“高等数学”教科书中常见的一个问题——兼对文献中十八个定理的商榷

周期函数之所以在科学领域中占有相当重要的地位,关键在于它具有在相邻周期区间上函数图象的全同性。即定义1 设 T 是 f(x)的任意一个周期;若对于每一个 x_0∈D(f),都有 f(x)在D(f)∩〔x_0,x_0+T〕上和 f(x)在 D(f)∩〔x_0+T,x_0十2T〕…,D(f)∩〔x_0+nT,x_0+(n+1)T〕上的函数图形是全同的(当 T<0时,可把〔x_0,x_0—T〕看作〔x_0+T,x_0〕),则称 f(x)具有相邻周期区间上函数图形的全同性。否则称为伪周期函数。     

Kantorovich算子L∧＊m副近

设L∧*M[0，1]是Orlicz空间，Knf(x）是Kantorovich算子，在本文中，我们得到的主要结果是：定理2 若f∈L∧*M[0，1]，则|Knf(x)-f(x)|M≤cω1.m（f；1/√-n）其中ω1.m(f,t)是f∈L∧*M[0，1]的一阶光滑模。     

关于单调函数的一个定理

根据积分中值定理:如果函数f(x)在区间(a,b)内连续,则对(a,b)内任意两点x_1,x_2(x_1相似文献   

关于马尔可夫链平稳分布定义的几点注记

马尔可夫链平稳分布有两种不等价的定义: 定义1 设{x(n),n=0,1,2,…}为马氏链,E={0,1,2,…)为状态空间。若对An及i∈E,有 P{X(n)=i}=P{X(o)=i}=P_i 则称{P_i,i∈E}为马氏链的平稳分布。定义2 设{x(n).n=0,1,2,…}为马氏链,E={0,1,2,…}为状态空间,P_(ij)为一步转移概率,{π_i,i∈E}为概率分布。若{π_i,i∈E}满足方程组π_i=sum from j=0 to ∞π_j P_(ji) ,i=0,1,2,…则称{π_i,i∈E}为马氏链的平稳分布。本文通过一系列定理,对这两种定义进行比较,从而看出它们的异同点。     

连通图的1-因子和(g,f)-覆盖图

设G是一个连通图且有一个1-因子F,g和f是定义在V(G)上的整数值函数并且对每个x∈V(G)都有0≤g(x)＜f(x)≤dG(x).若对每个xy∈F有f(x)=f(y)且G-{x,y}是(g,f)-覆盖图,则G是(g,f)-覆盖的.     

交换映射的不动点定理

本文把 Gerald Jungck 的两个定理(见[1],[2])修改为下列形式:定理3 设(X,ρ)是距离空间(不必紧或完备),设 T 是映 X 于 X 内的同胚映射,则 T有不动点当且仅当(i)存在映射 A 映 X 于 TX 内,且 A 与 T 可交换并对一切 x,y∈x,x≠y 满足不等式ρ(Ax,Ay)<ρ(Tx,Ty)(ii)存在 x_0∈X 使叙列{Ax_n}在 X 中有收敛子列,其中 Ax_(n-1)=Tx_n(n≥1)因为 AX(?)TX,{Ax_n}的定义是合理的     

关于非线性压縮型映象对和映象序列的几个不动点定理

本文对非线性压缩型连续映象对给出几个新的不动点定理,这些结果改进和发展了文献[1～7]中某些主要结果。为了叙述方便,先引出下面的符号和定义。定义1.设(X,d)是一完备的度量空间,设T是X的自映象,对每一x∈X,我们称 O_T(x,o,∞)={x,x_1=Tx,x_2=T~2x,…,x_n=T~nx,…} 为T在x处生成的轨道。     

方程utt-Δu-Δutt=f(x)的整体广义解

研究四阶色散、耗散非线性波动方程的初边值问题utt-Δu-Δut-Δutt=f(x),x∈Ω,t>0,u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈Ω,u| Ω=0,其中Ω∈RN为有界域.证明了如果f′(s)≤C0且对于N≥2存在p≥2及正常数A,B,A1及B1使得Asp-1-B≤f1(s)≤A1sp-1 B1,其中f1(s)=f(s)-k0s-f(0),k0=max{c0,0},u0(x)∈H10(Ω)∩Lq(Ω),u1(x)∈H10(Ω)则对任意T>0问题存在唯一解u(x,t)∈W1,∞0,T;H10(Ω)∩L∞(0,T;Lq(Ω)).     

湍流、不动点与周期轨的稳定性

本文对区间连续自映射,讨论了湍流与不动点的关系：若x0∈I及ω（x0,f）中的不动点c,满足：c0,对g∈ωε（f）,g的所有周期轨也都是简单的。     

扰动Newton法求解函数互补问题

把R0 -矩阵的概念推广到了非线性互补问题 (NLCP) :y - f(x) =0 ,x y =(x1y1,… ,xnyn) T=0 ,x ,y∈Rn+ 的情形 ,应用扰动Newton法求解当 f :Rn→Rn是连续可微的P0 -函数时的互补问题。在无严格互补解的条件下证明了若 f(x)是一个连续可微的P0 -函数 ,满足李卜西兹条件 ,且存在一个常数c>0和 0 <ε≤ 1对所有x∈Rn+ 有 fi0 (x) - fi0 (0 )≥c‖x‖ε,其中 ,xki0 =maxi∈I{xki}成立 ,则产生的序列 { ωk}大范围收敛到NLCP的解。并证明了若 ( f(x ) ) γ γ是一个P矩阵 ,那么序列 { ωk}Q - 2阶收敛到NLCP的解ω 。     

Hilbert空间上非凸规划的Kuhn-Tucker鞍点定理

本文主要讨论了Hilbert空间上带不等式约束的非凸规划的解与Lagrange式鞍点之间的关系.利用闭包函数作为工具,在此条件,存在(x_0,μ_0)conv(epif))且在x_0∈domf条件下,证明了Lagrange式存在鞍点是该非凸规划有解的必要条件.     

具有状态依赖时滞的微分方程初值问题的解

考虑具有状态依赖时滞的泛函微分方程x′(t)=f(t,x(t-r(xt))),对其满足初始条件x0=φ的解的基本性质进行了研究,其中f:[0,∞)×R→R,φ∈C.利用步法构造迭代序列,证明了此方程初值问题的解在区间[-h,∞)上存在唯一,且Lipschitz连续.该结论推广了H.O.Walther的相关结果.     

四阶奇异边值问题的正解和多重正解

研究了四阶微分方程的奇异边值问题x(4 ) (t) =f(t,x(t) ) ,　　t∈ (0 ,1) (1)x(0 ) =x(1) =0 ,　　x″(0 ) =x″(1) =0 (2 )正解的存在性。在第 1部分 ,利用锥的拉伸不动点定理给出了四阶微分方程的奇异边值问题 (1)和 (2 )在超线性情形下有C2 [0 ,1]和C3 [0 ,1]正解存在的充分条件 ;在第 2部分 ,利用锥的拉伸和压缩不动点定理给出了四阶微分方程的奇异边值问题 (1)和 (2 )至少有二个C2 [0 ,1]和C3 [0 ,1]正解存在的充分条件。     

有限集合上的关系与函数的一些计数问题

<正> 令X={1,2,…,n},n是自然数,∑_n={φ:φ是X上的一一对应},若S是集合,则用|S|表示S的基数(S中元素的个数)。 问题1 令m≥1,m是自然数,F_m={f:f是定义在X上取值在X内(包括上的)的m元函数},对于f,g∈F_m定义f～g iff(当且仅当)(?φ∈Σ_n)(g(x_1,x_2,…,x_m)=f(φ(x_1),     

半线性拟抛物方程的整体W1,2解

研究半线性拟抛物方程的初边值问题ut-Δut=f(u),u(x,0)=u0(x),u｜Ω=0.证明了,若f∈C,存在常数a,b使得f(u)u≤au2 b且｜f(u)｜≤A｜u｜γ B,1≤γ<∞,n=2;1≤γ≤n 2n-2,n 3,u0(x)∈W1,20(Ω)).0(Ω),则此问题存在整体W1,2解u(x,t)∈W1,∞(0,T;W1,2     

在计算机上用曲线拟合法求非线性自治系统周期解的解析表达式

在计算机上求非线性振动问题的解析形式的周期解是件全新的事。本文中,我们试图用拟合法达到这一目的。我们首先求具有特定小参数∈并具有特定初始条件x_0=A,x_0=0的非线性微分方程x+p_0~2x=∈f(x,x,∈)的数值解,然后找出其周期和主频率,再用付立叶方法把它分解为诸简谐分量。在对数量足够多的具有不同小参数和初始位移的同类微分方程做了与上述相同的工作之后,我们成功地用曲线拟合法找出了具有变化的小参数和变化的初始位移的微分方程的频率函数和位移响应函数。这些函数都是以小参数∈和初始位移A的幂级数的形式表达的,例题说明本法的精度高于摄动法。     

退化拟线性椭圆型方程某类边值问题的广义解

本文在一定条件下证明了如下的退化拟线性椭圆型方程的边值问题: -D_1(g(|D_u|~2)D_1u)=f(x,u) x∈Ω g(|D_u|~2)D_1ucos(n,x_1)+h(x,u)=0 x∈Ω存在非平凡的广义解。     

半线性拟抛物方程的整体W1,p解

继续研究半线性拟抛物方程的初边值问题ut-Δut=f(u),x∈Ω,t>0,u(x,0)=u0(x),x∈Ω,u｜Ω=0,t≥0.证明了:若f∈C1,f′(u)上方有界,且满足增长条件｜f′(u)｜≤A｜u｜γ B,0≤γ<∞,n=2;0≤γ≤40(Ω),其中n=1,2时,20,此问n-2,n≥3,u0(x)∈W1,p题存在惟一整体解u(x,t)∈W1,∞(0,T;W1,p0(Ω)).本文从实质上推广了已有结果.     

Banach空间非线性发展方程的广义解

在条件C1,C2和C3下,本文证明了非线性发展方程du(t)/dt∈Λ(t)u(t)+f(t),u(0)=x、的差分解的存在性和收敛性,从而得到广义解——极限解和积分解的存在性,并且证明了广义解的唯一性。此外,还得到Benila定理以及Crandall—Liggett生成定理的推广形式。     

二重马氏平稳过程泛函的一些概率性质

用{x(t),t∈R_1}来表示由随机积分integral from n=-∞ to t (t-r)exp{r-t}dW(r)所确定的二重马氏平稳过程,这里{W(t),t∈R_1)是规范化的广义Wiener过程,设f为有界Borel可测函数,若令Y(t)=f(X(t)),则得二重马氏平稳过程{X(t)}的泛函Y(t)。在本文中,作者首先粗略地研讨了关于二重马氏平稳过程{X(t)}的一些统计特性,然后,较深入地研讨了关于随机泛函Y(t)的一些概率性质,最后又研讨了关于随机泛函Y(t)的均方预测问题,并对几类泛函给出了均方预测量及其均方误差的分析表达式。