Inertial Subgradient Extragradient Algorithm for Solving Variational Inequality Problems with Pseudomonotonicity

求解伪单调变分不等式的惯性次梯度外梯度算法

丁玉婉,刘红卫,马小军

（西安电子科技大学,数学与统计学院,西安 710126）

摘要：本文提出了一种利用非单调步长的惯性次梯度外梯度算法,用于求解 Hilbert 空间中具有伪单调性和利普希茨连续性的变分不等式问题。此外,在适当的条件下,给出了算法的弱收敛性和 R-线性收敛率。最后,通过数值实验验证了该算法的有效性。

关键词：变分不等式、外梯度算法、伪单调性、利普希茨连续、弱收敛和线性收敛

     

Modified Subgradient Extragradient Method for Pseudomonotone Variational Inequalities

伪单调变分不等式的修正次梯度外梯度方法

程佳佳,刘红卫

(西安电子科技大学 数学与统计学院,西安 710126)

中文说明：

多种求解变分不等式问题的方法中次梯度外梯度法是非常重要的一种方法。本文提出实Hilbert空间中关于经典变分不等式的修正的次梯度外梯度法。通过分析算子的局部信息,介绍一种不需要线搜索且不依赖于利普希茨常数取值的非单调步长策略,并将其推广到求解伪单调变分不等式问题。同时,该方法在每次迭代中只需要一个函数值和一个到可行集的投影。此外,在相关映射的利普希茨常数未知的情况下,给出了算法的弱收敛性和R-线性收敛率。数值结果进一步说明该方法优于其它算法。

关键词：变分不等式、次梯度外梯度法、非单调步长策略、伪单调映射

     

箱型约束变分不等式的微粒群算法

对箱型约束变分不等式的简单光滑价值函数,给出了求解箱型约束变分不等式的微粒群算法。该算法具有计算简单、快速收敛到全局最优解和较高的计算精度等优点。数值计算结果表明,提出的算法可靠性高、有效性强,在计算精度上,都优于阻尼牛顿法和正则半光滑牛顿法。     

箱型约束变分不等式的微粒群算法

对箱型约束变分不等式的简单光滑价值函数,给出了求解箱型约束变分不等式的微粒群算法。该算 法具有计算简单、快速收敛到全局最优解和较高的计算精度等优点。数值计算结果表明,提出的算法可靠性高、有 效性强,在计算精度上,都优于阻尼牛顿法和正则半光滑牛顿法     

求解一类变分不等式问题的信赖域算法

变分不等式作为变分原理的主要推广,是数学上的一个主要分支.近年来,变分不等式理论已被大量应用于经济与金融、交通各个领域中.将一类变分不等式问题等价转化为无约束优化问题,并提出了一个求解无约束优化问题的信赖域算法;在通常假设下,证明了算法的全局收敛性.该算法可用于网络的均衡模型,使得模型解的精确程度有了很大地提高.     

Weak and Strong Convergence of Self Adaptive Inertial Subgradient Extragradient Algorithms for Solving Variational Inequality Problems

自适应惯性次梯度外梯度技术求解变分不等式问题的强弱收敛算法

李瑶,刘红卫, 吕佳敏

(西安电子科技大学 数学与统计学院,西安710126,中国)

摘要：次梯度外梯度算法在众多解决变分不等式的算法中具有显著的优势。本文给出两种不同的算法来解决变分不等式问题,并将变分不等式问题定义在实希尔伯特空间中,且具有利普希茨连续和伪单调条件。本文的两种新方法采用惯性技术和非单调的步长准则,当利普希茨常数没有提前给出时,仍然可以证明它们的收敛性。最后通过设计数值结果验证了两个新算法的有效性。

关键词: 变分不等式问题; 惯性算法; 非单调步长规则; 利普希茨连续; 伪单调映射

     

一般约束极大极小问题的广义梯度投影算法

讨论了一类带等式、不等式约束的极大极小值问题,将其转化为带等式、不等式约束的非线性规划问题,利用辅助规划进行处理,给出了一个广义的梯度投影算法,解决了一般约束极大极小值问题。算法可在有限步达到最优点或产生一系列点列,其极限点则是最优点,并证明了该算法的全局收敛性。     

半定规划的一种新算法

将半定规划转化为一个变分不等式,在满足单调性的假设下,提出了一种新算法,并给出算法的收敛性分析,该算法简便易行且具有直观的几何意义,数值实验结果表明此方法是有效的。     

一个半线性椭圆型变分不等式最优控制问题的近似解序列的收敛性

讨论了一个半线性椭圆型变分不等式近似最优控制问题.首先,利用分解法和对偶方法将原始问题转化成带有线性状态方程和对于状态是非凸限制的最优控制问题; 然后,在此基础上,给出了该问题近似解序列的收敛性.     

关于单调变分不等式的一种邻近增广拉格朗日方法

对单调变分不等式的一种新的拉格朗日方法（AL）进行讨论，这种方法只需要解一系列强单调变分不等式子问题，允许参数从一个叠代点到另一个叠代点变化，在比较弱的条件下算法的收敛性得到了证明。     

基于工程优化问题的广义变分不等式模型研究

文章介绍基于工程优化问题的广义变分不等式及其相关问题,以实例说明变分不等式集中用于非线性规划、经济学、工程学、社会科学和自然科学中的建模、计算和许多平衡（或称为均衡）问题,并给出了广义变分不等式的研究进展。     

一类变分不等式问题的区域分解法

考虑第二类变分不等式离散问题的区域分解法.将变分不等式问题转化为等价的优化问题,针对该优化问题,给出了加性区域分解算法,最后证明了算法的收敛性.     

一类优化问题的区域分解法

研究了第二类变分不等式离散问题的区域分解法,将问题转化为等价的优化问题,针对该优化问题,给出了乘性区域分解算法,最后证明了算法的收敛性.     

解变分不等式的广义拟牛顿法

变分不等式问题(记为VIP(X, F))就是求一个x ∈ X Rⁿ , 使得F(x)^T(y -x)≥0 , y ∈ X Rⁿ 。将VIP(X, F)转化为混合非线性互补问题, 提出了一种解变分不等式的拟牛顿法。若ω^＊是VIP(X, F)的解, H_＊⁰={ h(x ＊), gi(x ^＊);i ∈ B(x ^＊)}列满秩, Q(ω^＊)+H^＊H^＊T 是正定矩阵, T_i(ω), i =1 , 2 , 4 连续可微, T^′_i(ω), i=1, 2, 4 在点ω^＊的邻域N(ω^＊ , δ)内满足李普希兹条件, 那么由算法确定的序列{ω^k}Q-二次收敛到VIP(X , F)的解ω^＊ 。并在没有严格互补松弛性条件下证明了Q-超线性收敛     

一类变分不等式的重叠并行Schwarz算法

讨论了一类变分不等式的重叠并行Ｓｃｈｗａｒｚ算法，并建立了一种实用算法，证明了其收敛性，同时也讨论了该算法对于贴合分量的有限步收敛性．     

基于Lagrange乘子法神经网络求解弹塑性力学有限元问题

根据人工神经网络的基本优化机理,研究了基于Lagrange乘子法神经网络求解弹塑性力学有限元问题.该神经网络对弹塑性力学有限元问题模型的不等式约束直接进行处理,无需添加松弛变量,降低了网络模拟和硬件实现的复杂程度.还分析了该神经网络的收敛性和稳定性.最后对一个简单弹塑性问题进行了数值仿真,计算结果表明了该神经网络求解弹塑性力学有限元问题的可行性.     

基于Lagrange乘子法神经网络求解弹塑性力学有限元问题

根据人工神经网络的基本优化机理，研究了基于Lagrange乘子法神经网络求解弹塑性力学有限元问题．该神经网络对弹塑性力学有限元问题模型的不等式约束直接进行处理，无需添加松弛变量，降低了网络模拟和硬件实现的复杂程度．还分析了该神经网络的收敛性和稳定性．最后对一个简单弹塑性问题进行了数值仿真，计算结果表明了该神经网络求解弹塑性力学有限元问题的可行性．     

多目标动态规划逐次迭代算法

本文运用逐步最优化原理,提出一种求解多目标动态规划方法的迭代算法,为解决多维、多目标动态规划问题的维数障碍提供了捷径。文中给出了迭代算法的具体步骤,并对迭代算法的收敛性给出了证明。由于此法对非劣解是逐次求出,可以方便地用于对话式的多目标决策问题的求解。     

奇异杂交边界点法求解扭转问题

提出了一种新的边界类型的无网格方法——奇异杂交边界点法用于求解扭转问题,该方法是以修正变分原理和移动最小二乘近似为基础,同时利用无网格法局部边界积分方程中的局部化思想,计算时仅仅需要边界上离散点的信息,因此它同时具有边界元法和无网格法的优良特性。本文将该方法同双重互易法结合用来求解扭转问题,将该问题的解分为通解和特解两部分,其中通解使用奇异杂交边界点方法求解,特解则利用局部径向基函数近似,彻底避免了域内积分。使用刚体位移法处理方法中的强奇异积分,同时提出了一种自适应的积分方案,解决了边界类型方法中存在的"边界层效应"。数值计算表明,本文方法具有较高的精度和收敛性。     

Subgradient Extragradient Methods for Equilibrium Problems and Fixed Point Problems in Hilbert Space

Hilbert空间中平衡问题和不动点问题的次梯度外梯度方法

尹璐璐和刘红卫

（西安电子科技大学 数学与统计学院,西安 710126）

中文说明：

基于惯性方法和次梯度外梯度方法,本文提出求解拟非扩张的不动点问题和伪单调平衡问题公共解的两种算法。为了提高收敛速度,减少计算量,证明第一种算法是弱收敛的,而第二种算法使用了改进版的 Halpern 迭代来获得强收敛性。最后通过几个具体问题的数值实验以及与其他算法的对比验证了所提算法的优越性。

关键词：次梯度外梯度方法;惯性方法;伪单调平衡问题;不动点问题;Lipschitz型条件