利用(G'/G) 展开法求解广义变系数Burgurs方程

近年来，变系数非线性发展方程受到越来越多的被关注。2008年王明亮等提出了一种新的方法，即(G'/G)展开法。将(G'/G)展开法首次尝试应用到变系数非线性发展方程中，并以广义变系数Burgers方程为例，最终成功得到了在系数满足一定条件时新的精确解；然后又尝试将该展开法进行新的扩展，再一次对广义变系数Burgers方程求解，又成功得到了一些新解。实践证明，该展开法不仅易于求解常系数非线性发展方程，而且对变系数非线性发展方程仍很高效、简洁、实用，并且具有广泛的应用前景。     

应用改进的G'/G2展开法求Zakharov方程的精确解

应用改进的G'/G2展开法构造出Zakharov方程的18组精确解,这些解主要包括双曲函数通解、三角函数通解和有理函数通解三种形式.当对双曲函数通解中的参数取特殊值时,可以得到孤立波解.对三角函数通解中的参数取特殊值时,可以得到对应的周期波函数解.实践证明,应用改进的G'/G2展开法能够得到Zakharov方程一些新的精确解,扩大了解的范围,这种方法对于研究非线性光学和量子光学具有非常广泛的应用意义.     

应用改进的G/G展开法求ZS方程的精确解

应用改进的G/G展开法构造出Zhiber-Shabat(ZS)方程的20组精确解,这些解的类型主要包含双曲函数通解、三角函数通解和有理函数通解三种形式。对解的性质进行了相应分析,当对双曲函数通解中的参数取特殊值时,可以得到孤立波解。当对三角函数通解中的参数取特殊值时,可以得到对应的周期波函解。实践证明,应用改进的G/G'展开法能够得到方程一些新的精确解,扩大了解的范围。     

利用(G’/G)展开法求解一类方程新的行波解

利用(G’/G)展开法,结合Maple环境中的Epsilon软件包,求解the modified Burgers-kdv方程,获得方程新的显示行波解,从而体现出(G’/G)展开法是一种行之有效的方法,可以广泛的应用于求非线性偏微分方程的行波解。     

(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的对称、精确解及守恒律

利用李群分析方法,得到了(2 1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli(BLMP)方程的对称、相似约化和新的精确解,包括有理函数解、双曲函数解、雅克比椭圆函数解和三角周期解.同时找到了此方程的无穷多守恒律.     

应用改进的G’/G~2展开法求Zakharov方程的精确解

应用改进的G’/G~2展开法构造出Zakharov方程的18组精确解,这些解主要包括双曲函数通解、三角函数通解和有理函数通解三种形式.当对双曲函数通解中的参数取特殊值时,可以得到孤立波解.对三角函数通解中的参数取特殊值时,可以得到对应的周期波函数解.实践证明,应用改进的G’/G~2展开法能够得到Zakharov方程一些新的精确解,扩大了解的范围,这种方法对于研究非线性光学和量子光学具有非常广泛的应用意义。     

Exp-展开法与变系数非线性发展方程的精确解

Exp-展开法运用于求解变系数非线性发展方程并以广义变系数KdV-mKdV方程和变系数（2+1）维Broer-Kaup方程组为例实现了求解过程,获得了奇异行波解,包括指数函数解、双曲函数解、三角函数解及有理函数解,并通过取特殊值得到熟知的kink型解。由此说明Exp(-?(?))-展开法不仅适用于常系数非线性发展方程的求解,还适用于变系数非线性发展方程的求解并且更具有一般性。     

(2+1)维Potential Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的对称、约化和精确解

利用经典李群法得到了(2+1)维Potential Boiti-Leon-Manna-Pempinelli (简称PBLMP )方程的对称、约化,通过解约化方程得到了该方程的一些精确解,包括有理函数解,双曲函数解,三角函数解, Jacobi椭圆函数解.     

2+1维破裂孤子方程的新孤子解

李群方法是研究非线性微分方程的有力工具,应用经典或非经典李对称方法可得到大量非线性微分方程(组)的显式解.对于2 1维的破裂孤子方程,利用CK方法得到了方程求解的Bachlund变换公式,从而获得方程的一些新精确解,推广了文献[4～8]中的结果.     

含外力项的广义变系数KdV方程的精确解

运用截断展开法和Jacobi椭圆函数展开法,求得了含外力项的广义变系数KdV方程的精确孤立波解、有理形式函数解、三角函数解和椭圆周期解.     

两个非线性方程的势对称及其不变解

通过计算NTT方程和Burgers方程的势对称扩大了其古典对称,并获得了 Burgers 方程的一系列新的精确解. 首先,基于微分特征列集算法确定了NTT方程和Burgers方程的古典对称和势对称,并确定了 Burgers 方程的两个势对称对应的单参数Lie变换群. 其次,利用推广的简单方程方法构造了 Burgers方程的不变解,这些解分别以含任意两个参数的双曲函数、三角函数和有理函数表示. 最后,将势对称对应的Lie变换群(14)作用于Burgers方程的不变解上获得了新的精确解,重要的是这些解都不能由方程的古典对称得到.     

Jimbo-Miwa方程的对称约化及不变解

基于李群理论利用直接对称法得到了(3 1)-维Jimbo-Miwa方程的对称性.在此基础上,对相应的李代数进行优化,得到了方程的七种相似约化,通过变量分离以及借助辅助函数的方法,对得到的约化方程进行求解,并且得到了方程的一些新的不变解.     

(2+1)维Gardner方程的对称、约化及其群不变解

利用经典李群方法,得到了一类(2+1)维Gardner方程的显式解,推广了唐和陈勇的某些结果,并且得到了该方程的对称、约化及其群不变解.     

带强迫项的KdV方程的非线性自伴随性和守恒律

应用非线性自伴随性的概念和伊布拉基莫夫的一般守恒律定理，研究了带强迫的KdV方程的非线性自伴随性和守恒律。首先讨论了自伴随性，结果表明这个方程具有非线性自伴随性，同时得到了这个方程的形式拉格朗日量。在对这个方程进行李对称分析之后，根据李对称的不同得到了这个方程的一些非平凡守恒律。     

(3+1)-维非线性发展方程新的精确解和守恒律

利用改进的CK直接方法,求出了(3+1)-维非线性发展方程的一般对称群、李对称及其对应的向量场,建立了方程新旧解之间的关系,同时由旧解得到了方程的许多新的精确解.由于对称和守恒律之间有密切的关系,同时找到了此方程的无穷多守恒律.     

基于对称约化的偏微分方程相似解研究

由于非线性系统的复杂性,对于其求解问题的研究目前还没有通用的方法,为了丰富非线性系统的求解方法,在此通过偏微分方程的决定方程确定点对称无穷小生成元,结合对称约化中的非经典Lie群法得到热方程新的相似解,并基于符号计算系统Maple给出相应的符号计算方法和实现步骤。结果表明,该算法能够有效求解PDEs的相似解,并且不需要显示地求解对应于不变曲面条件的特征方程,同时也适用于其他的发展方程。     

变形Boussinesq方程组II的推广解

为适应包括变系数方程在内的非线性发展方程求解的需要，文章试图探求辅助方程的多样化和解的形式的更为一般化，我们对王明亮教授提出的(G′/G )- 展开法进行了更有意义的推广。为验证此推广的有效性，我们首先将它应用到常系数变形Boussinesq方程组II 中，最终取得了多组精确行波解。实践证明：此推广具有很好的适用性。