Metodo di euler e ricerca delle radici di una equazione

Sommario In questa nota il problema della ricerca di radici di una equazione viene risolto mediante l'integrazione con il metodo di Eulero di una equazione differenziale. Lo scopo è quello di aumentare il dominio di convergenza dei procedimenti iterativi fino a farlo coincidere col dominio di asintotica stabilità della radice per l'equazione diflerenziale usata. Si ottengono diversi algoritmi, alcuni dei quali non noti in letteratura. Si dà anche una classe di funzioni, le funzioni intere di genus 0,1, per la quele è garantita la convergenza ad una radice prefissata.

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In this paper the problem of the research of the roots of an equation is resolved by means of the integration of a differential equation with Euler's method. The aim is to increase the convergence region of the iterative process until it coincides with the region of the asymptotical stability of the roots for the differential equations used. Different algrothms are obtained, some of which are unknown in the literature. Also a class of functions, the entire functions of 0,1 genus is found for which is guaranteed the convergence on a pre-established root.

     

Analisi numerica di una disequazione variazionale legata al moto di un fluido attorno ad un ostacolo

Riassunto In un loro lavoro Brezis e Stampacchia ([1]) hanno dimostrato che il moto stazionario e irrotazionale di un fluido incomprimibile attorno ad un profilo alare si può ricondurre allo studio nel piano odografo della soluzione di una disequazione variazionale. Questo lavoro è dedicato allo studio numerico di tale disequazione variazionale col metodo degli elementi finiti. Particolare attenzione è rivolta alla valutazione dell'errore che si commette nell'approssimare la disequazione variazionale con un'altra la cui soluzione è definita su un dominio limitato; alla maggiorazione dell'errore di discretizzazione, e al delicato problema di riportare la soluzione dal piano odografo al piano fisico.

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In this paper we study the variational inequality which describes the steady flow of an incompressible fluid past a given profile from the numerical point of view. Use is made of the finite element technique and some error estimates are given.

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Questo lavoro, estratto dalla tesi di laurea (Rel. Prof A. Laratta), è stato eseguito nell'ambito del G. N. I. M. del C. N. R.     

Su una classe di formule espliciteA-stabili per l'integrazione numerica di equazioni differenziali ordinarie

Sommario Si dimostra che ogni formula lineare ak passiA-stabile definisce un metodo esplicito, in una particolare classe di metodi lineari ak passiA-stabili e a coefficienti variabili. A questa classe di metodi viene estesa la teoria della stabilità e convergenza dei metodi tradizionali a coefficienti costanti. Si applicano i risultati per ricavare alcune formule espliciteA-stabili che, impiegate insieme a opportuni correttori, danno luogo a metodi di predizione e correzioneA-stabili.

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EachA-stable lineark-step method is shown to define an explicit one in a class ofA-stable lineark-step, with variable coefficients, methods. For this class of methods an outline of stability and convergence theory is given. Application is made in derivingA-stable explicit formulae, which are useful to performA-stable predictor-corrector methods.

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Lavoro esegnito con contributo del C.N.R. nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni.     

Sulla computazione di funzioni ricorsive

Sommario In questo articolo introduciamo un Calcolo Funzionale per discutere il problema della computazione delle funzioui definite ricorsivamente. Come è ben noto dalla letteratura, la computazione di una funzione ricorsiva può dare differenti valori, a seconda che sia eseguita con la leftmost-outermost rule, o con la leftmost-innermost rule. Nel calcolo precedentemente menzionato diamo una condizione sufficiente perché la computazione di una funzione dipenda dalla regola di computazione utilizzata.

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In this paper a Function Calculus is introduced in order to discuss the problem of computing recursively defined functions. As it is well known from literature, the computation of a recursive function may give differents values whether executed with the lefmost-outermost rule or with the leftmost-innermost rule. In the above mentioned calculus we give a sufficient condition in order that the computation of a function depends on the computational rule.

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La ricerca è stata effettuata nell'ambito del Contratto N. 71.02104/75 del Consiglio Nazionale delle Ricerche (Progetto Speciale per l'Informatica).     

Una variazione del metodo di Halley

Sommario In questa nota si studia una classe di metodi iterativi, per la ricerca delle radici di una equazione, che include il metodo di Halley. Si prova che ogni metodo della classe è del terzo ordine e si calcola la costante di errore per ognuno di essi. Si individuano poi quei metodi della classe che sono globalmente convergenti per funzioni genus zero o uno. Infine is trova un metodo che ha una costante in valore assoluto più piccola di quella di Halley. Tale metodo è di tipo razionale e involge le stesse derivate di quello di Halley.

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We study a class of iterative methods devoted to the search of the roots of an equation. The class includes Halley's method. We prove each method belonging to the class to be of third order and for it evaluate the error constant. Among such methods we identify the ones which are globally convergent for zero or one genus functions. In particulary we find a method which has an error constant whose absolute value is less than the Halley's one. This is a rational one-point method which involves the same derivatives as Halley's method.

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Lavoro svolto nell'ambito del gruppo G.N.I.M.     

Qualche contributo alla teoria delle formule di Runge-Kutta

Riassunto Utilizzando i coefficienti delle formule elementari di quadratura si ritrovauo in modo sistematico tutte le classiche formule di Runge-Kutta di ordine ≤4 e, sfruttando una opportuna transformazione suggerita da Fehlberg, si determinano anche formule di ordine superiore numericamente semplici.

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From the elementary quadrature rules the classical Rnuge-Kutta formulae of order ≤4 are derived; simple formulae of higher order are also obtained by means of a transformation suggested by Fehlberg.

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Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo di ricerca n⁰ 22 del C. N. R. (1963–64).     

Le trasformazioni razionali di una successione

Sommario Vengono studiate, in forma generale, le trasformazioni di una successione {S _n } che siano esprimibili mediante una funzione razionale dei terminiS _n . Si determinano le caratteristiche della nuova successione ottenuta e, in particolare, si trovano le condizioni perchè la nuova successione abbia lo stesso limite della {S _n } ed nna maggiore rapidità di convergenza.

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For a given sequence {S _n }, the transformations that can be expressed by a rational function of the termsS _n , are studied in a general way. The characteristics of the new obtained sequence are determined together with the condition that the new sequence have the same limit of {S _n } and a greater rate of convergence.

     

Calcolo di funzioni di matrice ad elementi reali mediante matrici costituenti reali

Sommario SeA è una matrice ad elementi reali edf(λ) una funzione analitica reale, si fornisce per la matricef(A) una espressione in termini di sole matrici costituenti reali. Successivamente si espone un algoritmo per il calcolo dif(A).

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A definition off(A) by means of real constituent matrices is given for any real matrixA, and any analitic real functionf(λ). An efficient algorithm forf(A) computation is shown.

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Lavoro eseguito presso la Fondazione Ugo Bordoni, come da convenzione in atto tra l'Amministrazione P. T. e la Fondazione Ugo Bordoni.     

Algoritmo risolutivo per una classe particolare di problemi di minimo vincolato

Sommario Nel presente lavoro viene descritto un algoritmo risolutivo per una classe particolare di problemi di minimo vincolato, in cui la funzione-obiettivo è di grado qualsiasi ed a variabili separabili, mentre i vincoli sono lineari. Viene poi dimostrato, facendo ricorso alle condizioni di Kuhn-Tucker, che il metodo descritto consente effettivamente di risolvere il problema proposto. Infine si constata, per mezzo di un'esemplificazione, la convenienza di utilizzo dell'algoritmo, in termini di tempo di calcolo per un computer IBM 370/70.

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In this paper an algorithm is described that can be used to solve a special class of problems of constrained minimum, in which the objective-function is of any degree and with separable variables, while the constraints are linear. Then, resorting to the Kuhn-Tucker conditions, it is shown that the method really enables us to solve the given class of problems. Finally, by means of an example, it is possible to remark the convenience of making use of the algorithm, considering the processing time spent by an IBM 370/70 computer.

     

Un metodo iterativo non stazionario per la risoluzione di equazioni algebriche

Sommario In questa nota, mediante una successione di metodi che generalizzano quello di Laguerre ([4]), costruiamo un metodo non stazionario per la risoluzione di equazioni algebriche. Applichiamo poi il metodo al calcolo degli autovalori di matrici in forma di Hessemberg. Si ottengono risultati rilevanti, in particolare per zeri complessi e per autovalori mal condizionati.

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In this paper, by means of a class of methods that generalise the Laguerre’s method, we describe a nonstationary iterative method to solve polynomial equations. We then apply this method to the matrix eigen-value problem. We have numerical appreciable results expecially for complex roots and ill-conditioned eigenvalues.

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Lavoro svolto nell’ambito delle attività del G.N.I.M.     

Limiti per il numero di condizione di una classe di matrici tridiagonali e tridiagonali a blocchi

Bounds of the condition number for a large classes of tridiagonal and block tridiagonal matrices are obtained. Since they use only information taken from the elements of the original matrix, without computing the inverse explicitly, their cost reduces to few arithmetic operations.

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Lavoro svolto nell'ambito delle attività del “Centro Interuniversitario di Matematica Computazionale” con il contributo del Ministero della Pubblica Istruzione. Classificazione AMS 65F05.     

Approssimazione della soluzione di una disequazione variazionale. Applicazione ad un problema di frontiera libera

Sommario Si propone un metodo numerico per l'approssimazione della soluzione di una disequazione variazionale. Lo studio trae origine da [1] in cui viene dimostrato un teorema di esistenza e unicità e da [2] in cui viene indicato un procedimento con il quale si ottiene la soluzione come limite comune di due successioni monotone, una non crescente, l'altra non decrescente, i cui termini sono soluzioni di problemi ellittici debolmente non lineari. In [2] è anche indicato un procedimento iterativo per la risoluzione di questi problemi. Scopo di questo lavoro è quello di indicare un procedimento numerico per l'approssimazione della soluzione. Si parte dall'osservazione che per avere una soluzione con una approssimazione prefissata basta risolvere uno solo dei problemi debolmente non lineari di cui sopra e si costruisce uno schema alle differenze convergente per l'approssimazione della soluzione di tale problema. Infine si dà una valutazione dell'errore commesso in questa duplice approssimazione.

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We propose a numerical method for the approximation of the solution of a variational inequality. The study takes its origin from [1], where a theorem of existence and unicity is proved and from [2], where a procedure is indicated by means of which one can obtain the solution as the common limit of two monotone sequences, the first one being non increasing, the second one non decreasing, whose terms are solutions of elliptic midly non linear problems. In [2] an iterative procedure for the solution of these problems is indicated. The paper aims at describing a numerical procedure for the approximation of the solution. We start by observing that, to obtain a solution within a given approximation, only one of the above mildly non linear problems need be considered, and we construct a convergent difference scheme for the approximation of the solution of such a problem. Finally, an estimate of the error made in this double approximation is given.

     

Sviluppo di memorie di funzioni e logiche di comando per la simulazione analogica iterativa di sistemi a derivate parziali

Riassunto Viene descritta una apparecchiatura che permette l'nso di una calcolatrice analogica normale per la risoluzione iterativa di sistemi a derivate parziali. Essa è costituita essenzialmente da una memoria di funzioni, del tipo a tamburo di condeusatori, e da un circuito di comando, che coordina l'operazione della memoria e del cirenito analogico iterativo.

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The equipment here described has been developed to allow the use of a normal analog computer for the iterative solution of partial differential equations. It contains essentially a memory for several functions, of the capacitor drum type, and a control circuit, which coordinates the operation of the memory and of the iterative analog circuit.

     

Teorie della Complessita di Calcolo

Sommario Quanto segue è una rassegna volta a puntualizzare lo stato della ricerche nel campo della Complessità di Calcolo, svolte essenzialmente negli U.S.A. La rassegna esamina vari approcci allo studio della Complessità di Calcolo, la loro evoluzione e le loro interrelazioni. Particolare interesse è dedicato alla teoria assimatica alla quale è stata dedicata la più intensa attività di ricerca negli anni 1967–1970.

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In this paper different approaches to the problem of Computational Complexity are surveyed. Subrecursive hierarchies are first examined, then the machine dependent theory of complexity is considered and, finally, the greatest attention is given to work done under the abstract point of view. The last section is concerned with results relating various theories.

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Istituto per le Applicazioni del Calcolo-Consiglio Nazionale delle Ricerche.     

Modelli per l’interferenza di macchine con priorità nei servizi

Riassunto Si studia un problema di interferenza di macchine che si arrestano per più cause e che vengono assistite da un unico servente; questi osserva una disciplina di servizio che attribuisce priorità ad una delle cause di arresto. Più precisamente si considerano i casi in cui i processi delle chiamate per servizio sono poissoniani e le distribuzioni dei tempi di servizio esponenziali od erlangiane. Si indica, per la risoluzione numerica del problema, un procedimento di calcolo ricorrente.

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This is a study of an interference problem with several interruption canses, one of which is the main, on machines served by one operator only. More exactly the cases are considered here when the imputs are Poisson processes and the distributions of service times are exponential or Erlangian ones. For the numerical solution of the problem a recurrent method is indicated.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Raggruppamento n. 27 del C. N. R. (1967–68).     

Generalizzazione del metodo di Laguerre

Sommario Nella seguente nota costruiamo una classe di metodi di ordine dispari comunque elevato per il calcolo delle radici di un polinomioP(x) generalizzando il metodo di Laguerre e, come per questo, dimostriamo la globale convergenza per radici reali. Il metodo è stato provato per polinomi con radici complesse e, al pari di Laguerre, risulta usualmente convergente.

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The following paper concerns the construction of a class of methods of every high odd order for the evaluation of the roots of a polynomial. Such methods are a generalization of the Laguerre“s method and for them, as for the Laguerre“s method, we proof the convergence for real roots. The method has been proved for polynomials with complex roots and, as the Laguerre“s method, it results usually convergent.

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Lavoro svolto nell“ambito della attività del G. N. I. M. e dell“Istituto per le applicazioni del Calcolo.     

Studio di un procedimento di integrazione numerica per equazioni differenziali lineari a derivate parziali di tipo parabolico

Sommario In questo lavoro si esaminano la stabilità e la convergenza di un procedimento di integrazione numerica per problemi parabolici lineari a coefficienti variabili. Il procedimento è di tipo seriale, cioè viene discretizzata solo la variabile temporale, risolvendo ad ogni passo una equazione differenziale ordinaria con valori agli estremi. Il procedimento è particolarmente adatto per calcolatori di tipo ibrido. Summary This paper takes under examination stability and convergence of a numerical method for the integration of linear parabolic problems with variable coefficients. The method is a serial procedure, i. e. only the time variable is discretized, and at every step it is necessary to solve an ordinary differential equation with boundary values. At the beginning the procedure was thought for hybrid computers.

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Lavoro svolto nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.     

Sulla ergodicità della trasformazione indotta mediante una variabile aleatoria

Sommario Si stabilisce una condizione necessaria e sufficiente per la ergodicità di ogni variabile aleatoria funzione, composta, di una variabile aleatoria assegnata.

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A sufficient and necessary condition is given under which a random variable, which is a compound function of another given random variable, is ergodic.

     

Analysis numerica di modelli di simulazione per le acque basse

In this paper we study a bidimensional model which describes the rising of the sea water caused by wind and atmospheric pressure. In the first paragraph we present the physical conditions which justify the construction of the model based on the shallow water theory. In the second paragraph it is demonstrated why the problem related to the mathematical model, using natural boundary conditions, is well posed. Finally in the third paragraph we show some finite difference schemes for the numerical solution figuring out some stability aspects.

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Questo lavoro è stato svolto nell’ambito di una collaborazione esistente tra l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del C.N.R. e l’Istituto di Matematica del Politecnico diMilano, in un programma di ricerca la cui direzione scientifica è tenuta dal prof. G. Prouse.     

Formule ottimali di integrazione numerica del tipo predittore-correttore

Riassunto In questo lavoro si prende in considerazione la definizione di stabilità per le formule di integrazione approssimata a passo multiplo, per la quale è stata adottata da Wilf e da altri autori la denominazione distabilità assoluta e si dà una analoga definizione per le formule del tipo a coppie predittore-correttore. Inoltre, facendo uso di un criterio di stabilità applicato da Wilf per la ricerca di formule ottimali del tipo correttore, si indica un procedimento per la determinazione di comppie ottimali predittore-correttore che, nella pratica del calcolo, sono preferite all'uso iterato di un solo correttore.

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Wilf's definition of absolute stability for corrector methods in the numerical integration of differential equations is modified to apply to couples of predictor-corrector formulae. An optimal predictor-corrector formula is indicated.

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Gli esperimenti numerici e la rappresentazione grafica dei risultati sono stati eseguiti in collaborazione con la dottoressa L. Manacorda Galletti che qui colgo l'occasione di ringraziare. La ricerca si è svolta nell'ambito del gruppo di ricerca n. 22 del Comitato per la Matematica del C. N. R.