Helmholtz方程基于变限积分法的数值求解

Helmholtz方程是一类描述电磁波的椭圆型偏微分方程，在力学、声学和电磁学等领域应用广泛。为了消除因高波数引起的污染效应，数值求解Helmholtz方程的传统方法是对网格进行加密，网格加密不仅增加了时间复杂度，且离散后的矩阵通常是病态的。因此，寻求对任意波数都有效的方法是必要的。在有限体积法的基础上，引入变限因子，将微分方程完全转换成积分方程，利用一元三点和二元九点Lagrange插值公式，构造含三对角矩阵的离散格式，分别对一维和二维Helmholtz方程进行变限积分法的数值求解。该方法适用于任意波数，求解过程物理意义明确，数值格式简单。对于一维Helmholtz方程研究了变限因子对误差的影响，利用Taylor展式及Lagrange插值余项公式进行误差估计，证明离散格式的截断误差达到二阶。数值实例表明该离散格式的变限因子和步长相等时，误差阶较低。对二维Helmholtz方程，探究不同波数对数值解的影响，证明离散格式的截断误差达到三阶。数值实例表明，对于不同的波数，数值格式都有较好的精度，高波数没有引起污染效应。