有理Bézier调和与双调和曲面的设计

针对有理Bézier调和曲面的复杂的有理性,提出一种构造有理Bézier调和曲面的近似算法.借助于有理曲线曲面的Hybrid多项式逼近方法与Bézier调和曲面的Monterde算法,将有理Bézier调和曲面的造型问题转换为线性约束条件下关于有限维变量的一个非线性目标函数的最小化问题.进一步,将该算法推广到有理Bézier双调和曲面的造型问题中去,并用有理双2次、双3次调和曲面与有理双3次双调和曲面的实例对文中算法进行了验证.结果表明,该算法对有理Bézier调和曲面与双调和曲面的构造问题有一定的实际应用价值.     

带边界约束的4片相邻三角Bézier曲面的近似合并

基于Jacobi基的性质以及条件极值问题的求解,对4片相邻三角Bézier曲面进行了近似合并.首先利用Jacobi基的正交性及其与Bézier基之间的基转换矩阵,得到合并前后三角Bézier曲面距离函数的L2范数;为了保证合并前后三角Bézier曲面在边界C0连续以及角点处高阶连续,控制顶点必须满足一系列线性约束.为得到与原曲面距离最小的近似合并曲面,只需要利用Lagrange乘子法解决带线性约束的条件极值即可.合并三角Bézier曲面的控制顶点可用矩阵显式表达,且合并的逼近误差可由合并前后曲面距离函数的L1范数形式精确给出.通过提高合并三角Bézier曲面的次数,可减小合并误差、改善合并效果.数值实例表明,该方法计算简单、直接,适用性强,逼近效果佳.     

Bézier曲线合并的区间逼近

从区域逼近的全新角度来研究几何逼近的核心问题之一:曲线的近似合并.给出了将两条或多条平面Bézier曲线合并为一条尽量细窄的区间Bézier曲线的两种方法:一是基于求已知Bézier样条曲线的上下边界直接得到区间控制顶点的值,从而诱导出一条区间合并Bézier曲线;二是基于最小二乘法求出原多段Bézier曲线合并结果的最佳一致逼近曲线作为区间Bézier曲线的中心曲线,再取区间Bézier点为常值域或变值域来得出两种误差曲线.给出大量实例来展示上述算法的逼近效果,并进行分析与比较.结果表明,算法在实现外形信息的几何逼近及数据转换方面有明显的应用前景,并可推广于空间Bézier曲线、圆域Bézier曲线、有理Bézier曲线的合并.     

Bézier曲线的等距曲线的同次多项式逼近

等距曲线广泛应用工数控机床加工过程、机器人行走路线、刺绣针法生成等工业领域中,与基曲线相比,其表示更为复杂,基本小能用有理曲线来精确表示.为了使等距曲线与CAD/CAM系统更好地相容,基于圆弧的Bézier多项式逼近,提出一种Bézier曲线的等距曲线的同次多项式逼近方法.首先利用Tchebyshev多项式逼近圆弧,并由此得到圆弧的任意次数的Bézier多项式逼近;然后利用上述圆弧逼近的方法去逼近等距曲线的基圆.进而推导出了一种Bézier曲线的等距曲线多项式逼近方法,得到等距逼近曲线是与基曲线次数相同的Bézier曲线.最后通过实例与其他基于圆弧逼近的等距曲线逼近方法进行了比较,结果表明,文中方法与其他方法具有相似的逼近效果,但大大降低了逼近次数.     

三次有理插值样条曲线曲面

利用有理三次Bézier曲线的端点插值性质,导出了构造三次插值样条曲线曲面的一种新的基函数-RB基函数.由RB基函数构造了C1有理三次插值样条曲线和有理双三次插值样条曲面.     

圆弧曲线段和球面曲面片的多项式逼近

鉴于现有的CAD/CAM造型系统不能处理圆和球面的隐式方程以及用三角函数所表示的参数方程,因此为了使现有的CAD/CAM造型系统能够处理圆弧、圆以及球面曲面片、球面,人们只能采用参数多项式和参数有理多项式来逼近它们。为了能更好地对圆弧曲线段和球面曲面片进行逼近,提出了一种基于最小二乘范数的参数Bézier多项式逼近方法。该方法根据在最小二乘范数L2下所定义的距离函数取最小值,首先得到了一个圆弧曲线段和球面曲面片的参数Bézier多项式逼近式,并把该逼近多项式表示成两个行列式的商的形式。如果所取圆弧曲线段或球面曲面片为圆或球面时,则可得到圆或球面的参数Bézier多项式逼近式。另外,用该方法也可得到椭圆弧曲线段和椭球面曲面片的参数Bézier多项式逼近式。最后给出了一些数值实例,数值实验结果表明,该方法是有效的。     

有理Bézier曲线表示圆弧的权因子计算

在基于非均匀有理B样条(NURBS)方法的计算机辅助设计系统中,经常采用有理Bézier曲线表示圆弧。文中给出了运用幂指数型权因子的有理Bézier曲线表示圆弧的方法。采用Bernstein基函数及其系数来选取权因子,使得生成的曲线可以更加接近控制多边形,结合几何作图的方法计算出构造圆弧的个控制顶点的权因子中αi的值,求解方法方便简单并且具有几何直观性,实用,符合CAGD的要求。     

Bézier曲面的广义细分

将矩形和三角形Bézier 曲面的基于直线的细分推广到基于曲线的细分.运用多项式曲线细分矩形和三角形Bézier曲面,并以参数变换和多项式开花为工具, 计算出细分后每个子曲面片的Bézier控制顶点.曲线细分使细分方式的选择更灵活, 细分后的子曲面片及其边界的形状更丰富多彩,而且该方法能推广到有理情况.     

有理Bézier单元求解参数曲面上Laplace-Beltrami方程

用有限元法数值求解时,定义在流形曲面上的偏微分方程的数值解精度会因为传统多边形单元的几何逼近误差而严重降低,为此提出基于有理Bernstein多项式的几何精确有限元法.首先插入重复节点从NURBS曲面直接生成有理Bézier单元,这一过程保持原有几何不变;然后通过Galerkin法建立参数曲面上包含Laplace-Beltrami微分算子的二阶椭圆偏微分方程的等效弱形式;针对Bernstein基函数的非插值性,通过配点法施加Dirichlet类型的边界约束,得到最优收敛的离散格式.数值算例结果表明,该方法能有效地减少网格离散误差,提高分析结果精度.     

张量积Bézier曲面降多阶逼近

给出了一种基于最小二乘范数下的Bézier曲面降多阶逼近误差的矩阵计算公式。根据带角点高阶插值条件下原张量积Bézier曲面与降多阶张量积Bézier曲面的误差函数在[0,1]x[0,1]上取极小值,得到降多阶张量积Bézier曲面的控制顶点的矩阵表达式。通过数值例子显示采用该方法所得的降多阶曲面对原曲面有较好的逼近效果。将Bézier曲线降阶逼近的迭代方法推广到曲面,得到曲面降阶逼近的迭代方法,并给出了相应的数值实例。