环F2+uF2+u2F2上的线性码及其Gray像

记R=F₂+uF₂+u²F₂,R₁=F₂+uF₂,定义了从Rⁿ到F³ⁿ₂的Gray映射Ф以及从Rⁿ₁到Rⁿ的映射f。通过对环R上线性码C的生成矩阵的研究,给出了线性码C的对偶码C^⊥和Gray像Ф（C）的生成矩阵,并且Ф（C）与Ф（C^⊥）是F₂上的对偶码。通过映射f将环R₁上的线性码与环R上的一类线性码对应起来。     

F2+vF2环上的接近MDR码

根据有限域Fq上的MDS码与接近MDS码,提出F2+vF2环上的MDR码与接近MDR码,其中包括几乎MDR码。利用环F2+vF2与域F2中加法群的一个同态 ,根据映线性码的生成矩阵证明C是F2+vF2上MDR码,当且仅当q(C)为F2上的MDS码,C是R上的接近MDR码,q(C)为F2上的接近MDS码,并由此给出环F2+vF2上MDR码与接近MDR码的构造方法及具体实例。     

F2＋uF2环上接近MDR码

S.M.Dodunekov和I.N.Landgev定义并研究了域 Fq上接近MDS码。对于 F2＋uF2环,相应地定义了接近MDR码,证明了 F2＋uF2环上线性码C 为接近MDR码的充要条件是它的挠码Tor（C）为它剩余类域 F2上的接近MDS码,并给出了F2＋uF2环上所有接近MDR码的生成矩阵。     

F2+uF2+u2F2+u3F2上的循环码和自对偶码

构造了一个含有16个元素的有限环,给出了这个有限环上码长为奇数的循环码的必要条件。然后给出了这个有限环上码长为奇数的循环码的一个生成多项式,得到了在这个环上的自对偶码存在的一个充分必要条件。     

环F2+vF2上线性码的MacWilliams恒等式*

定义了环F2 vF2上码字的李重量分布的概念,利用域F2上线性码和对偶码的重量分布的关系及gray映射,给出了该环上线性码与对偶码之间各种重量分布的MacWilliams恒等式。     

环F2+uF2+u2F2上的(1+u+u2）—循环码*

通过定义一种从环F2+uF2+u2F2到域F2上新的Gray映射,将环F2+uF2+u2F2上的线性(1+u+u2)—循环码等距映射成域F2的线性循环码;进一步又给出了在码长n=3(mod 4)时环F2+uF2+u2F2上的线性(1+u+u2)—循环码的Gray象的生成多项式,这对构造新的好码具有重要意义。     

环F2+uF2上长为2e的重根循环码与(1+u)-循环码的秩

通过对环F2 uF2上长为2e的重根循环码与(1 u)-循环码结构的讨论,具体给出了它们的秩和极小生成元集.这对确定码的距离分布以及译码均有重要的意义.     

环F2+uF2上长为2s线性循环码的极小距离分布

研究了环F2+uF2上线性循环码的极小距离分布。首先给出了环F2+uF2上线性循环码的结构,利用该结构给出了长度为2s线性循环码的极小距离分布的精确表示。     

环F4+vF4上的Gray映射

定义了从F4 vF4到子环F4和F2 vF2上的两个线性Gray映射φ和Ψ,并证明这两个Gray映射都是保持正交性不变的;进一步定义了环F4 vF4上的Lee-重量和Euclidean-重量,并证明Gray映射φ和Ψ是保持Lee距离不变的;最后给出了(F4 vF4)n、(F2 vF2)2n、(F4)2n和(F2)4n相互之间的关系图.     

环F2+uF2上的Gray映射

在有限环R=F₂+uF₂与F₂之间定义了一个新的Gray映射。证明了该映射是（Rⁿ,Lee重量）到（F²ⁿ,Hamming重量）的等重等距映射,同时证明了环F₂+uF₂上线性码C的二元像Φ（C）是距离不变码,而且如果环F₂+uF₂上线性码C是Lee恒距码,则二元像Φ（C）是F₂上Hamming恒距码。     

F2+uF2和Z4上循环码的Gray象

利用Gray映射Φ的性质,研究了环F₂+uF₂和Z₄上的任意长循环码。证明了环F₂+uF₂上任意长码是循环码当且仅当它的Gray象是域F2上的准循环码,得到了Z₄上任意长码是循环码的一个充分必要条件。特别的,环F₂+uF₂上长为n的线性循环码的Gray象是域F₂上指标为2长为2n的线性准循环码,环Z₄上长为n的线性循环码的Gray象是域F₂上指标为2长为2n的准循环码。     

F2＋uF2上奇偶长循环码的结构特性

码长为2n（n为奇数）的循环码被称为奇偶长的循环码。本文证明了F2＋uF2上奇偶长循环码具有形如（a1（x^2）a3（x^2）a4（x^2）a5（x）a6（x），ua1（x^2）a2（x^2）a4（x）a5（x^2））的结构，其中ai（x），i=1，2，…，6，满足Пi=1^6ai（x）=x^n-1，而且a5^ ～（x）≡a5（x）（modu），并给出了奇偶长循环码之对偶码的生成元表达。     

环上Fpk+uFpk的循环码*

利用Gray映射Φ的性质,研究了交换环R=Fpk+uFpk上任意长的循环码。其中p是素数,k是一给定的正整数。证明了环R上长为n的码C是循环码当且仅当Φ(C)是Fpk上指标为pk长为npk的准循环码。特别地,环R上长为n的线性循环码的Gray像是有限域Fpk上指标为pk长为npk的线性准循环码。