POD Analysis and Low-Dimensional Model Based on POD-Galerkin for Two-Dimensional Rayleigh-Bénard Convection

基于伽辽金投影的Rayleigh-Bénard 热对流POD低阶模型构建及流动POD分析

马行行¹，郑鑫^2，3，王悦¹，程建平¹，张红娜¹，蔡伟华¹

（1. 哈尔滨工业大学 能源科学与工程学院，哈尔滨 150001；

2. 哈尔滨工业大学 市政环境工程学院，哈尔滨 150001；

3.里昂第一大学，维勒班，法国）

创新点说明：

1）Rayleigh-Bénard热对流的直接数值模拟及其速度场和温度场的POD分析

发现在较大Ra下，流动为准周期流动，腔体中形成一个大尺度环流。POD分析进一步指出，Rayleigh-Bénard热对流的拟序结构同样是大尺度的环流，随着基函数能量含量的减小，POD基函数的涡尺度越来越小。

2）高Ra下的流动-传热问题的低阶模型建立

低阶模型通常用来预测流动，在传热流动耦合计算方面的应用较少。同时，随着Ra的增加，流动的湍流度增强，需要更多的基函数才能较好地体现原始流动的典型特征，低阶模型的建立较为困难。本文实现了高Ra下流动-传热的低阶模型构建

3）Rayleigh-Bénard热对流系统相空间演化特性的研究

通过对比不同基函数下的低阶动力学模型的相空间演化特性，发现随着基函数个数的增加，低阶模型的预测精度更高。

研究目的：

Rayleigh-Bénard热对流是地球物理及工程应用中众多对流问题抽象出来的最简单的物理模型。实现该问题的快速计算及预测在天气预报等方面有重要意义，本文基于此研究背景，利用POD低阶模型研究Rayleigh-Bénard热对流的快速数值算法，目的在于保证精度的前提下，最大可能的缩短计算时间。

研究方法：

首先通过基于OpenFOAM软件直接数值模拟Rayleigh-Bénard热对流，求解得到Ra=10⁷下的速度场及温度场，利用POD分析方法求解数据库对应的基函数（模态）。通过伽辽金投影构建原系统的低阶动力学模型，通过比较低阶模型和原系统的相空间曲线，指出影响POD低阶模型计算精度的因素，在此基础上完善低阶模型，实现高效的计算。

结果：

通过对Rayleigh-Bénard热对流的直接数值模拟结果分析发现，在此Ra下，流动呈现准周期特性并且腔体中形成类似椭圆的大尺度环流。对POD的分析结果表明，该流动的拟序结构同样具有大尺度环流的特性，随着基函数所含能量的减小，基函数的流动尺度也相应减小。对于低阶模型研究发现，低阶模型相对于直接数值模拟的精度随着时间的增加而增加，这和许多研究者所得到的结论相同，同时，利用更多的基函数，计算精度也会提高，但相应的计算时间也会增加。所以，选取较小数量的基函数构建低阶模型并考虑截断基函数的影响的研究-关于closure model的研究非常有必要，这将是我们下一步的工作。

结论：

本文研究了Ra=10⁷下Rayleigh-Bénard热对流的流动特性，速度场及温度场POD分析，以及基于POD基函数的低阶动力学模型。主要结论如下：

1）直接数值模拟结果表明，在该Ra下，腔体中的流动呈湍流态，流动为准周期流动并可以观察到明显的大尺度环流。

2）对流场POD分析结果表明，随着基函数能量的减小，流动尺度也减小，同时，基函数也表现出大尺度环流的特性。

3）对低阶动力学模型的计算结果表明，随着选取基函数个数的增加，低阶模型的计算精度提高，同时计算时间增加。低阶模型的计算结果误差随着时间的增加而增加。

4）Rayleigh-Bénard热对流POD基函数的相空间具有准周期特性，谱系数的演化特性具有类似于正弦曲线的特性。

关键词：Rayleigh-Bénard 热对流，本征正交分解，低阶模型，直接数值模拟

Investigation on Noise Control Technology of Ultra-High Expansion Ratio Turbine

Aerodynamic noise control is one of the key technologies in the development of stealth technology of torpedo. The noise producing mechanism in an ultra-high expansion ratio turbine with partial admission were discussed. Wide wakes originating from non-outlet region between elliptical nozzles, circumferential non-uniformity owing to partial admission design and complex shock system formed in narrow space between nozzles and rotors are three main sources of aerodynamic noise in this turbine. Thus, two kinds of aerodynamic noise control methods were put forward, namely adding axial gap between the nozzle and rotor, nozzle-down, bilateral repair and trailing edge blowing. Steady annulus simulation results showed that the aerodynamic noise was significantly reduced by more than 10 dB after optimization, which had little impact on the aerodynamic performance of the turbine.