多自由度非线性振动的迭代配点法研究

多自由度非线性振动的数学模型为非线性微分方程组的初值问题。文章运用重心有理插值迭代配点法研究了求解多自由度非线性振动的问题;通过构造一个逼近非线性微分方程组的线性化迭代格式,采用重心有理插值微分矩阵离散线性化微分方程组,由线性化迭代计算最终得到非线性方程组的数值解。结果表明:依据算例的解析解和数值解比较,重心有理插值迭代配点法能够高精度计算模拟多自由度非线性振动的各项物理量,并且简单有效,具有优异的计算稳定性。     

梁方程降阶计算的重心插值配点法

采用重心插值配点法求解梁方程时,随着计算节点数量的持续增加,其计算精度将逐步下降。通过对降阶计算重心插值配点法的研究,可为数值求解梁方程提供一种数值稳定性好、计算精度高的新方法。文章基于重心Lagrange插值及其微分矩阵,推导了梁方程降阶计算重心插值配点法的公式,并通过数值算例验证其有效性。结果表明:随着计算节点数量的持续增加,降阶法的计算精度仍保持在10-10~10-12范围内;求解两端简支的梁方程时,两步降阶法的计算精度高于一步降阶法;直接法计算矩阵条件数与节点数的7次方是同阶的,而一步降阶法计算矩阵条件数与节点数的4次方是同阶的,降阶法可以有效地降低计算矩阵的条件数,提高计算精度;重心插值配点法采用矩阵—向量形式的计算公式,便于程序的编写,提高了计算效率。     

重心有理插值配点法分析矩形板自由振动

重心型有理函数插值在整个求解区间具有无穷次光滑性,且不存在极点,保证了计算的精度.本文在计算区间采用工程上常用的等距节点离散,利用数值稳定性好、计算精度高的重心有理插值配点法求解矩形板的自由振动,并与Chebyshev配点法等方法的计算结果做了对比.算例表明:重心有理插值配点法具有计算公式简单,程序实施方便和计算精度高的优点.     

求解边值问题的重心有理插值配点法

将计算区间采用等距节点离散,利用重心有理插值近似未知函数,建立未知函数各阶导数在计算节点上的微分矩阵,提出数值求解微分方程边值问题的重心有理插值配点法.采用重心有理插值配点法将微分方程及其边值条件离散为线性代数方程,数值求解代数方程得到未知函数在节点的函数值,进而利用微分矩阵可以得到未知函数的各阶导数值.数值算例表明,重心有理插值配点法具有计算公式简单、程序实施方便和计算精度高的优点.     

求解两点边值问题的有理插值Galerkin法

将求解区间上部分节点的Lgrange插值,通过加权可以构造出一类重心型有理插值函数.重心型有理插值函数在整个区间上具有无穷次光滑性,且不存在极点.本文利用重心型有理插值函数作为试函数,采用Galerkin法提出了求解线性常微分方程两点边值问题的一种新型数值方法.给出了数值计算公式和数值实施流程.数值算例验证了本文方法的有效性和计算精度.     

一维重心型插值:公式、算法和应用

重心插值公式具有计算量小、数值计算稳定性好和增加新的插值节点不需重新计算原有插值节点基函数的优点。将经典Lagrange插值改写为重心插值公式,配合切比雪夫点作为插值节点可以避免Lagrange插值的振荡性,有效地提高Lagrange插值的插值精度。在重心插值公式中,通过对插值权的不同选取,可以得到重心有理插值格式。相比多项式插值,重心有理插值具有更高的插值精度。本文对一维重心型插值公式、插值节点分布、插值精度和应用作了评述。给出了各种插值格式的表达式、相关的计算机编程算法和插值算例。     

一类改进的m步Newton法

非线性代数方程组的求解问题是科学与工程计算中一个常见而且重要的问题;Newton迭代法及其变体m步Newton法是最主要、最常用的方法.提出了非线性代数方程组迭代解法的一类加速方法;并构造了一种加速迭代格式,将该加速格式与m步Newton法相结合,得到一种收敛速度快而且计算稳定的方法,并给出了具体算法;数值结果表明了新算法是有效的.此方法具有一定的广泛性,可以直接推广到许多已有的方法,如拟Newton法、m步离散Newton法等,且可以在一定程度上改善这些方法的收敛速度和稳定性.     

一维重心型插值:公式、算法和应用

重心插值公式具有计算量小、数值计算稳定性好和增加新的插值节点不需重新计算原有插值节点基函数的优点。将经典Lagrange插值改写为重心插值公式,配合切比雪夫点作为插值节点可以避免Lagrange插值的振荡性,有效地提高Lagrange插值的插值精度。在重心插值公式中,通过对插值权的不同选取,可以得到重心有理插值格式。相比多项式插值,重心有理插值具有更高的插值精度。本文对一维重心型插值公式、插值节点分布、插值精度和应用作了评述。给出了各种插值格式的表达式、相关的计算机编程算法和插值算例。     

重心插值配点法求解初值问题

将计算区间采用第二类Chebyshev点离散,利用数值稳定性好、计算精度高的重心Lagrange插值近似未知函数,建立未知函数各阶导数在计算节点上的微分矩阵,提出数值求解微分方程初值问题的重心插值配点法。采用重心插值配点法将微分方程及其初始条件离散为线性代数方程。将初始条件离散代数方程直接附加到微分方程离散代数方程组,得到n个变量n 2个方程的代数方程组,采用最小二乘法法求解线性代数方程,得到节点的函数值。进而利用微分矩阵直接计算得到未知函数在节点的一阶导数和二阶导数值。数值算例表明本文方法具有计算公式简单、程序实施方便和计算精度高的优点。     

轴向均布荷载压杆稳定问题的重心插值配点法

用重心插值配点法对轴向均布荷载下压杆稳定问题进行了研究。采用重心Lagrange插值多项式建立未知函数的微分矩阵,采用配点法将压杆稳定问题的控制方程表示为代数方程组。通过求解代数方程组系数矩阵的特征值和特征向量,得到了精度很高的后屈曲挠度数值和临界载荷数值。实例证明,这种方法原理简单,易于程序实现。     

重心插值配点法求解初值问题

将计算区间采用第二类Chebyshev点离散,利用数值稳定性好、计算精度高的重心Lagrange插值近似未知函数,建立未知函数各阶导数在计算节点上的微分矩阵,提出数值求解微分方程初值问题的重心插值配点法。采用重心插值配点法将微分方程及其初始条件离散为线性代数方程。将初始条件离散代数方程直接附加到微分方程离散代数方程组,得到n个变量n＋2个方程的代数方程组,采用最小二乘法法求解线性代数方程,得到节点的函数值。进而利用微分矩阵直接计算得到未知函数在节点的一阶导数和二阶导数值。数值算例表明本文方法具有计算公式简单、程序实施方便和计算精度高的优点。     

多元指数插值响应面方法分析复杂结构可靠度

引入多元指数型插值基函数,采用正交实验设计和有限元分析生成插值点,建立指数插值响应面函数,采用随机投点法和有限元分析生成校核样本点,以校核样本点原函数值与插值函数值距离最小为优化目标,求解多元指数插值函数的待定参数,并构造迭代求解格式控制求解精度,建立了复杂结构可靠度分析的多元指数插值响应面方法.算例分析结果表明,该方法对非线性程度较强的隐式功能函数具有较高的分析精度和效率.     

重心插值配点法分析梁弯曲问题

重心Lagrange插值具有数值稳定性好、计算精度高的优点。本文采用重心Lagrange插值多项式建立未知函数的微分矩阵。采用配点法将梁的控制方程表示为代数方程组。通过求解代数方程组,求得梁的各个离散点的挠度,进而利用微分矩阵求得梁的转角和弯矩。数值算例表明,本文所提出的方法具有原理简单,易于程序实现和数值计算精度高的优点。     

重心插值配点法分析梁弯曲问题

重心Lagrange插值具有数值稳定性好、计算精度高的优点.本文采用重心Lagrange插值多项式建立未知函数的微分矩阵.采用配点法将梁的控制方程表示为代数方程组.通过求解代数方程组,求得梁的各个离散点的挠度,进而利用微分矩阵求得梁的转角和弯矩.数值算例表明,本文所提出的方法具有原理简单,易于程序实现和数值计算精度高的优点.     

槽流线性稳定性的算法分析

将Chebyshev谱方法以及普通格式和高精度格式的有限差分法用于槽流线性稳定性数值分析。通过求解结果以及算法特性的比较,说明谱方法计算离散点在向壁面边界靠近时自动加密,符合壁面附近流动量变化较剧烈的物理特性;在相同计算量与耗时的情况下,谱方法的计算精度高于有限差分法,并且精度随基函数使用个数的增加而提高显著;谱方法可直接求解特征值问题,给定其他参数后能够一次求出多个值,而有限差分法需要预估初值迭代计算,不仅降低计算效率而且影响迭代收敛过程和速度。可见Che byshev谱方法应用于壁面剪切流稳定性研究具有优越性。     

重心插值配点法分析梁屈曲问题

重心Lagrange插值具有数值稳定性好、计算精度高的优点。采用重心Lagrange插值多项式建立未知函数的微分矩阵,采用配点法将梁的控制方程表示为代数方程组。通过求解代数方程组系数矩阵的特征值和特征向量,求得梁的临界应力和屈曲模态。数值算例表明,文中所提出的方法具有原理简单,易于程序实现和数值计算精度高的优点。     

重心插值配点法分析梁屈曲问题

重心Lagrange插值具有数值稳定性好、计算精度高的优点.采用重心Lagrange插值多项式建立未知函数的微分矩阵,采用配点法将梁的控制方程表示为代数方程组.通过求解代数方程组系数矩阵的特征值和特征向量,求得梁的临界应力和屈曲模态.数值算例表明,文中所提出的方法具有原理简单,易于程序实现和数值计算精度高的优点.     

利用非线性方程组求解矩阵特征值特征向量

矩阵特征值问题已成为数值计算中的一个重要组成部分 ,为有效求解此类问题 ,提出了一种求解特征值的新方法 :利用非线性方程组的Newton迭代法求解特征向量 ,为提高迭代的收敛速度 ,引入同伦思想 ,利用插值方法 ,得到近似特征向量Y(N) ,以Y(N) 作为迭代初值 ,从而快速求出问题的具有较高精度的解 .该算法稳定性好 ,可并行运算     

槽流线性稳定性的算法分析

将Chebyshev谱方法格式和高精度格式的有限差分法用于槽流线性稳定性数值分析。通过求解结果以及算法特性的比较，说明谱方法计算离散点在向壁面边界靠近时自动加密，符合壁面附近流动量变化较剧烈的物理特性；在相同计算量与耗时的情况下，谱方法的计算精度高于有限差分法，并且精度随基函数使用个数的增加而提高显著；谱方法可直接求解特征值问题，给定其他参数后能够一次求出多个值，而有限差分法需要预估初值迭代计算，不仅降低计算效率而且影响迭代收敛过程和速度。可见Chebyshev谱方法应用于壁面剪切流稳定性研究具有优越性。     

求解带不可微项方程的一种改进的弦截法

针对带不可微项方程的求解问题,给出了一种改进的弦截法.该方法在迭代过程中不需要计算函数的导数值,而是用函数的均差来替代导数值,利用优序列技巧,在y一条件下,证明了该迭代格式的收敛性,并给出了误差估计.得到的结果为:当判据α满足一定条件时,该迭代格式所产生的向量序列{zn}与{wn}均收敛于带不可微项方程的唯一解z*.