大型复线性方程组预处理双共轭梯度法

当复线性方程组的规模较大或系数矩阵的条件数很大时,系数矩阵易呈现病态特性,双共轭梯度法存在不收敛和收敛速度慢的潜在问题,采用适当的预处理技术,可以改善矩阵病态特性,加快收敛速度。从实型不完全Cholesky分解预处理方法出发,构造了一种针对复线性方程组的预处理方法,结合双共轭梯度法,给出了一种预处理双共轭梯度法。数值算例表明该算法求解速度快,可靠高效,能够应用于大型复线性方程组的求解。     

基于雅可比矩阵逆预处理的快速潮流计算方法

随着电网规模变大，利用稳定双共轭梯度法（Bi-CGSTAB）求解潮流计算中的修正方程组时，收敛速度会变得很慢。通过寻找合适的预处理矩阵是解决问题的关键。研究了雅可比矩阵预处理方法，针对牛顿法求解潮流过程中雅可比矩阵的变化特性，提出将第一次外迭代的雅可比矩阵逆作为预处理矩阵，并与稳定双共轭梯度法相结合，提高潮流计算的收敛速度。借助InterPSS电力系统仿真软件，对IEEE118、IEEE162、IEEE300和一个欧洲大陆真实电力系统进行仿真计算，验证了在处理大规模电网时，所提方法相对稀疏近似逆预处理具备更好的有效性。     

不完全乔莱斯基分解预优共轭梯度的模型

在超分辨率影像重建中，基于最大后验估计(MAP)框架的重建方法具有较大的优势，应用非常广泛。然而，常用的迭代求解方法如最速下降法、共轭梯度法等收敛速度慢、处理时间长，经常难以满足实际处理的需要。该文在MAP框架的基础上，提出了基于不完全乔莱斯基分解预优共轭梯度的模型求解方法，即在迭代求解过程中利用不完全乔莱斯基分解构造预优矩阵，降低系数矩阵的条件数，从而提高收敛速度，节省处理时间。实验结果证明，该方法是有效的、可行的。     

基于改进共轭梯度的大规模多输入多输出预编码

针对大规模多输入多输出（Massive MIMO）系统下行链路预编码实现复杂、线性预编码矩阵求逆困难等问题，提出一种基于对称逐步超松弛预处理共轭梯度法（SSOR-PCG）的低复杂度预编码算法。该算法在共轭梯度（PCG）算法的基础上，采用对称逐步超松弛分裂（SSOR）算法对矩阵进行预处理以降低矩阵的条件数，达到提高预编码算法收敛速度、降低复杂度的目的。仿真结果表明：与PCG算法相比，所提出的SSOR-PCG预编码算法运行时间缩短约88.93%，在信噪比为26 dB时已收敛；与迫零预编码算法相比，所提算法迭代2次即可获得与迫零预编码算法相近的系统容量性能，复杂度降低约一个数量级，误码率降低约49.94%。     

一种LU分解与迭代法的结构策略及算法实现

在矩阵求解算法，直接法或迭代法都能．有效地求解大规模稀疏或病态矩阵，因此提出一种LU分解与迭代法结合的策略，采用LU分解对矩阵进行预处理，以提高迭代法的收敛性，并采用一种判断策略使矩阵的LU分解结果可最限度地重复利用，些结合策略应用于两种共轭梯度（CG）法，得到CLUCG和CLUTCG两种算法。它们已应用于模拟和混合信号电路模拟器ZeniVDE中，大量实验结果表明此结合策略是很有效的，得到的两种算法具有较好的速度和较好的收敛性。     

一种LU分解与迭代法的结合策略及算法实现

在矩阵求解算法中，直接法或迭代法都不能有效地求解大规模稀疏或病态矩阵,因此提出一种LU分解与迭代法结合的策略。采用LU分解对矩阵进行预处理，以提高迭代法的收敛性,并采用一种判断策略使矩阵的LU分解结果可最大限度地重复利用。此结合策略应用于两种共轭梯度（CG）法，得到CLUCG和CLUTCG两种算法。它们已应用于模拟和混合信号电路模拟器ZeniVDE中。大量实验结果表明此结合策略是很有效的，得到的两种算法具有较快的速度和较好的收敛性。     

求解鞍点问题的一般加速超松弛方法

针对大型稀疏鞍点问题给出了一种含有待定参数的新迭代解法,将其称之为一般加速松弛方法,简记为GAOR方法．当参数α=时,新迭代方法是变成由Golub等人给出的SOR-Like方法．该迭代法的构成是基于对系数矩阵进行的一种分裂．迭代法需要选择一个预处理矩阵和待定参数,通过适当选取预处理矩阵和待定参数,新迭代法是收敛的,并且以定理的形式给出了新迭代方法的迭代矩阵的特征值和参数之间的基本等式,从而也导出了迭代法收敛的充分和必要条件．理论结果表明新方法更具有广泛性,并且适当的选择参数可以使新方法较SOR-Like方法具有更快的收敛速度．在文中的最后给出了迭代法的数值试验结果．     

解大型稀疏线性方程组的一种有效并行ICCG法

该文分析了不完全Cholesky分解预处理共轭梯度（ICCG）法各部分的计算量，给出了占ICCG法主要计算时间的解预处理方程的并行算法，它既有比目前迭代算法快的收敛速度，又有较好的并行度。     

无记忆拟牛顿法的收敛性质

§１．引言 考虑求解无约束优化问题 的方法如下（Ｓｈａｎｎｏ,１９７８）：其中ａｋ为步长,ｇｋ＝ｆ（ｘｋ）,ｓｋ＝ｘｋ＋１－ｘｋ,ｙｋ＝ｇｋ＋１—ｇｋ。由（１．４）式给出的矩阵Ｐｋ可看成是利用ＢＦＧＳ拟牛顿公式对单位矩阵Ｉ进行修正,使之满足割线关系式Ｂｕｃｋｌｅｙ（１９８２）称该方法为无记忆拟牛顿法．较求解问题（１．１）的共轭梯度法,无记忆拟牛顿法无论是内存还是每次迭代的计算量都没有增加多少,但其计算表现比共轭梯度法好得多．关于拟牛顿法和共轭梯度法可参见文献（Ｙｕａｎ,１９９３）．当目标函数一致凸…     

Kronecker积重构卷积核矩阵的图像迭代复原方法

图像复原实际上是反卷积问题,其中的卷积核矩阵属于大尺寸的Toeplitz矩阵。为了降低迭代复原算法的计算复杂度,通过分析该Toeplitz系统的病态性及常见快速求解方法,提出一种基于卷积核矩阵重构的预条件共轭梯度迭代算法。首先根据Toeplitz矩阵可分解为Kronecker积的和的性质,对点扩散函数进行奇异值分解,将各奇异值对应的左右向量构造子Toeplitz矩阵,子矩阵作Kronecker积并加和,从而得到卷积核矩阵的分解式,然后根据Kronecker乘积的性质,将该分解式用于构造预条件算子,最后利用预条件共轭梯度法求解。计算复杂度分析及实验表明该方法有助于加速迭代的收敛并得到稳定结果。     

适用于两种特定数据结构的CG算法与SOR算法

许多科学、工程计算问题都归结为大型线性方程组的求解.共轭斜量法与逐次超松弛方法是最常用的迭代法,它们或直接用于线性方程组的求解,或用于对直接法求出的近似解进行磨光.在上述两种迭代方法中,系数矩阵与列向量的乘积占很大计算量.因此,减少寻找运算数据所占用的时间,特别是对于大型稀疏方程组,系数矩阵分块存在外存贮器的情况下,减少寻址和数据I/O次数,对提高运行效率是举足轻重的.本文给出的是适用于两种常见数据结构的CG算法与SOR算法.它们几乎节省一半的寻址时间和更多的I/O时间,特别是在有大量I/O的情况下。     

基于预条件共轭梯度法的混凝土层析成像

根据常规图像重建的共轭梯度迭代算法,提出一种预条件共轭梯度法。用一种新的预条件子M来改善系数矩阵的条件数,结合一般的共轭梯度法,导出预条件共轭梯度法。实验结果表明,预条件共轭梯度算法比共轭梯度算法具有更好的CT重建效果和消噪能力,可提高计算的精度和图像的重建质量。     

GRAPES动力框架中大规模稀疏线性系统并行求解及优化

赫姆霍兹方程求解是GRAPES数值天气预报系统动力框架中的核心部分,可转换为大规模稀疏线性系统的求解问题,但受限于硬件资源和数据规模,其求解效率成为限制系统计算性能提升的瓶颈。分别通过MPI、MPI+OpenMP、CUDA三种并行方式实现求解大规模稀疏线性方程组的广义共轭余差法,并利用不完全分解LU预处理子（ILU）优化系数矩阵的条件数,加快迭代法收敛。在CPU并行方案中,MPI负责进程间粗粒度并行和通信,OpenMP结合共享内存实现进程内部的细粒度并行,而在GPU并行方案中,CUDA模型采用数据传输、访存合并及共享存储器方面的优化措施。实验结果表明,通过预处理优化减少迭代次数对计算性能提升明显,MPI+OpenMP混合并行优化较MPI并行优化性能提高约35%,CUDA并行优化较MPI+OpenMP混合并行优化性能提高约50%,优化性能最佳。     

求解多集分裂可行问题的一种共轭梯度法

基于求解多集分裂可行问题与非线性最优化问题的等价性,考虑Jinling Zhao and Qingzhi Yang在[1]中提出的求解SFP的共轭梯度法和Censor等在[2]中提出的梯度投影法,尝试运用共轭梯度法求解多集分裂可行问题;并且证明了所构造算法的收敛性．提出的新算法克NT求矩阵逆的缺点．初步的数值结果表明新算法对于不同的问题都能够有较快的收敛速度,具有良好的稳定性和可行性,在问题维数增大时表现得越发明显．     

基于低秩稀疏分解快速算法的动态MRI重建

通过低秩加稀疏矩阵分解模型重建欠采样动态磁共振图像时,常采用变量分裂算法来求解。针对共轭梯度法在二次项更新中迭代计算较为复杂的问题,为了加快重建速度,提出一种考虑数据采集算子形式的高效变量分裂方案,将数据采集算子根据欠采样掩码矩阵、傅里叶变换算子和线圈灵敏度矩阵进行拆分,简化算法子问题中二次项更新所涉及的矩阵逆运算,达到加快算法收敛速度的目的。仿真实验结果表明：与迭代软阈值法和共轭梯度法相比,所提算法在心电影数据集中收敛速度分别提高了57.9%和83.0%,结构相似性分别提升了3.3%和1.4%;在心脏灌注数据集中收敛速度分别提高了55.5%和79.6%,结构相似性分别提升了1.5%和0.4%。     

无约束优化的两类变参数共轭梯度法

§１．引言 共轭梯度法是求解无约束优化问题ｍｉｎ ｆ（ｘ）的一类非常重要且有效的方法．当目标函数ｆ（ｘ）连续可做时,其迭代格式为这里 ｑｋ＝ 　ｆ（ｘｋ）,ｄｋ是一个搜索方向．当 ｆ（ｋ）为凸二次函数时,适当选择系数 Ｂｋ－１,使得ｄｋ与ｄｌ,ｄ２,…,ｄｋ－１关于ｆ（ｘ）的Ｈｅｓｓｅ矩阵共轭。ａｋ是由精确线性搜索确定的步长．共轭梯度法具有二次终止性．然而当目标函数为一般的非线性函数时,即使在精确线性搜索下,各共轭梯度法的收敛性也很难保证．［１,２］证明了 ＦＲ方法在精确线性搜索下仍具有全局收敛性．然…     

粗糙面上2D目标散射的KA-CG方法

针对TE极化下粗糙面上方的目标散射问题,提出了粗糙面的基尔霍夫近似(KirchhoffApproximation,KA)计算与目标的共轭梯度法(Conjugate Gradient,CG)求解相结合的混合算法,无需数值求解粗糙面的EFIE,节省了大量的计算时间。提出目标与粗糙面的快速互耦迭代算法:每一次迭代中,首先用上次求得的目标表面场计算粗糙面的差值感应场,代入目标积分方程求解右端激励项,再用CG方法求解目标的EFIE获得新的目标表面场。多次迭代直至目标的表面感应场收敛。结合Monte-Carlo方法迭代计算了二维Gauss粗糙面上柱状目标的散射,数值分析其散射峰值的角度性分布。     

求实对称矩阵部分特征值的并行算法

提出了并行求解实对称稠密矩阵部分特征值的反幂法的预处理方法.该方法基于带状矩阵特征问题反幂法的信息传递复杂度低的特点,采用Householder变换并行算法约化大型实对称稠密矩阵为一定带宽的带状矩阵,针对带状矩阵用反幂法求解矩阵的在某一点的近似特征值;其中针对反幂法迭代中遇到的线性方程组,采用文献中的并行预处理共轭梯度算法求解.最后在Lenovo深腾1800集群上进行数值实验,并与预处理前反幂法的计算结果进行了比较,实验结果表明,经过预处理后的并行性远高于直接采用反幂法的并行性.     

应用预处理AWE技术快速计算导体目标宽带RCS

应用渐近波形估计技术计算目标宽带雷达散射截面（RCS）,可有效提高计算效率。然而当目标为电大尺寸时,阻抗矩阵求逆运算将十分耗时,甚至无法计算。提出使用Krylov子空间迭代法取代矩阵逆来求解大型矩阵方程,应用双门槛不完全LU分解预处理技术降低迭代求解所需的迭代次数。数值计算表明,该方法结果与矩量法逐点求解结果吻合良好,并且计算效率大大提高。     

基于工作站机群并行求解有限元线性方程组

随着计算机高速网络技术的发展,工作站机群正在成为并行计算的主要平台.有限元线性方程组在土木工程结构分析中是最常见的问题.预处理共轭梯度法(PCGM)是求解线性方程组的迭代方法.对预处理共轭梯度法进行并行化并在两个不同的机群上实现,对存储方式进行详细分析,编程中采用了稀疏矩阵向量相乘的优化技术.数值结果表明,设计的并行算法具有良好的加速比和并行效率,说明并行计算能更快地求解大规模问题.