Metodi ad un passo fortemente stabili per equazioni integrali di Volterra di seconda specie di tipo stiff

In this paper we propose some implicit methods for stiff Volterra integral equations of second kind. The methods are constructed on the integro-differential equation obtained by differentiation of the Volterra equation. The numerical schemes are derived using a class of A-stable and L-stable methods for ordinary differential equations (proposed by Liniger and Willoughby in [3]) associated with the Gregory quadrature formula. Related to the test equation: $$y(t) = 1 + \int_0^t {[\lambda + \mu (t - s)] y(s)ds \lambda , \mu< 0} $$ we give the definition ofA-stability and ?-stability for the proposed numerical methods how natural extension of the A-stability and L-stability for the schemes for solving ordinary differential equations. We show how we have to choose the parameters of the methods in order to obtainA-stability and ?-stability schemes. Because of these properties the proposed schemes are particularly advantageous in the case of stiff Volterra integral equations.     

Studio di un procedimento di integrazione numerica per equazioni differenziali lineari a derivate parziali di tipo parabolico

Sommario In questo lavoro si esaminano la stabilità e la convergenza di un procedimento di integrazione numerica per problemi parabolici lineari a coefficienti variabili. Il procedimento è di tipo seriale, cioè viene discretizzata solo la variabile temporale, risolvendo ad ogni passo una equazione differenziale ordinaria con valori agli estremi. Il procedimento è particolarmente adatto per calcolatori di tipo ibrido. Summary This paper takes under examination stability and convergence of a numerical method for the integration of linear parabolic problems with variable coefficients. The method is a serial procedure, i. e. only the time variable is discretized, and at every step it is necessary to solve an ordinary differential equation with boundary values. At the beginning the procedure was thought for hybrid computers.

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Lavoro svolto nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.     

Caratteristiche numeriche della forma integrale delle equazioni differenziali di ordineN

A numerical performance of integral form for the linear ordinary differential equations $$y^{(n)} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 2} { a_{i + 2} (x) y^{(n - 2 - i)} (x)}$$ is proved. Three numerical experiments are also given.     

Accelerazione della convergenza per metodi di risoluzione di equazioni differenziali ordinarie

In this paper a procedure for the acceleration of the convergence is given. It allows the doubling of the order of the multistep methods for the numerical solution of the ordinary differential equation $$y' = f(x,y),y_0 = y(x_0 );{}_{x_0 }^x \in [a,b].$$ This acceleration is applicable to any method of orderp≥1 whatsoever, and it requires the evaluation of the globalp-th derivate of the functionf(x, y). Special attention is confined to the 2⁰ and 3⁰ order methods, and a numerical exemple is provided.     

Sulla convergenza di procedimenti iterativi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari inerenti al primo problema al contorno per equazioni di tipo ellittico

Sommario Si studiano le condizioni di convergenza di procedimenti iterativi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari che hanno origine dalla discretizzazione di problemi al contorno per equazioni alle derivate parziali lineari di tipo ellittico.

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In this paper there are examined some convergence criteria of iterative processes arising from the discretization of the boundary value problems for linear elliptic equations. A numerical example is also given.

     

Un metodo per la risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico

Riassunto Si espone un metodo non iterativo per la risoluzione numerica del primo problema al contorno per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico e si riportano i risultati di alcune elaborazioni numeriche.

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A non-iterative method is given to solve numerically the first value boundary problem for the elliptic equations. Some numerical examples are referred.

     

Tecniche di riordinamento delle equazioni per la risoluzione dei sistemi lineari sparsi

Some reordering schemes are considered for the solution of large sparse sets of linear equations, leading to a considerable gain in c.p.u. time and memory requirement. From the obtained results the techniques ignoring the possible band structure of the matrix are proved to be the best.     

Sulla convergenza del metodo delle approssimazioni successive inR 1

In this paper, by means of the concept of chaos, we characterise the class of iterating functions inR ¹ for which the method of successive approximation converges from any starting point with the exception of a contable set.

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Lavoro svolto nell'ambito del GNIM-CNR.     

Criteri di convergenza per il metodo iterativo di Jacobi nella risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico

Sommario Introducendo un opportuno spazio metrico ed utilizzando il metodo delle contrazioni, si stabilisce nu criterio di convergenza per il procedimento iterativo di Jacobi, nella risoluzione di sistemi liueari ottenuti discretizzando problemi di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico. Si prendono, poi, in esame domini reticolari di particolare tipo e per ciascun caso si migliora il criterio di convergenza Si riportano, infine, tabelle utili per una pratica applicazione dei criteri.

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By making reconrse to the central fixed point theorem of the functional analysis a criterion is found for the convergence of the Jacobi iterative method to solve linear sistems. A series of cases is given, where the criterion is improved. Tables for a practical application of the criteria are given.

     

Un metodo alle direzioni alternate esplicito per la risoluzione numerica delle equazioni della diffusione

Sommario Si presenta un metodo esplicito alle direzioni alternate per la risoluzione numerica delle equazioni a multigruppi della diffusione neutronica, dipendenti dal tempo, in domini bidimensionali. Questo metodo ha le proprietà di avere un errore locale dell'ordineO (h ³) (doveh è il passo temporale) edi essere incondizionatamente stabile. L'efficacia di questo metodo è stata messa in evidenza attraverso alcune esperienze pratiche.

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An explicit alternating direction method is presented for the numerical solution of the time dependent multigroup neutron diffusion equations in bidimensional domains. This method has the properties to have a truncation error that behaves likeO (h ³) (whereh is the time step size) and to be unconditionally stable. The effectiveness of this method has been verified in many pratical problems.

     

Sulla selezione di un sistema completo di funzioni ai fini dell’approssimazione in media della soluzione di un problema di tipo misto

Sommario Considerato un problema alle derivate parziali di tipo misto, adopero, per l’applicazione del metodo dei minimi quadrati, un sistema di funzioni soddisfacenti le condizioni al contorno del problema. Dimostro la completezza del predetto sistema facendo ricorso alla relazione di reciprocità relativa al problema in studio. Questo precedimento a mio parere inusitato, mi sembra conferisca semplicità alla dimostrazione.

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A differential problem of mixed type has been considered and a set of functions satisfying the boundary conditions of the problem is used in order to applicate the least-squares method. The completeness of this set of functions is proved by means of the adjointness relation for the given problem. This method unusual, seems to confer more simplicity to the proof.

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Questo lavoro è stato eseguito nell’ambito dei gruppi di ricerca del C.N.R. nell’anno 1969.     

Generalizzazione di un metodo alle differenze finite per una classe di problemi al contorno di tipo ellittico

In a previous paper the numerical solution of a particular boundary-value problem for the «weakly linear» equation $$\Delta \left[ {u(P)} \right] = f(P,u)$$ was obtained and the convergence of a suitable finite-difference scheme was proved. This paper is concerned with the more general equation $$L\left[ {u(P)} \right] = f(P,u)$$ where $$L \equiv - \left[ {a\frac{\partial }{{\partial x^2 }} + c\frac{\partial }{{\partial y^2 }} + d\frac{\partial }{{\partial x}} + e\frac{\partial }{{\partial y}}} \right]$$ ; the solution is obtained using the same finite-difference scheme as in the previous paper, and sufficient condition for its convergence are given for this new case     

A row-type method for stiff differential equations un metodo tipo row per equazioni differenziali stiff

A third order type method with small truncation error and stepsize control is constructed. The computational efficiency is tested on some examples. Dedicato alla memoria del Professor Wolf Gross.     

Sull'analisi numeerica delle equazioni integrali di volterra

In this note we examine a fourth-order Runge-Kutta procedure for the nn-meric resolution of Volterra integral equation:

$$y(t) = f(t) - \int\limits_{t_0 }^t {\varphi (t, \tau , y (\tau )) } d\tau$$     

Metodo dei momenti per la soluzione di equazioni e sistemi di equazioni

Sommario In questa nota descriviamo una classe di possibili generalizzazioni del metodo della secaute per la soluzione di equazioni e di sistemi di equazioni, cui, per ragioni che risulteranno evidenti nel paragrafo 1.1., abbiamo dato il nome di metodo dei momenti. Vienes discusso l'ordine di convergenza e presentati alcuni esempi. Nel paragrafo 1.3., limitaitamente al caso della secante, viene dato un nuovo criterio per la scelta del punto da scartare dopo ogni iterazione, il quale offre notevoli vantaggi.

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In this paper we describe a class of possible generalization of the secant method for solving equations and systems of equations. To this class, for the reason illustrated in paragraph 1.1., we gave the name of the method of moments. The convergency order is discussed and some examples are introduced. In the paragraph 1.3., only for the sant case, a new criterion is given for the choice of the point to be discarded after every iterations. It offers some remarkable advantages.