基于动态参数化的二次B样条插值曲线

参数化为构造B样条插值曲线提供了自由度，但在以往的研究中，这些自由度并未得到充分利用．该文给出的二次B样条曲线插值方法充分利用了参数化的自由度，直接利用插值曲线直观的几何约束条件如曲线在数据点处的切向、曲线段的相对高度等进行参数化，使得构造出的插值曲线不仅在两端，而且在中间各段具有预期的几何性质．该文的方法比起以往的参数化方法来，能更直观有效地控制插值曲线的形状．而且，所构造的插值曲线具有局部性质或近似局部性质，即当改变某个数据点的位置时，插值曲线的形状只作局部改变或除局部范围外，曲线形状改变很小或完全不变．不同于以往的插值方法，该文的方法在构造插值曲线的过程中根据曲线的几何约束条件动态地递推确定参数值、节点向量和控制顶点，整个过程不必解方程组，计算简便．该文还给出了相应的算法和应用例子．实验结果表明，该文的方法十分有效．     

基于切向约束构造复合二次B样条插值曲线

该文提出一种构造二次B样条插值曲线的新方法,包括新的参数化方法和新的插值方法.新参数化方法中,相邻曲线段的连接处与插值点相一致,以插值点的切向作为约束,利用二次B样条曲线本身的几何性质进行参数化,使曲线在每个插值点上都满足指定的切向,可以直观地控制插值曲线的形状以达到预期效果,参数化方法稳定,不必解方程组.在新参数化方法的基础上进一步提出了分段构造的思想,将形状不好的段分成多段构造,除插值点的切向外还留有其他的自由度进一步直观调控曲线的形状,使得二次B样条插值曲线的形状更自然.新方法对于数据点的改变具有良好的局部性.实例表明该方法是有效的.     

圆柱面上G1插值曲线

用向量吸收投影的方法解决了由圆柱面上给定的点及该点处切平面上的单位矢量,来构造圆柱面上的一条光滑插值曲线问题.首先,由圆柱面上给定的点及该点处切平面上的单位矢量构造一条插值给定点及给定单位向量的空间3次Bézier样条插值曲线,然后再将空间3次Bézier曲线吸收投影到圆柱面上,就得到所求的限制在圆柱面上满足插值条件G1连续的插值曲线.     

基于二进制GA的B样条重构曲线节点优化

带法向约束的自由曲线曲面重构在光学反射面设计中起至关重要的作用.本文为解决法向约束下的曲线重构问题提出了一种优化方案,使得重构出的曲线在逼近数据点的同时,亦能满足相应法向约束.首先,利用惩罚函数的方法将带法向约束的优化问题转化为无约束的优化问题.然后,引入二进制编码的遗传算法（GA）,建立合适的适应度函数,自适应产生优化节点向量,如此迭代进化,直到产生令人满意的重构曲线为止.考虑到节点向量非递减的特性,而遗传算法在寻找最优节点向量的过程中有可能打乱节点向量的顺序,所以在建立适应度函数的时候将变量调整为无序有界变量.通过与传统最小二乘方法和粒子群智能优化方法的比较,本文方案在解决带法向条件约束的曲线重构问题上优势明显,且对于任意形状的曲线重构都行之有效.     

一种有理三次样条的约束插值

将插值曲线约束于给定的区域之内是曲线形状控制中的重要问题。构造了一种仅依赖于函数值的分母为二次的有理三次插值样条,是[C1]连续的,使用起来较方便,并含有参数,具有较好的可约束控制性质。研究了该样条曲线的区域控制问题,讨论了该插值曲线约束于给定折线二次曲线上（下）方或之间的条件,并给出了数值算例。所给约束条件容易满足,便于使用。     

有理分形插值曲线的约束和单调保持EI北大核心CSCD

传统的多项式分形插值中,分形曲线曲面的局部形状约束和调整是一项困难的工作.为了使分形曲线能够在很好地逼近不规则数据的同时具有形状可调性,提出一种有理样条分形插值方法.首先基于经典的有理三次样条构造了1C连续的有理样条分形插值函数,这种有理分形插值函数的构造允许嵌入形状参数,以至于分形曲线的形状能够通过对尺度因子和形状参数的约束进行调整;然后研究了该插值函数的一些分析性质,包括一致收敛性和稳定性;最后基于构造的有理分形插值函数,通过对迭代函数系统参数的约束,分别给出了约束和单调曲线插值系统.实例结果表明,利用该方法可以将传统非递归形状可调插值分形一般化;形状参数的嵌入使得分形插值函数具有良好的拟局部性,为分形曲线的形状调整提供了有效的工具.     

有理四次插值样条曲线的区域控制

将插值曲线约束于给定的区域之内是曲线形状控制中的重要问题.构造了一种分母为线性的C1连续有理四次插值样条.该有理四次插值样条中含有参数和调节参数,因而可以在插值条件不变的情况下通过对参数的选择进行曲线的局部修改,给约束控制带来了方便,同时可以通过对参数的控制实现C2连续的插值.对该种插值曲线的区域控制问题进行了研究,给出了将其约束于给定的折线、二次曲线之上、之下或之间的充分条件.最后给出了数值例子.     

插值曲线区域控制的加权有理插值方法

将插值曲线约束于给定的区域之内是曲线形状控制中的重要问题,文中利用分母为线性的有理三次插值样条和仅基于函数值的有理三次插值样条构造了一种加权有理三次插值样条,由于这种有理三次插值样条中含有新的参数,给约束控制带来了方便,给出了将插值曲线约束于给定的折线、二次曲线之上（下）或之间的条件,最后给出了数值例子。     

圆渐开线平面插值样条及其应用

利用拼接的圆渐开线实现对平面上的数据点及其切向的插值,通过解决两点及其切向的圆渐开线插值,以及在各种不同情况下的插值处理方法,提供了圆渐开线平面插值样条的生成算法,由于圆渐开线为凸曲线,其曲率与弧长成反比,因此其样条曲线对插值曲线的形状控制是有利的,并可作为圆弧样条插值方法的一种扩展。     

一种n次均匀B样条曲线细分算法

利用 次均匀B样条细分的掩模与Pascal三角形关系,并借助控制多边形在每次加细过程中新旧控制顶点对应的几何位置关系,给出一种新的 次均匀B样条曲线细分算法,基于该算法构造出带有形状参数的局部插值约束的奇次均匀B样条细分曲线。通过理论和算例说明,该算法几何直观性强、新旧点对应明确、应用灵活且能保持良好的参数连续性。     

Lofted B-spline surface interpolation by linearly constrained energy minimization

This paper proposes a new approach for lofted B-spline surface interpolation to serial contours, where the number of points varies from contour to contour. The approach first finds a common knot vector consisting of fewer knots that contain enough degrees of freedom to guarantee the existence of a B-spline curve interpolating each contour. Then, it computes from the contours a set of compatible B-spline curves defined on the knot vector by adopting B-spline curve interpolation based on linearly constrained energy minimization. Finally, it generates a B-spline surface interpolating the curves via B-spline surface lofting. As the energy functional is quadratic, the energy minimization problem leads to that of solving a linear system. The proposed approach is efficient in computation and can realize more efficient data reduction than previous approaches while providing visually pleasing B-spline surfaces. Moreover, the approach works well on measured data with noise. Some experimental results demonstrate its usefulness and quality.     

Constrained shape modification of cubic B-spline curves by means of knots

The effect of the modification of knot values on the shape of B-spline curves is examined in this paper. The modification of a knot of a B-spline curve of order k generates a one-parameter family of curves.This family has an envelope which is also a B-spline curve with the same control polygon and of order k−1. Applying this theoretical result, three shape control methods are provided for cubic B-spline curves, that are based on the modification of three consecutive knots. The proposed methods enable local shape modifications subject to position and/or tangent constraints that can be specified within well defined limits.     

隐式二次代数曲线插值

目前,二次参数曲线在曲线曲面造型中应用非常广泛,起着至关重要的作用,因此对二次曲线的性质和应用的研究仍十分有意义。本文首先综述近年来有关二次曲线的研究,对各种方法的优缺点进行了客观的评价。然后根据三次代数曲线的构造方法,提出一种新的二次曲线的构造方法,该方法通过几何量如控制点和切线来控制二次代数曲线的形状。文章在理论上对曲线的一系列性质进行了详细说明。     

Reducing control points in surface interpolation

Surface interpolation to rectangularly arranged points is an integral part of surface design and modeling in CAD/CAM and graphics. Using B-spline surfaces, the process involves curve interpolations through rows of data points and through columns of control points. This method, as well tuned as it is, proves inadequate for recent problems such as those of reverse engineering. Data acquisition devices, such as scanners, may be used to return rows of data points, but it's not guaranteed that each row contains the same number of points. The problem then arises of passing a smooth surface through these points (assuming that interpolation is justified, meaning the number of points isn't large). Since each row contains different numbers of points, regular data interpolation can't be used. One method to solve this problem is to interpolate each row with B-spline curves and to pass a smooth surface through these curves via surface skinning. While this is a legitimate solution, the number of control points tends to become prohibitively large, especially if the number of rows is large. This article addresses the problem of how to reduce the number of control points while maintaining precise interpolation. The idea is to give the knots some flexibility so that each row can be interpolated with as few new knots added as possible     

两种带形状参数的曲线

本文构造了两种带参数的三角样条基,基于这两组基定义了两种三角样条曲线。与二次B样条曲线类似,这两种曲线的每一段都由相继的三个控制顶点生成。这两种曲线具有许多与二次B样条曲线类似的性质,但它们的连续性都比二次B样条曲线更好。对于等距节点,在一般情况下,这两种曲线都整体C3连续,在特殊条件下,它们都可达C5连续。两种曲线中的形状参数均有明确的几何意义,参数越大,曲线越靠近控制多边形。另外,当形状参数满足一定条件时,这两种曲线都具有比二次B样条曲线更好的对控制多边形的逼近性。运用张量积方法,将这两种曲线推广后所得到的曲面也具有较好的连续性。     

三种形状可调三角样条曲线

构造了3种带参数的三角样条基,基于这3组基定义了3种三角样条曲线。与二次B样条曲线类似,这3种曲线的每一段都由相继的3个控制顶点生成,且这3种曲线具有许多与二次B样条曲线类似的性质。但这3种曲线的连续性都比二次B样条曲线要好。对于等距节点,在一般情况下,这3种曲线都是整体C²连续的,在特殊条件下它们都可以达到C³连续。另外,这3种曲线都具有比二次B样条曲线更好的对控制多边形的逼近性。     

多形状参数的二次非均匀双曲B-样条曲线

给出了一类带多个形状参数的二次非均匀双曲B-样条曲线,这类曲线具有二次多项式B-样条曲线的许多重要性质.根据形状参数的不同取值,能整体或局部地调控曲线的形状;无需重节点技术或解线性方程组,就能使曲线直接插值于某些控制点或控制边.此外,这类曲线能精确地表示双曲线.     

Reducing control points in lofted B-spline surface interpolation using common knot vector determination

A new algorithm for reducing control points in lofted surface interpolation to rows of data points is presented in this paper. The key step of surface lofting is to obtain a set of compatible B-spline curves interpolating each row. Given a set of points and their parameterization, a necessary and sufficient condition is proposed to determine the existence of interpolating B-spline curves defined on a given knot vector. Based on this condition, we first properly construct a common knot vector that guarantees the existence of interpolating B-spline curves to each row of points. Then we calculate a set of interpolating B-spline curves defined on the common knot vector by energy minimization. Using this method, fewer control points are employed while maintaining a visually pleasing shape of the lofted surface. Several experimental results demonstrate the usability and quality of the proposed method.     

集多种特性的三次三角伪B样条

目的 为了同时解决传统多项式B样条曲线在形状调控、精确表示常见工程曲线以及构造插值曲线时的不足,提出了一类集多种特性的三次三角伪B样条。方法 首先构造了一组带两个参数的三次三角伪B样条基函数,然后在此基础上定义了相应的参数伪B样条曲线,并讨论了该曲线的特性及光顺性问题,最后研究了相应的代数伪B样条,并给出了最优代数伪B样条的确定方法。结果 参数伪B样条曲线不仅满足C²连续,而且无需求解方程系统即可自动插值于给定的型值点。当型值点保持不变时,插值曲线的形状还可通过自带的两个参数进行调控。在适当条件下,该参数伪B样条曲线可精确表示圆弧、椭圆弧、星形线等常见的工程曲线。相应的代数伪B样条具有参数伪B样条曲线类似的性质,利用最优代数伪B样条可获得满意的插值效果。结论 所提出的伪B样条同时解决了传统多项式B样条曲线在形状调控、精确表示常见工程曲线以及构造插值曲线时的不足,是一种实用的曲线造型方法。