一种求解约束优化问题的新的罚信赖域算法

很多现实的优化问题都能描述成一个约束优化问题。目前,已有很多经典的方法用来解决这类问题,其中尤以罚函数法最受青睐。本文中,提出了一种新的罚信赖域算法。新算法构造了两个光滑函数用来近似罚函数,并结合了信赖域算法。最后也对算法收敛性做了一些讨论。     

一类新的乘子方法

提出一种乘子方法用于解带不等式约束的非线性规划问题。其具体思路如下：先将原不等式约束问题用Fischer-Burmeister非线性规划互补（NCP）函数转化为一个等价的等式约束问题;在此基础上,经过适当修改后的DI PILLO的方法以及参考Xuewu Du,Liansheng Zhang,Yuelin Gao的方法,将等式约束问题转化为无约束极小化问题。在适当的假定条件下,通过求解一个无约束连续可微函数的最小值来得到原约束问题的解,从而可以使用标准的无约束极小化方法来求其解。最后,讨论了原不等式约束问题和转换后的无约束问题相关的最优性条件之间的等价关系,以及局部最优性和全局最优性结果：即在适当的假设下,只要罚参数充分大,并不要求罚参数趋于无穷,则原约束问题的最优解（或KKT点）对应于增广Lagrangian函数的最优解（或平稳点）。     

弱严格互补条件的QP-free方法

2000年Qi H.和Qi L.提出了利用非线性互补函数求解光滑不等式约束下的光滑目标函数的QP-free方法,该方法能在没有严格互补性假设的情况下证明全局收敛性,但在超线性收敛的证明中仍完全依赖这一假设。本文改进了这一结果,在对原假设进行分析的基础上,给出了比严格互补性假设更弱的条件,证明在这一新假设下仍然可以得到超线性收敛性。     

线搜索(LS)共轭梯度法非单调算法的全局收敛性

非单调线搜索技巧在非线性优化中得到成功的应用与扩展,非单调线搜索下的共轭梯度法则可以提高大规模非线性优化问题的收敛速度。对LS共轭梯度法做了某些变型,在非单调线搜索下,该方法保证每次迭带都会产生下降的方向,在较弱的条件下得到算法全局收敛性。     

弱互补函数的拉格朗日-拟牛顿法

2000年H.Qi和L.Qi提出光滑不等式约束函数和光滑目标函数最优化问题的QP-free方法,此法的所有的迭代点为可行点.2005年9月,我们提出了含弱互补函数的不等式约束最优化问题的拉格朗日-牛顿法,但算法中计算Hesse矩阵的工作量较大.本文改进了2005年9月提出的算法,用拟牛顿法代替了Hesse矩阵,构建了一个新的算法.证明了此法具有全局收敛性.对一些算例的计算表明此法具有很好的应用前景.     

雨量预报方法的评价模型

分析研究了2005年全国大学生数学建模的C题:雨量预报方法的评价。目前天气预报员可用来参考的客观预报方法越来越多,气象部门希望建立一种科学的评价预报方法好坏的数学模型与方法。结合该题,作者运用了统计学的观点和气象学知识,从两个不同角度建立了两个评价模型。两个模型均得出了有意义的结论,且结论相互补充;同时,两个模型均具有可推广性。针对该题的第二问,考虑到公众感受,作者对模型又进行了改进,使该模型更具合理性。     

弱互补函数的拉格朗日--牛顿法解不等式约束非线性规划问题

文献[7]提出一个光滑不等式约束函数和光滑目标函数最优化问题的QP-free方法.该法利用Fischer-Burmeister函数将约束非线性规划问题的KKT条件转化为一个非光滑的方程组.此法的所有的迭代点为可行点.本文提出了含弱互补函数的不等式约束最优化问题的拉格朗日--牛顿法.它是以构造一满足KKT条件的等式为基础的一个算法.证明了此法具有全局收敛性和局部超线性收敛性.对一些算例的计算表明此法具有很好的应用前景.     

改进的不带线搜索的两参数簇共轭梯度方法

不带线搜牵的共轭梯度方法即给出步长的具体公式来代替线搜索，由Sun和Zhang首次提出．Sun和Cheng证明了不带线搜索的两参数簇共轭梯度方法的全局收敛性．本工作深入了他们的研究；还借用拟牛顿方法的思想，改进了不带线搜索的两参数簇共轭梯度方法，并给出了具体算法和数值结果．从数值结果可以看出，改进的不带线搜索的两参数簇共轭样度方法是很有效的．     

解非线性规划信赖域SQP滤子方法的局部收敛性

讨论了信赖域SQP滤子方法的局部收敛性。SQP滤子方法是解非线性规划的一种较为有效的方法,但是滤子方法也会遇到Maratos效应。虽然完全牛顿步可能是一个超线性收敛步,但是当迭代点充分靠近原问题的严格局部解时,完全牛顿步可能会使目标函数值和约束违反度都上升,从而不被滤子接受,于是就影响了算法的收敛速度。对FLETCHER R,LEYFFER S,Ph.TOINT L在On the global convergence of a filter-SQP algorithm(2002)一文中的信赖域SQP滤子方法进行了修改,提出了一类新的算法:在这类算法中,如果完全牛顿步不被滤子接受,就通过对它进行一个二阶校正(SOC)来使得它容易被接受。     

约束非线性优化的二阶段滤子SQP算法

利用了序列二次规划来求解非线性规划问题,并且引进滤子的概念。这样做可避免使用罚函数时选择罚函数参数的困难。在算法中,每次迭代分成可行性阶段和最优化阶段。在可行性阶段中,减小不可行性的某种度量;在最优化阶段中,减小目标函数值。在一些较弱的条件下,证明了算法的全局收敛性。