自由曲线局部光顺的分层能量算法

将曲线的小波多分辨分析与能量法相结合，构造曲线的分层能量光顺算法，利用多分辨分析的数据压缩作用来提高能量法的效率，利用约束能量法来处理边界约束，实践证明该算法可以灵活高效地进行曲线局部光顺。     

局部能量最优法与曲线曲面的光顺

曲线光顺处理的方法主要有选点修改法和优化方法，而Kjellander方法是最常的选点修改法之一，文中提出一种选点修改法－局部能量最优法，该方法在三次均匀参数曲线法顺问题上进一步改进了Kjellander方法，具有更好的光顺效果，对三次B样条曲面给出了一个与此相关的曲面光顺方法。     

Bézier曲线与Said-Ball曲线的递归转换算法

根据 Bézier曲线与 Said- Ball曲线的统一表示 ,给出了 Bézier曲线与 Said- Ball曲线之间相互转换的递归算法     

Bézier曲线对M多边形保形的讨论

本文给出了一种构造分段四次有理Bézier曲线的方法。构造的曲线与M形控制多边形每边相切,对控制多边形是保形的,而且是C2连续的。曲线上的所有曲线段的控制点可以通过对控制多边形的顶点简单计算产生。曲线具有良好的局部修改性。最后给出了算例。     

带形状参数的Bézier曲线的能量优化

相较于经典的Bézier曲线,带形状参数的Bézier曲线提供了独立于控制顶点的形状调整自由度,但同时又增加了设计人员选择形状参数的工作量。鉴于此,主要讨论形状参数的选取方案。首先证明了已有文献中给出的Bernstein基函数的含参数扩展基为全正基,从而保证了相应的带形状参数的Bézier曲线的理论价值;然后采用能量最小化方法来确定曲线中形状参数的取值,推导了曲线的拉伸能量、弯曲能量、扭曲能量近似最小时,形状参数的计算公式,为曲线的应用提供了方便。     

基于遗传算法的B样条曲线自动光顺算法

文章基于遗传算法,将节点删除法和能量法结合,提出了一种光顺B样条曲线的新方法。该方法的基本思想是:在误差允许范围内,通过遗传算法自动确定B样条曲线需要光顺的部分,然后在保证曲线能量最小的前提下,删除不光顺处的节点。实践证明,该算法具有自动性和客观性,并在光顺曲线的同时达到了数据压缩的目的。     

Bézier曲线与Wang-Ball曲线的统一表示

为了扩大自由型曲线曲面的选择范围,提出了一族介于Bézier曲线与Wang-Ball曲线之间的新型曲线,并在形式上将Bézier曲线与Wang-Ball曲线统一起来;同时给出了有关的升阶公式、递推算法以及将基函数用Bernstein多项式来表示的系数公式．     

利用距离与内能极小平滑链接Bézier曲线

目的 对于满足低阶连续的链接Bézier曲线,提高曲线之间的连续性以达到平滑的目的,需要对曲线的控制顶点进行相应调整。因此,可根据具体的目标对需要调整的控制顶点进行优化选取,使得平滑后的链接曲线满足相应的要求。针对这一问题,给出了3种目标下优化调整控制顶点的方法。方法 首先对讨论的问题进行描述,分别指出链接Bézier曲线从C⁰连续平滑为C¹连续和从C¹连续平滑为C²连续两种情形需调整的控制顶点;然后分别给出两种情形下,以新旧控制顶点距离极小为目标、曲线内能极小为目标、新旧控制顶点距离与曲线内能同时极小为目标,对链接Bézier曲线进行平滑的方法,最后对3种极小化方法进行对比,并指出了不同方法的适用场合。结果 数值算例表明,距离极小化方法调整后的控制顶点偏离原控制顶点的距离相对较小,适合于控制顶点取自于实物时的应用场合;内能极小化方法获得的链接曲线内能相对较小,适合于要求曲线能量尽可能小的应用场合;距离与内能同时极小化方法兼顾了新旧控制顶点的距离和链接曲线的内能,适合于对两个目标都有要求的应用场合。结论 提出的方法为链接Bézier曲线的平滑提供了3种有效手段,且易于实现,对其他类型链接曲线的平滑具有参考价值。     

对可调控Bézier曲线的改进

目的 在用Bézier曲线表示复杂形状时,相邻曲线的控制顶点间必须满足一定的光滑性条件。一般情况下,对光滑度的要求越高,条件越复杂。通过改进文献中的“可调控Bézier曲线”,以构造具有多种优点的自动光滑分段组合曲线。方法 首先给出了两条位置连续的曲线G^l连续的一个充分条件,进而证明了“可调控Bézier曲线”在普通Bézier曲线的G^l光滑拼接条件下可达G^l(l为曲线中的参数)光滑拼接。然后对“可调控Bézier基”进行改进得到了一组新的基函数,利用该基函数按照Bézier曲线的定义方式构造了一种新曲线。分析了该曲线的光滑拼接条件,并根据该条件定义了一种分段组合曲线。结果 对于新曲线而言,只要前一条曲线的最后一条控制边与后一条曲线的第1条控制边重合,两条曲线便自动光滑连接,并且在连接点处的光滑度可以简单地通过改变参数的值来自由调整。由新曲线按照特殊方式构成的分段组合曲线具有类似于B样条曲线的自动光滑性和局部控制性。不同的是,组合曲线的各条曲线段可以由不同数量的控制顶点定义,选择合适的参数,可以使曲线在各个连接点处达到任何期望的光滑度。另外,改变一个控制顶点,至多只会影响两条曲线段的形状,改变一条曲线段中的参数,只会影响当前曲线段的形状,以及至多两个连接点处的光滑度。结论 本文给出了构造易于拼接的曲线的通用方法,极大简化了曲线的拼接条件。此基础上,提出的一种新的分段组合曲线定义方法,无需对控制顶点附加任何条件,所得曲线自动光滑,且其形状、光滑度可以或整体或局部地进行调整。本文方法具有一般性,为复杂曲线的设计创造了条件。     

Bézier曲线的同次扩展及其参数选择

目的 本文旨在构造一种含形状参数的Bézier曲线,要求该曲线定义在代数多项式空间上,其基函数的次数与相同数量控制顶点所需Bernstein基函数的次数相同,对基函数以及相应曲线的计算要尽可能简单,并且要给出常见设计要求下曲线中形状参数的选取方案。方法 以三次Bézier曲线为初始研究对象,依据由可调控制顶点定义可调曲线的思想,在两个内控制顶点中引入参数,与Bernstein基函数作线性组合生成形状可调曲线,再将曲线表达式改写成固定控制顶点与含参数的调配函数的线性组合,从而得出三次Bernstein基函数的含参数扩展基,借助递推公式得出更高次的含参数扩展基,然后观察基函数表达式的规律,给出所有含参数扩展基统一的显示表达式,分析了扩展基的性质,并由之定义含参数的曲线,分析了曲线的性质,给出了曲线的几何作图法以及光滑拼接条件,以曲线拉伸能量、弯曲能量、扭曲能量近似最小为目标,推导了曲线中形状参数的计算公式,再通过曲线图和曲率图对比分析了不同能量目标所得曲线的差异。结果 由于所给含参数的扩展基并未提升Bernstein基函数的次数,且具有统一的显示表达式,因此本文方法在赋予Bézier曲线形状调整能力的同时并未增加计算量,由于提供了可以直接使用的形状参数的计算公式,因此在使用该方法时,符合设计要求的形状参数的确定变得简单,数值实例直观显示了所给曲线造型方法以及曲线中形状参数选取方案的正确性与有效性,体现了本文方法较文献中类似方法的优越之处。结论 所给含参数扩展基的构造方法以及形状参数的选取方法具有一般性,该方法可以推广至构造含形状参数的三角域Bézier曲面。     

Bézier样条曲线改进的近似弧长参数化方法

提出了Bézier样条曲线利用分割技术近似弧长参数化的一种方法，并给出了相应的算法。通过求出曲线上所谓的‘最坏点’并在相应点处进行分割。可得到两条Bézier样条曲线。让这两条Bézier样条曲线具有与它们的近似弧长成比例的权，并对所得到的新的Bézier样条曲线进行同样的工作最终可得到一条由多条Bézier样条曲线所构成的新曲线。将这多条Bézier样条曲线合并成为一条Bézier样条曲线并通过节点插入技术将所得Bézier样条曲线转化为B一样条曲线的形式可得到全局参数域，其中各条Bézier曲线在全局参数域中所占子区间的长度与它们的权成比例，这样使得到了一条近似弧长参数化曲线。     

带形状参数的双曲Bézier曲线

提出了一类带形状参数,的双曲Bézier曲线（简称H-Bézier曲线）,这类曲线与二次Bézier曲线类似,每一段曲线由相继的3个顶点生成,它们不仅具有二次Bézier曲线许多常见的性质,而且利用,的不同取值能够局部或整体调控曲线的形状。当,增大时,曲线能连续逼近控制多边形。此外,它还能精确表示直线和双曲线。     

插值给定对角曲线的能量极小Bézier曲面造型

目的 曲面造型是计算机辅助几何设计中的重要研究内容,张量积类型曲面的对角曲线是衡量曲面性质的重要度量,与曲面的几何形状密切相关。基于输入对角曲线的曲面设计方法在实际应用中具有一定的价值,因此提出一种插值给定对角曲线的能量极小Bézier曲面造型的方法。方法 给定一条对角曲线时,修正用户输入的对角曲线及边界曲线的几何信息,然后运用拉格朗日乘数法,结合曲面内部能量函数,求解待定的内部控制顶点,构造曲面。给定两条对角曲线时,在上述内容基础上加入了两条对角曲线必有交点的考量,增加对对角曲线控制顶点的修正。结果 增加了对角曲线这一约束条件,从对比实验曲线图可以看出,随着横坐标曲面阶数升高,纵坐标修正曲线和用户曲线间的差值越来越小,结果表明曲面阶数越高,修正曲线与用户曲线偏差越小,造型效果越好。结论 该曲面造型方法简单,基于修正后的对角曲线和边界曲线构造的曲面具有极小内部能量,可满足曲面造型方面的相关需求。     

Bézier 曲线的多项式重新参数化检测

研究了一种用于精确检测一条Bézier 曲线的次数是否可以通过多项式重新参数化 降低的算法。该算法对任意一条Bézier 曲线,将重新参数化前后的基函数的关系用方程组的形 式表达,但不需要解方程,而是通过系数表示的金字塔算法直接计算,可以精确求出用于重新 参数化的多项式和降低次数后的Bézier 曲线的控制顶点,并且该重新参数化的多项式在相差一 个线性变换的前提下是唯一的。通过实例应用,该算法运算速度较之前的算法快。     

基于微粒群算法的有理Bézier曲线降阶

从最优化思想出发,把有理Bézier曲线的降阶问题转化为求解优化问题,并基于微粒群算法,给出有理Bézier曲线降阶的一种新方法。该方法可以实现多次降阶,且降阶后的有理Bézier曲线直接以显式给出。最后结合实例,与使用遗传算法进行有理Bézier曲线降阶的结果进行对比,实验结果表明了微粒群算法的有效性。     

The bound on derivatives of rational Bézier curves

The estimation of bounds on derivatives of rational Bézier curves has important application in CAGD. This paper derives some new bounds according to the properties of derivation and recursion of Bernstein basis, and shows that the new bounds are better than existing ones and more effective.     

CE-Bézier 曲面光滑拼接的研究与实现

针对CE-Bézier 曲面造型中复杂曲面难以用单一曲面来表示的问题,通过 分析CE-Bézier 曲线的唯一性,提出了一种新的CE-Bézier 曲面的光滑拼接技术。首先,在 分析第1 类CE-Bézier 曲线基函数及其端点性质的基础上,对第1 类CE-Bézier 曲线的唯一 性进行了研究,得出了对于同一条第1 类CE-Bézier 曲线可以有很多组不相同的控制顶点和 形状参数与之对应的结论;其次,利用该结论进一步给出了两相邻第1 类CE-Bézier 曲面片 间G1 光滑拼接的一般几何条件,并通过合理地选取形状参数,进一步简化了该曲面的G1 拼接条件;最后,给出了第1 类CE-Bézier 曲面光滑拼接的几何造型实例。实例结果表明, 该方法简单、直观、易实现,有效地增强了CE-Bézier 方法表达复杂曲线曲面的能力,可广 泛地应用于工程复杂曲面的造型系统中。