自适应自然单元法研究——误差估计

实现自然单元法自适应分析的首要步骤是对NEM求解误差进行有效估计,鉴于Z-Z方法在有限元自适应分析中的成功应用以及近年来在无网格伽辽金方法误差估计中的高效实用,尝试将其应用于自然单元法的求解误差估计。应用自然单元法和位移模型求解固体力学问题时,由于NEM形函数在离散节点处的导数不存在以及在边界节点间满足线性插值,以致自然单元法求解不能直接给出节点上的应力、应变值,而且应力、应变值在边界上为分段常数。因此,有必要根据求解得到的位移场进行应力恢复以提取节点处的应力、应变值并构造全域光滑的应力场。针对自然单元法的特点,建议先利用自然单元法求解得到的全域光滑位移场,在节点处应用移动最小二乘方法提取应变、应力值;然后利用节点上恢复的应力、应变值,采用自然相邻点插值构造全域光滑的应力、应变场。大量数值实例表明,构造的光滑应力场具有较原始解更高的数值精度和收敛性。基于Z-Z方法将原始应力解和应力恢复解之间的差值作为误差的近似估计是可行的、简单高效的。     

自然单元法数值积分方案研究

自然单元法采用自然相邻点插值方法在全域构造近似函数和试函数,该方法基于整个求解域内离散节点的Voronoi结构。采用标准Galerkin法形成系统的平衡控制方程时,对弱形式的积分是在Voronoi图的对偶图Delaunay三角形内进行的;但自然单元法形函数其局部支撑域与背景积分域不一致,从而导致了相当的积分误差。单位分解积分方法利用无网格形函数满足单位分解的条件,从而将对弱形式的积分转化到形函数的紧支域内进行;但自然单元法中形函数紧支域的形状和大小由Voronoi结构所限定且形状较为复杂,实现单位分解积分算法需对其形函数紧支域进行分解映射,计算量较大。若在Delaunay三角形内采用基于三角形内平均应变的单点积分方案,利用散度定理可将三角形内平均应变的计算转化为在三角形边界环路上的积分,从而在形成系统矩阵的过程中无需形函数导数的计算,计算量小而精度高。采用单位分解积分方案,其计算精度和收敛性均好于基于平均应变的点积分方案,但综合计算精度和计算效率考虑,则基于平均应变的点积分方案较为理想。     

有限元法、无单元法及自然单元法之比较研究

无单元法与有限元法的根本区别在于形函数的构造方法不同，因而得到的形函数形式也不同，但可统一于单位分解。另外，采用Galerkin法对偏微分方程求解时需要对弱形式在求解域内积分，研究表明有限元法和无单元法中对弱形式的积分可统一于单位分解积分方法。无单元法解决了有限元法中前处理复杂以及难以有效处理的诸如裂纹扩展和大变形等问题；然而自身也存在着计算量大、边界条件和不连续的场变量及其导数处理上的困难。自然单元法是新近出现的一种求解PDE的数值方法，它兼有无单元的特性和有限元的优点，可以认为是介于两者之间的一种极具发展前途的数值方法。     

点插值方法及其在工程中的应用

点插值法（PIM）是最近发展起来的一种新的数值方法。用点插值方法构造的形函数是简单的多项式并且具有Kronecker delta属性,从而克服了位移边界条件难以实现的困难。点插值形函数及其导数计算简单,同时它又具有其它无单元法的优点,只需节点信息,不要求把节点连成单元,计算精度高,后处理方便等。文中介绍了点插值法的基本原理及其实现方法,数值算例表明,理论真确,方法简单有效。     

基于局部Petrov-Galerkin过程的自然单元法及其面向对象的设计与实现

提出了一种能够用于实际岩土及地下工程全自动分析计算的数值计算新方法——局部自然单元法。该方法利用求解点的自然邻结点和Voronoi结构构造整体近似位移函数，且在求解区域的局部Delaunay三角形子域上使用局部Petrov-Galerkin过程建立整体求解的系统平衡方程，其积分可在背景三角形网格的形心上采用一点数值积分得到。同时，利用对象设计思想建立了局部自然单元法的自动建模类、分析求解类、施工过程控制类及其相关类和方法，为进一步研究和系统开发工作提供了一个易于维护和扩展的基本系统框架。数值算例结果表明，理论正确，方法有效。     

Winkler地基上正交各向异性板计算的自然单元法

自然单元法是一种基于Voronoi图及Delaunay三角形剖分图,以自然邻接点插值为试函数的一种无网格数值方法.基于自然单元法中自然邻接点的Laplace插值形函数,求出了其一阶及二阶导函数,建立了Winkler地基上正交各向异性Kirchhoff弹性薄板的自然单元法求解控制方程,并进行了相应的程序实现,最后通过算例分析表明了该方法的可行性和有效性.     

无网格自然邻接点法及其在岩土工程数值模拟中的应用

基于Laplace插值函数提出了一种类似于无单元伽辽金法的无网格方法——无网格自然邻接点法。该方法克服了自然单元法需要全域三角形网格以及无单元伽辽金法难以准确施加位移边界条件和材料不连续条件、形函数的计算复杂、权函数的选择困难等缺点,适合于考虑多种材料、多步施工过程等复杂岩土工程的自动数值模拟。详细讨论了这种无网格自然邻接点法的分析过程和基本理论,给出其在杆、梁、节理单元和材料不连续面等方面的处理办法,并用一些标准算例和实际的地下工程算例对本文方法的效率、精度和可靠性进行了验证。     

裂纹扩展分析的无网格流形方法

运用无网格流形方法求解裂纹扩展问题。该方法利用单位分解法和有限覆盖技术建立形函数。形函数的建立不受域内不连续面的影响,可较好地求解裂纹问题。尤其当这种不连续面变得复杂时,更能显示该方法的优点。对于应变局部化问题,该方法的形函数构造较其他方法更为有效,避免了其他方法在建立试函数时不能考虑不连续尖端的缺点。与传统的数值流形方法相比,无网格流形方法的有限覆盖形状更加灵活。它可以用一系列节点的影响域来建立有限覆盖和单位分解函数,具有无网格方法的特性,从而摆脱了传统数值流形方法中网格所带来的困难。与目前的无网格方法相比,由于采用了有限覆盖技术,试函数的构造不受域内不连续面的影响,克服了原有的无网格方法在处理不连续问题时所遇到的困难。在求解裂纹扩展问题时,弹性力学基本方程的弱形式采用加权残数法获得。最后利用无网格流形方法追踪岩体试件在复杂应力状态下裂纹扩展过程。在此给出了数值算例,并将计算结果与实验结果进行对比,说明该方法的正确性和可行性。     

自然单元法在圆柱壳面中的应用

指出自然单元法是一种新兴的无网格数值计算方法,其实质是基于自然相邻插值的伽辽金法,介绍了自然单元法的原理和二维自然单元法算法的程序流程,最后通过算例证明了该算法的有效性。     

二维耦合热弹性动力学问题的无网格自然邻接点Petrov-Galerkin法

为了更有效地求解二维耦合热弹性动力学问题,对无网格自然邻接点Petrov-Galerkin法在此类问题中的应用进行了研究,并发展了相应的计算方法。该方法建立试函数时可以只依赖于一组离散的节点,有效地避免了复杂的网格划分和网格畸变的影响。相对于常用的移动最小二乘而言,自然邻接点插值不涉及复杂的矩阵求逆运算,更不需要任何人为参数。由于运动方程和瞬态热传导方程相互影响,这些方程必须联立求解。采用Newmark法求解空间离散后得到的二阶常微分方程组,进而可直接获得温度场和位移场的数值结果。     

基于Voronoi图的新型几何插值及其与传统代数插值方法的比较

基于Voronoi图的自然邻居插值是自然单元法的数学基础，也是一种新型的几何插值方法，具有与其他常用传统插值不同的构造方法，并表现出一定的优越性。介绍基于自然邻居插值关系的Sibson插值和non-Sibsonian插值，并与有限元法和无单元法所用的插值方法在插值方案、网格特性、计算工作量等方面进行了比较分析。     

无网格法对岩体不连续面的模拟

 鉴于以Goodman单元为代表的界面单元在传统有限元法中取得了广泛而成功的应用,因而采用无网格法进行岩土工程数值分析时,首先考虑引入Goodman单元以模拟不连续面。详细分析将Goodman单元引入无网格法模拟不连续面的可行性和当前研究所存在的问题。研究结果表明,由于Goodman单元最初的应用对象是有限元法,其位移模式实质是为了实现与其相连接的有限单元相协调;而无网格的位移模式是基于离散节点的,对于不同的待插值点,影响域覆盖该插值点的节点及其数量也不相同;因而必然存在着无网格法的位移模式与Goodman单元边界上假定的位移模式不相协调的问题。解决这个问题的关键是在考虑节理单元的刚度对总体刚度矩阵的贡献时,应采用数值积分计算得到节理单元的刚度矩阵而不是简单的将传统解析表达式累加到求解系统的总体刚度矩阵中去;考虑到上述特点,界面单元可以隐式或显式出现在计算模型中。以自然单元法为例详细介绍显式和隐式Goodman单元的具体实现方案,并给出相应的算例进行数值验证和对比;所提出的思路对于一般的无网格方法都是适用的。     

地下工程开挖计算的广义有限元法

基于传统有限元理论，将每个结点位移的Lagmnge型插值空间推广为具有任意多个广义位移的函数展开式，在不增加结点个数的前提下，仅通过提高结点插值函数的阶数，达到提高有限元精度的目的，建立了三维广义8结点等参单元和一维广义杆单元。首先推导单元的广义形函数，并给出单元的位移模式；然后进一步推导单元应变矩阵和劲度矩阵以及单元等效荷载列阵等有限元列式。针对地下工程开挖问题，提出联合运用广义有限元和传统有限元，在开挖边界附近和加锚区围岩采用高精度的广义有限元，在远离开挖区域岩体采用高效率的传统有限元，既改善有限元的计算精度，又提高有限元的计算效率，并探讨了广义有限元的程序实施细则。通过对若干算例及工程实例的计算，其结果表明广义有限元法的优越性，为地下工程开挖计算提供了一种合理的数值方法。     

蒙特卡罗数值积分在自然单元法中的应用

自然单元法采用自然邻点插值方法在全域构造近似函数和试函数,该方法基于整个求解域内离散结点的Voronoi结构。当采用标准Galerkin法形成系统的平衡控制方程时,对弱形式的积分通常在Voronoi图的对偶图Delaunay三角形内进行,但由于自然邻接插值形函数的特性,自然单元法数值积分存在明显误差。分析了自然单元法数值积分产生误差的各种可能的原因,并提出使用蒙特卡罗方法解决这一问题。该方法权系数直接与精度相关,确定方法简单有效。采用Delaunay三角形内布积分点,使得这种概率积分结果接近数学期望。给出最少积分点数的确定方法,尽可能提高蒙特卡罗积分的计算效率。通过分片试验和悬臂梁等算例验证蒙特卡罗方法解决这些误差的可行性和有效性。