集的1周期参数对构造非线性IFS的影响.在该复映射的M集1周期区域随机选取参数;根据M集的对称性,用与所选参数在M集中对称位置的参数构成迭代函数系;在动力平面上构造出迭代函数系中的所有迭代函数的充满Julia集以及它们的公共吸引域;将随机选出参数所构造出的迭代函数的吸引不动点作为初始迭代点,通过在迭代函数系中连续随机选取一个迭代函数,跟踪这个吸引不动点在动力平面上的公共吸引域内的迭代轨道.通过实验,找到了可以生成分形的非线性IFS的参数选取方法.结果表明:当n取不同值时,非解析复映射族f(z)=e~(iπ/2)z~n+c的广义M集的1周期参数可以用于构造非线性IFS,这种IFS可以大量生成分形山以及具有Z_(n+1)和D_(n+1)对称特性的新分形.     

一类广义Logistic映射的分形特征与同步

本文讨论了一类二维广义Logistic实映射的Julia集和Mandelbrot集.首先采用盒维数计算法,计算了实映射Julia集的分形维数,并引入一种线性反馈控制的方法,对实映射的Julia集进行了控制.其次引入不同系统间Julia集同步的概念,通过非线性耦合控制的方法,对具有不同参数两个实映射的Julia集进行了同步.最后通过引入实参数的方法构造了实映射的Mandelbrot集,并通过梯度控制法实现了具有不同参数的两个实映射Mandelbrot集的同步.仿真结果表明了控制和同步方法的有效性.     

基于Julia分形集的模运算图像加密算法研究

作为信息安全的重要领域,图像加密算法一直是人们研究的热点。针对经典分形集合Julia集的特点,提出一种图像加密算法。将Julia集作为一种随机元素生成密钥,采用模运算方法对图像进行加密,对生成的密文进行两次扩散,得到最终密文。由于Julia集密钥仅需几个参数就可以表示,大大减小了存储空间。并且Julia集的无限性以及混沌特性使得任意参数的极其微小的变动都将导致密钥剧烈变化,无法正常解密。该算法较Rozouvan提出的以Mandelbrot分形集为密钥的转换方法,密钥空间更大,密钥敏感性显著提高,尤其能够有效抵御选择明文攻击。     

Julia 集和Mandelbrot 集的反演变换

论文讨论了居里叶集与曼德尔布罗特集的反演变换问题,通过扩充复平面 上关于任意定点的反演变换,获得了两类共轭函数。使得这两类共轭函数的居里叶集与曼德 尔布罗特集,恰好是原居里叶集与曼德尔布罗特集关于定点的反演变换,并运用逃逸时间算 法绘制居里叶集和曼德尔布罗特集的反演图。     

基于超复数系的分形准全息图象生成

提出了一种新型分形准全息图象，并采用基于超复数系分形图象的生成方法进行分形准全息图象序列的生成，生成的分形准全息图象在激光防伪等领域有着良好的应用前景。文中还给出了超复数系中分形三维图象生成的快速算法和生成结果。     

General Mandelbrot sets and Julia sets with color symmetry from equivariant mappings of the modular group

A method for constructing the general M (Mandelbrot) set of a non-analytic mapping is presented. The equivariant mapping with symmetry of the modular group is considered as an illustration. By investigating the distribution of attractors in the upper half-plane and the assignment of colors to each attractor, an algorithm is presented for the construction of filled-in Julia sets with 2- or 3-color symmetry. Such Julia sets not only reveal the characteristics of a system, but also have high artistic appeal.     

拟3D的广义M-J集

推广了Peitgen,Pickover和Carlson的方法,提出了反正切法和三维枝干法,并采用反正切法、三维枝干法和起泡法构造了一系列拟3D广义M-J集.采用复变函数理论和计算机制图相结合的实验数学方法,研究了拟3D广义M-J集的结构拓扑不变性和裂变演化规律.研究表明：拟3D广义M-J集具有分形特征,小数阶拟3D广义M-J集出现了错动和断裂,且其断裂和演化依赖于主幅角范围的选取.     

D4对称平面排列映射广义充满Julia集

为了更加直观、有效地在参数空间挑选参数构造出具有D4对称特性的平面排列映射的混沌吸收子和广义充满Julia集，在参数空间任选两个实参数构造参数断面，构造其上的广义M集。在这种广义M集的周期区域中挑选参数，可以由计算机生成大量新颖的广义充满Julia集。为了揭示出这种广义充满Julia集内部的复杂结构，给出了两种构造方法。为具有平面对称特性的动力系统的计算机图形化研究工作增添了新形式的艺术图像。     

Effect of Stochastic Noise on Superior Julia Sets

Julia sets are considered one of the most attractive fractals and have wide range of applications in science and engineering. The strong physical meaning of Mandelbrot and Julia sets is broadly accepted and nicely connected by Christian Beck (Physica D 125(3–4):171–182, 1999) to the complex logistic maps, in the former case, and to the inverse complex logistic map, in the latter. Argyris et al. (Chaos Solitons Fractals 11(13):2067–2073, 2000) have studied the effect of noise on Julia sets and concluded that Julia sets are stable for noises of low strength, and a small increment in the strength of noise may cause considerable deterioration in the configuration of the Julia sets. It is well-known that the method of function iterates plays a crucial role in discrete dynamics utilizing the techniques of fractal theory. However, recently Rani and Kumar (J. Korea Soc. Math. Edu. Ser. D: Res. Math. Edu. 8(4):261–277, 2004) introduced superior iterations as a generalization of function iterations in the study of Julia sets and studied superior Julia sets. This technique is further utilized to study effectively new Mandelbrot sets and related properties (see, for instance, Negi and Rani, Chaos Solitons Fractals 36(2):237–245, 2008; 36(4):1089–1096, 2008, Rani and Kumar, J. Korea Soc. Math. Edu. Ser. D: Res. Math. Edu. 8(4):279–291, 2004). The intent of this paper is to study certain effects of noise on superior Julia sets. We find that the superior Julia sets are drastically more stable for higher strength of noises than the classical Julia sets. Finally, we make a humble attempt to discuss some applications of superior orbit in discrete dynamics and of superior Julia sets in particle dynamics.