Analisi numerica di una disequazione variazionale legata al moto di un fluido attorno ad un ostacolo

Riassunto In un loro lavoro Brezis e Stampacchia ([1]) hanno dimostrato che il moto stazionario e irrotazionale di un fluido incomprimibile attorno ad un profilo alare si può ricondurre allo studio nel piano odografo della soluzione di una disequazione variazionale. Questo lavoro è dedicato allo studio numerico di tale disequazione variazionale col metodo degli elementi finiti. Particolare attenzione è rivolta alla valutazione dell'errore che si commette nell'approssimare la disequazione variazionale con un'altra la cui soluzione è definita su un dominio limitato; alla maggiorazione dell'errore di discretizzazione, e al delicato problema di riportare la soluzione dal piano odografo al piano fisico.

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In this paper we study the variational inequality which describes the steady flow of an incompressible fluid past a given profile from the numerical point of view. Use is made of the finite element technique and some error estimates are given.

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Questo lavoro, estratto dalla tesi di laurea (Rel. Prof A. Laratta), è stato eseguito nell'ambito del G. N. I. M. del C. N. R.     

Una famiglia di metodi iterativi per ogni ordine superiore al secondo

Sommario Per la risoluzione numerica di equazioni sono noti molti metodi iterativi: in questo lavoro, per ogni intero positivok si costruisce un metodo di ordinek+2 per radici semplici. Nel caso di polinomi a radici tutte reali, i metodi relativi ak dispari sono convergenti qualunque sia il punto iniziale.

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Many iterative methods are known for the numerical solution of equations: in this work, for each positive integralk we construct a method of orderk+2 for simple roots. In the case of polynomials with all real roots, the relative methods with oddk are convergent whatever the initial point is.

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Lavoro svolto nell'ambito delle attività del G.N.A.F.A. e dell'Istituto per le Applicazioni del Calcolo.     

Numeri “buoni”

Riassunto Questo lavoro è stato inizialmente ottenuto mediante il metodo “sperimentale” usando il computer come strumento d'indagine su argomenti riguardanti la Teoria dei Numeri. Si dà una definizione di numeroa buono per h e datoh si trova una certa serie periodica le cui ridotte sono tutti e soli i numeria buoni per h. Da ciò ne seguono alcune congetture sul periodo che conducono ad una definizione di numeri primari e primi generalizzati. Seguono infine altre congetture sulle proprietà dei primi generalizzati in relazione ai numeri della successione di Fibonacci: i numeri d'indice primo sono, secondo la congettura, primi generalizzati. I numeri di Mersenne e di Fermat sono, altrsì, primi generalizzati. La relazionea buono per h si generalizza definendoa buono per una coppia (h, q) doveq divisore dih e coprimo conh/q in quella dia buono per (h, q) riducendosi alla precedente perq=1. Anche in questo caso si ripropongono varie congetture ottenute sempre con l'indagine sperimentale. Nella seconda parte di questo lavoro molte delle congetture saranno dimostrate.

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This paper gives the results of an “experimental” computer exploration of some topics in Number Theory. We define the notion of a numbera good for h; every numberh produces a series whose partial sums are all the numbers good forh. This series appears to be periodical. Conjectures on its period are proposed, suggesting a definition of generalized primary and prime numbers. Other conjectures are concerned with properties of generalised prime with respect to Fibonacci numbers; all such numbers whose index is prime are, according to our conjecture, generalized primes. The Mersenne and Fermat numbers are equally generalized prime too. The relationa good for h is extended to a relation ofa good for a pair (h, q), whereq dividesh and is prime with respect toh/q, the previous case corresponding toq=1. Many conjectures will be demonstrated in the second part of the article.

     

Sulla soluzione numerica di sistemi di equazioni differenziali lineari con condizioni al contorno

Sommrio Vengono presentati due metodi di calcolo per la soluzione numerica di sistemi di equazioni differenziali lineari con condizioni al contorno. Tali metodi, adottando opportuni sviluppi in serie di potenze consentono la determinazione delle componenti incognite del vettore-C delle condizioni iniziali con una maggiore precisione, ed una notevole riduzione del tempo di calcolo rispetto al procedimento classico che fa uso di metodi di integrazione numerica passo-passo. Tali vantaggi vengono messi in evidenza in un esempio di calcolo in cui si confrontano i risultati ottenuti con i diversi metodi di soluzione.

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Two numerical methods for the solution of a linear differential system with boundary conditions are presented. These methods, through suitable developments in power series, make it possible to determine the unknown components of the vector of the initial conditions with greater accuracy and considerable reduction in calculation time compared with the classical methods using step by step numerical integration. Such calculation techniques are, furthemore, particulary useful where an analysis is required of the behaviour of the solution where the coefficient matrix or the vector of forcing function are varied. These advantages are brought out in an example in which the results obtained by the various methods are compared.

     

Su alcuni sistemi di complementarità connessi a disequazioni variazionali di tipo ellittico

Riassunto In [7] sono stati costruiti alcuni sistemi di disequazioni lineari che approssimano disequazioni variazionali di tipo ellittico originate dal problema della proiezione delle funzioni degli spazi di SobolevW ₀ ^{1, 1} , (Ω) sul cono delle funzioni non negative. Sistemi di questo tipo ottenuti: dal problema della minimizzazione di forme quadratiche in preseuza di vincoli lineari, in spazi di dimensione finita; da problemi della teoria dei giochi; da questioni di meccanica, sono stati di recente studiati diffusamente ([5], [10], [15]) ed hanno assunto la denominazione disistemi di complementarità. Nel presente lavoro si espone un algoritmo, idoneo al calcolo della soluzione dei predetti sistemi, basato sul metodo del cardine di Jordan. Questo algoritmo sfrutta le peculiari proprietà della matrice dei coefficieuti del sistema e consente di pervenire al calcolo della soluzione cou un numero finito di iterazioni del metodo del cardine. Nel lavoro sono esposti alcuni dei risultati numerici ottenuti in applicazioni concrete da un gruppo di ricercatori, condensati in tabelle numeriche, in grafici e tavole che consentono di apprezzare quantitativamente e qualitivamente la soluzione approssimata dell'originario problema di proiezione. In tal modo si complete con lo sviluppo della parte numerica, la trattazione teorica dei problemi variazionali, già esposti in [7].

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We refer to some variational inequalities which have been studied in [7] and to the complementarity systems obtained by a suitable discretiziation. Such systems, derived from minimization problems in finite-dimensional spaces, from the theory of games and from mechanics, have been already studied in [5], [10], [15]. We explain an algorithm which is based on the Jordan pivot method for linear programming and on some peculiar properties of the coefficients matrix. Such an algorithm gives the solution by performing a finite number of iterations. A working equipe has obtained some numerical results in concrete applications. We report such results in order to estimate the behaviour of the approximate solution.

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Lavoro eseguito nell'ambito del G. N. A. F. A. del C. N. R. nell'anno 1971.     

Procedimenti per la costruzione di piani di esperimenti incompleti

Riassunto Si illustrano due nuovi procedimenti di costruzione di piani di esperimenti incompleti a due classi: il primo riguarda i piani triangolari, il secondo i piani ciclici. Si ottengono così piani, alcuni dei quali non figurano negli elenchi fin'ora pubblicati. Si espongono inoltre i primi risultati di una ricerca sistematica, compiuta con un programma di calcolo per un elaboratore elettronico, di piani ciclici a due classi.

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Two new methods for the construction of partially balanced incomplete block designs with two associate classes are reported. The first method concerns triangular designs and the second one cyclic designs. Some designs are obtained which have not previously been published. Furthermore, the first results of a systematic search of cyclic designs using a digital computer are illustrated.

     

Modelli per l’interferenza di macchine con priorità nei servizi

Riassunto Si studia un problema di interferenza di macchine che si arrestano per più cause e che vengono assistite da un unico servente; questi osserva una disciplina di servizio che attribuisce priorità ad una delle cause di arresto. Più precisamente si considerano i casi in cui i processi delle chiamate per servizio sono poissoniani e le distribuzioni dei tempi di servizio esponenziali od erlangiane. Si indica, per la risoluzione numerica del problema, un procedimento di calcolo ricorrente.

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This is a study of an interference problem with several interruption canses, one of which is the main, on machines served by one operator only. More exactly the cases are considered here when the imputs are Poisson processes and the distributions of service times are exponential or Erlangian ones. For the numerical solution of the problem a recurrent method is indicated.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Raggruppamento n. 27 del C. N. R. (1967–68).     

Un metodo per la risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico

Riassunto Si espone un metodo non iterativo per la risoluzione numerica del primo problema al contorno per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico e si riportano i risultati di alcune elaborazioni numeriche.

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A non-iterative method is given to solve numerically the first value boundary problem for the elliptic equations. Some numerical examples are referred.

     

Un metodo alle direzioni alternate esplicito per la risoluzione numerica delle equazioni della diffusione

Sommario Si presenta un metodo esplicito alle direzioni alternate per la risoluzione numerica delle equazioni a multigruppi della diffusione neutronica, dipendenti dal tempo, in domini bidimensionali. Questo metodo ha le proprietà di avere un errore locale dell'ordineO (h ³) (doveh è il passo temporale) edi essere incondizionatamente stabile. L'efficacia di questo metodo è stata messa in evidenza attraverso alcune esperienze pratiche.

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An explicit alternating direction method is presented for the numerical solution of the time dependent multigroup neutron diffusion equations in bidimensional domains. This method has the properties to have a truncation error that behaves likeO (h ³) (whereh is the time step size) and to be unconditionally stable. The effectiveness of this method has been verified in many pratical problems.

     

Un algoritmo per la risoluzione numerica di una disequazione variazionale relativa al comportamento elastoplastico di una trave appoggiata agli estremi

Sommario Si presenta un algoritmo per la risoluzione numerica di una diseguaglianza variazionale relativa al comportamento elasto-plastico di una trave appoggiata agli estremi.

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Summary An algorithm is developed for the numerical solution of a variational inequality related to an elastic-plastic beam.

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Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.I.M.     

Studio di un procedimento di integrazione numerica per equazioni differenziali lineari a derivate parziali di tipo parabolico

Sommario In questo lavoro si esaminano la stabilità e la convergenza di un procedimento di integrazione numerica per problemi parabolici lineari a coefficienti variabili. Il procedimento è di tipo seriale, cioè viene discretizzata solo la variabile temporale, risolvendo ad ogni passo una equazione differenziale ordinaria con valori agli estremi. Il procedimento è particolarmente adatto per calcolatori di tipo ibrido. Summary This paper takes under examination stability and convergence of a numerical method for the integration of linear parabolic problems with variable coefficients. The method is a serial procedure, i. e. only the time variable is discretized, and at every step it is necessary to solve an ordinary differential equation with boundary values. At the beginning the procedure was thought for hybrid computers.

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Lavoro svolto nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.     

Un metodo numerico per la risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie

Sommario Utilizzando formule di quadratura di Newton-Cotes di tipo estrapolatorio, si propone un metodo numerico per la risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie. Il metodo è antopartente e se ne dimostra la stabilità in un caso particolare. Si riportano esempi paragonando il metodo proposto con i metodi di Milne e di Runge-Kutta.

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By making use of extrapolation Newton-Cotes formulas a numerical method for integrating ordinary differential equation is presented. The method is self-starting and stability is demonstrated in a particular case. In order to compare this method and those of Milne and Runge-Kutta some example are presented.

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Lavoro eseguito con contributo del C.N.R. nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni.     

Sulla convergenza di procedimenti iterativi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari inerenti al primo problema al contorno per equazioni di tipo ellittico

Sommario Si studiano le condizioni di convergenza di procedimenti iterativi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari che hanno origine dalla discretizzazione di problemi al contorno per equazioni alle derivate parziali lineari di tipo ellittico.

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In this paper there are examined some convergence criteria of iterative processes arising from the discretization of the boundary value problems for linear elliptic equations. A numerical example is also given.

     

Approssimazione della soluzione di una disequazione variazionale. Applicazione ad un problema di frontiera libera

Sommario Si propone un metodo numerico per l'approssimazione della soluzione di una disequazione variazionale. Lo studio trae origine da [1] in cui viene dimostrato un teorema di esistenza e unicità e da [2] in cui viene indicato un procedimento con il quale si ottiene la soluzione come limite comune di due successioni monotone, una non crescente, l'altra non decrescente, i cui termini sono soluzioni di problemi ellittici debolmente non lineari. In [2] è anche indicato un procedimento iterativo per la risoluzione di questi problemi. Scopo di questo lavoro è quello di indicare un procedimento numerico per l'approssimazione della soluzione. Si parte dall'osservazione che per avere una soluzione con una approssimazione prefissata basta risolvere uno solo dei problemi debolmente non lineari di cui sopra e si costruisce uno schema alle differenze convergente per l'approssimazione della soluzione di tale problema. Infine si dà una valutazione dell'errore commesso in questa duplice approssimazione.

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We propose a numerical method for the approximation of the solution of a variational inequality. The study takes its origin from [1], where a theorem of existence and unicity is proved and from [2], where a procedure is indicated by means of which one can obtain the solution as the common limit of two monotone sequences, the first one being non increasing, the second one non decreasing, whose terms are solutions of elliptic midly non linear problems. In [2] an iterative procedure for the solution of these problems is indicated. The paper aims at describing a numerical procedure for the approximation of the solution. We start by observing that, to obtain a solution within a given approximation, only one of the above mildly non linear problems need be considered, and we construct a convergent difference scheme for the approximation of the solution of such a problem. Finally, an estimate of the error made in this double approximation is given.

     

Equivalenza tra grammatiche,sistemi di equazioni in variabili di linguaggio e serie formali

Sommario Scopo di questo lavoro è ricercare condizioni di equivalenza di tre diversi modi per definire un lingnaggio: una grammatica non contestuale, un sistema di equazioni in variabili di linguaggio, un sistema di equazioni in variabili serie formali. Per raggiungere questo obbiettivo si introduce il ben noto concetto di serie formale; inoltre si dimostra l'esistenza e l'unicità della soluzione di un sistema di equazioni mediante il classico teorema del punto unito di Banach.

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The purpose of this paper is to investigate conditions for the equivalence of three different manners of defining a language: a context-free grammar, a system of equations whose variables are languages, a system of equations whose variables are formal sums. In order to achieve this goal, the well-known concept of formal sum is introduced; moreover the existence and uniqueness of the solution of a system of equations is proved by means of Banach's classical fixed-point theorem.

     

Stabilità massimale nei metodi di integrazione numerica del tipo predittore-correttore

Riassunto Si descrive un procedimento per la determinazione di formule massimamente stabili ak passi, del tipo a coppia predittore-correttore, per l'integrazione numerica di equazioni differenziali ordinarie. La stabilità massimale è intesa nel senso definito da Wilf. Come esempi sono stati eseguiti i calcoli relativi ai casik=1, 2, 3.

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A procedure is described, for finding maximally-stablek-step predictor-corrector methods, for the numerical integration of ordinary differential equations. The maximal-stability is to be understood as defined by Wilf. Calculations are fully developped for the casesk=1, 2, 3.

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Lavoro svolto nell'ambito del gruppo di ricerca n. 22 del Comitato per la Matematica del C. N. R.     

Interpolazione e smoothing mono e bidimensionali relativi ad operatori differenziali lineari

Sommario In questa nota si forniscono:a) una implementazione del metodo di Anselone-Laurent [1] per i problemi di interpolazione e smoothing mono e bi-dimensionali;b) un'analisi numerica del metodo delle basi locali descritto da Seatzu [2], per lo studio degli stessi problemi, relativi ad operatori differenziali lineari;c) un confronto tra i due metodi, quando siano entrambi applicabili, per quanto concerne precisione e durata dei calcoli nella risoluzione dei suddetti problemi di interpolazione e di smoothing.

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In this paper we shall give:a) an implementation of the Anselone-Laurent method [1] for the problems of mono and bidimensional interpolation and smoothing;b) a numerical analysis of the method of local bases, as formulated by Seatzu [2], in order to find out the solutions of the same problems, when linear differential operators are adopted;c) a comparison between the two methods, when they are both applicable, as for accuracy and as for time spent in finding out the solutions of the above problems of interpolation and smoothing.

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Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo GNAFA del CNR e dei programmi di ricerca dell'Istituto per le Applicazioni del Calcolo del CNR in Roma.     

Criteri di convergenza per il metodo iterativo di Jacobi nella risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico

Sommario Introducendo un opportuno spazio metrico ed utilizzando il metodo delle contrazioni, si stabilisce nu criterio di convergenza per il procedimento iterativo di Jacobi, nella risoluzione di sistemi liueari ottenuti discretizzando problemi di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico. Si prendono, poi, in esame domini reticolari di particolare tipo e per ciascun caso si migliora il criterio di convergenza Si riportano, infine, tabelle utili per una pratica applicazione dei criteri.

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By making reconrse to the central fixed point theorem of the functional analysis a criterion is found for the convergence of the Jacobi iterative method to solve linear sistems. A series of cases is given, where the criterion is improved. Tables for a practical application of the criteria are given.

     

Un metodo per il calcolo dei nodi e dei pesi delle formule di quadratura di Gauss-Hermite

Sommario In questo lavoro viene presentato un metodo estremamente veloce per il calcolo dei nodi e dei pesi associati nelle formule di quadratura di Gauss-Hermite: tale metodo utilizza matrici facilmente deducibili dalla matrice tridiagonale che può essere associata ad ogni polinomio di Hermite. Sono riportati anche alcuni tempi di esecuzione e risultati numerici.

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We propose a fast method for the calculation of the abscissas and the weights of the Gauss-Hermite quadrature formulas. Such method utilizes matrices easily deducible from the tridiagonal matrix which can be associated with every Hermite polynomials. We relate also some execution's times and numerical results.

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Presentato al Convegno U.M.I. 1975, Cagliari     

Sull’errore introdotto nel calcolo della trasformata di Fourier mediante metodi numerici

Riassunto In questa nota si esamina il problema della valutazione dell’errore introdotto nel calcolo della trasformata di Fourier con metodi numerici. Viene ricavata l’espressioue esplicita dell’errore in due casi particolari e vengono fatte utili considerazioni circa la scelta dei parametri di integrazione al fine di minimizzare l’errore commesso su un prefissato intervallo di frequenze. I risultati ottenuti sono confrontati con quelli prevedibili alla luce del Teorema del campionamento.

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In this paper the problem of calonlating the error introduced in numerical calculation of Fourier’s Integrals is examined. Formulas of the error for two partionlar cases are derived; useful considerations for choosing the parameters of integration to minimize the error throughout an assigned range are made. The obtained results are also justified on the basis of the Sampling Theorem.