距离为6的二元自对偶码的子码

用随机搜索算法研究了码长n满足22≤n≤30且距离为6的二元自对偶码的子码,构造出它们的对偶距离为3、4、5和6的子码的生成矩阵。研究了这些子码构成的码链以及它们的对偶码构成的码链。利用所得到的码链,由Steane构造法构造出距离为5和6的具有很好参数的量子纠错码,改进了前人得到的几个量子纠错码的参数。     

基于极大自正交码的S-链构造

研究了码长n满足11≤n≤19的二元不可分解极大自正交码的对偶距离最优或拟最优的子码,以及由对偶距离最优或拟最优自正交码构造出的S-链,应用所得到的S-链构造出一些较好的量子纠错码。     

四元域上自对偶码的子码链

利用构造性算法,对码长n介于10≤n≤20的四元自对偶码的子码进行了研究,构造出对偶距离为3、4、5或6子码的生成矩阵,得到了相应的自正交码.利用这些自对偶码及构造出的具有较好对偶距离的自正交子码构造出了码链,并且导出相应的L-链.最后作为对四元域上自对偶码的码链和L-链的一个应用,利用加性量子纠错码的构造方法构造出一些量子纠错码,其中一些码的参数改进了前人所得的结果.     

基于三个自对偶码的S-链和量子码构造

用随机搜索算法和典型群理论,研究了双循环形自对偶码D3,D4和D5的对偶距离d⊥满足3≤d⊥≤7的子码,确立了这些子码构成的自正交子码链及它们的对偶构成的S-链。利用得到的S-链,由Steane构造法构造出新的量子纠错码。     

GF（4）上偶码长自正交码的子码链

基于构造自正交码码树,研究由已知自正交码构造新自正交码的生成矩阵降维方法,采用贪婪策略和BFS算法,提出可行的降维算法。对GF（4）上码长20≤n≤30的自对偶码利用降维算法构造出其子码链及导出其L-链,进而得到45个较好参数达的量子码,其中7个改进了前人所得量子码的参数。     

三元域上对偶距离为3的自正交码构造

自正交码是一类特别重要的线性码,是构造量子码的基础。研究了三元域F3上对偶距离为3的自正交码的构造。对两类码长n,用递归和组合的方法构造出对偶距离为3的三元自正交码。依据所得到的自正交码构造距离为3的三元量子码,所得到的量子码具有很好的参数。     

F4上的短码长的自正交码链

研究了达到Griesmer界的最优自正交码。应用组合的方法和随机算法构造域F₄上短码长n（10≤n≤19）的最优（或极大）自正交码及其子码链。给出了码长10≤n≤19时最优（或极大）自正交码的子码链的一种结果,其中码链中码的参数均达到了Griesmer界。这些结果对进一步研究自正交子码链及构造量子码具有重要的参考价值。     

GF（4）上偶码长自正交码的子码链

基于构造自正交码码树,研究由已知自正交码构造新自正交码的生成矩阵降维方法,采用贪婪策略和BFS算法,提出可行的降维算法。对GF（4）上码长20≤n≤30的自对偶码利用降维算法构造出其子码链及导出其L-链,进而得到45个较好参数达的量子码,其中7个改进了前人所得量子码的参数。     

有19-(4,f)型自同构的二元自对偶码

应用二元自对偶码可看成几个自对偶码的直和理论,研究了具有19-(4,f)型自同构、码长在100以内的的二元自对偶码。这种对偶码都可看成一个码长为4的收缩码和GF(2)n上一些偶重量多项式的直和。证明了码长大于80且小于100时,不存在19-(4,f)型的二元自对偶码。根据码长较短的自对偶码分别构造出了码长为76、78和80的二元自对偶码,并给出其生成矩阵。由码的等价得到了这几类码可能的分类情况。运行Matlab程序,证明了具有19-(4,2)型和19-(4,4)型的二元自对偶码在等价情况下都有11个,19-(4,0)型的二元自对偶码在等价情况下是不存在的。     

有13-(4,m)型的二元自对偶码(m=2,4,6)

论述纠错码中的二元自对偶码,把码字看成二元域GF(2n)上的多项式,并分解因式。根据码长较短的二元自对偶码,构造出长度较长的二元自对偶码,并给出生成矩阵。运用2个码等价的类型,得到在等价下可能的码的分类情况,运行Matlab程序,证明具有13-(4,2)型自同构的二元自对偶码[54,27,10]只有8个等价的自对偶码。应用该方法,得到二元自对偶码[56,28,10]的生成矩阵。运行程序证明在等价情况下,存在16个有13-(4,4)型的自对偶码,而有13-(4,6)型的二元自对偶码[58,29,10]在等价下只有10种码。     

Self-orthogonal codes with dual distance three and quantum codes with distance three over \mathbb F _5

Self-orthogonal codes with dual distance three and quantum codes with distance three constructed from self-orthogonal codes over $\mathbb F _5$ are discussed in this paper. Firstly, for given code length $n\ge 5$ , a $[n,k]_{5}$ self-orthogonal code with minimal dimension $k$ and dual distance three is constructed. Secondly, for each $n\ge 5$ , two nested self-orthogonal codes with dual distance two and three are constructed, and consequently quantum code of length $n$ and distance three is constructed via Steane construction. All of these quantum codes constructed via Steane construction are optimal or near optimal according to the quantum Hamming bound.     

基于四元域上自正交码的4维最优码的构造

研究了F₄上维数为4的最优（或拟最优）自正交码的码长与极小距离之间的关系,用组合方法构造出任意码长的最优（或拟最优）自正交码的生成矩阵,确定了其中达到Griesmer界的码。     

Rank subcodes in multicomponent network coding

A new class of subcodes in rank metric is proposed; based on it, multicomponent network codes are constructed. Basic properties of subspace subcodes are considered for the family of rank codes with maximum rank distance (MRD codes). It is shown that nonuniformly restricted rank subcodes reach the Singleton bound in a number of cases. For the construction of multicomponent codes, balanced incomplete block designs and matrices in row-reduced echelon form are used. A decoding algorithm for these network codes is proposed. Examples of codes with seven and thirteen components are given.