Iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme und Diskretisierungsverfahren bei elliptischen Differentialgleichungen |
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| Authors: | Dr Th Meis Prof Dr W Törnig |
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| Affiliation: | (1) Zentralinstitut für Angewandte Mathematik der Kernforschungsanlage Jülich GmbH und Lehrstuhl E für Mathematik der TH Aachen, Postfach 365, D-517 Jülich, Bundesrepublik Deutschland |
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| Abstract: | Zusammenfassung Die für lineare Gleichungssysteme bekannten Sätze über die Konvergenz von  Successive overrelaxation methods (SOR) und Alternating direction methods (ADI) werden auf analoge Verfahren bei nichtlinearen Gleichungssystemen übertragen. Dabei können allerdings, wie auch bei anderen Iterationsverfahren für nichtlineare Probleme, nur sogenannte lokale Konvergenz-sätze bewiesen werden. Es wird weiter untersucht, wann es Differenzapproximationen für nichtlineare elliptische Differentialgleichungen gibt, derart, daß die Funktionalmatrix des resultierenden nichtlinearen Gleichungssystems symmetrisch und positiv definit ist. Dann konvergieren SOR für 0< <2 und ADI. Solche Approximationen können zumindest für allgemeinere halblineare Gleichungen hergeleitet werden, wenn die DifferentialgleichungEulersche Gleichung eines Variationsproblems ist. Am Schluß findet sich ein Beispiel.
Iterative solutions for systems of non-linear equation and discretisation of elliptic differential equations Summary The theorems, known for systems of linear equations, on the convergence of Successive overrelaxation methods (SOR) and Alternating direction methods (ADI) are transferred to analogous methods for systems of nonlinear equations. In doing so, only so-called local convergence theorems can be proved, however, as it is the case with other iteration procedures for nonlinear problems. Furthermore, it is examined under what conditions there exist difference approximations for nonlinear elliptic differential equations, such as to the functional matrix of the resulting system of nonlinear equations being symmetric and positive definite. SOR for 0<<2 and ADI are then converging. Such approximations can be derived at least for more general semilinear equations if the differential equation is theEuler equation of a variational problem. Finally, an example is given.
Herrn Professor Dr.L. Collatz anläßlich seines 60. Geburtstages gewidmet |
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