一阶非齐次线性微分方程的求解方法——常数变易法探析

众所周知，一阶非齐次线性微分方程dy/dx p(x)y=Q(x) (1)(式中P(x)、Q(0)均为某区间上的x的连续函数)的求解方法为常数变易法。所谓的常数变易法就是：就是在所求的方程(1)的相应齐次线性方程dy/dx p(x)y=0 (2)的通解y=u(x)e-∫p(x)dx将y=u(x)e-∫p(x)dx代入原方程dy/dx p(x)y=Q(x)中，求得待定函数u(x)=∫Q(x)e∫(x)dx dx c(式中c为积分常数)再把(5)代入(4)式，     

关于Bondy定理的一个注记

本文讨论的图 G_p=(V(G_p),E(G_p)是 p 阶简单无向图,其中 V(G_p)、E(G_p)分别表示 G,的点、边集,在不引起混淆的情况下,可简记为 G=(V,E),其补图记为另外 p 阶完全图为 k_p.对任意的 xV,记 N(x)={y|yV,xyE}.若 H 是 G 的子图,记 N_H(x)=N(x)∩V(H),d_H(x)=|N_H(x)|.这里总认为路 P(或圈 C)是有向的,其反向为 P~-(或 C~-)。X~+、x~-分别表示沿 P(或 C)的方向位于 x 的前、后续点.对 u、vV(P),P(u,v)(或(uPv)表示沿 P 的方向 u 至 v 的一般.N_(P(u,v)~-(x)={y|y)V(P),y~+(P(u,v)),y~+xE},N_(P(u,v))~+(x)=y|yV(P),y~-V(P(u,v)),y~-x(?)E}.     

一类含有平方梯度项的塑性流体数学模型正解的存在性及正则性

考虑塑性流体的下列边界退化椭圆问题{f1(u)uxx+uyy+g(u)|▽u|2+f(u)=0,(x,y)∈Ωu|Ω=0,(x,y)∈Ω(P)经典解的存在性及其正则性,其中:Ω={(x,y):x2+y2r20}■R2,f1(t)是定义在(-#,+#)上的非负且严格单调递增的光滑函数,g(t)和f(t)是定义在(0,+#)上的非负且严格单调递减的光滑函数.应用正则化技术及精细的估计技巧,在一定条件下得到了问题(P)经典解的存在性及其正则性.显然,得到的结果比经典的结果更好.     

变系数二阶线性微分方程可解的充要条件

利用降阶法研究了变系数二阶线性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的可解性,得到了一个可解的充分必要条件：存在有限形式的可微函数F(x)、G(x),G(x)≠0及常数b和c使得P(x)=bG(x)-G′(x)/G(x)-2F(x),Q(x)=F²(x)-F′(x)-F(x)(bG(x)-G′(x)/G(x))+cG²(x)．同时给出两种求通解的方法和通解表达式．     

点故障3-aryn立方体中两条无故障点不交路

研究了含有故障点的Q3n中两条顶点不交的无故障路问题,得到以下结论：当n≥2,设F C（Q3n）,若｜F｜≤2n-4,令x1,y1,x2,y2,是Q3n-F中任意四个顶点,则在Q3n-F中存在两条顶点不交的路P1和P2,使得V（P1）∪V（P2）=V（Q3n-F）,这里P1连接x1,和y1,P2连接x2和y2．     

半解析函数存在的广泛性及两类半解析函数之间的相互转化

<正> 定理1.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在域D上是解析的,则形如f(z)=[u(x,y)++φ(y)]+i[v(x,y)+φ(x)]的函数在D上是第一类半解析的。 其中φ(y)、φ(x)分别为D上任一连续函数。     

一阶非齐次线性微分方程的求解方法——常数变易法探析

众所周知,一阶非齐次线性微分方程 (dy)/(dx)+P(x)y=Q(x) (1)(式中P(x)、Q(x)均为某区间上的x的连续函数)的求解方法为常数变易法。所谓的常数变易法就是:就是在所求的方程(1)的相应齐次线性方程     

两点关于平面对称的充要条件

给出了空间两点P(x ,y ,z)和Q(x0 ,y0 ,z0 )关于平面π :Ax +By +Cz +D =0对称的一个充分必要条件。     

W空间中第二类Fredholm积分方程的精确解

在W空间中,利用再生核给出了二元第二类Fredholm积分方程 u(x,y)-λ∫k(x,y,s,t)u(s,t)dsdt=f(x,y)的精确解,当仅已知f(xi,yi)1^n时,从精确解直接得到近似解un(x,y),此近似解un在节点（xy,yi)1^n处精确满足方程,并且当(xi,yi)1^∞在Ω上稠密时,近似解un一致收敛于真解。     

有向图中爪的一个重要性质

若u1,…,up和x为有向图D的顶点,记数列(P1,P2,…,Pp)为满足[x→u1,u2,…,up]的有向路,使得每个ui都是不同的,b(Pi)=x,e(Pi)=ui且Pi除在点x外内部顶点均不相交,则称[x→u1,u2,…,up]为有向图D中的一个爪。我们证明了以下结论:如果[x→v1,…,vp-1,y]和[y→vp,…,v2p-1](p≥1),那么存在一组整数1≤i1…ip≤2p-1,使得[x→vi1,…,vip]。     

由y'(x)+p(x)y(x)=Q(x)通解的新推导想到的一种方法

通过推导y'(x) p(x)y(x)=Q(x)的通解,发现了一种求解微分(积分)方程及不等式的简便方法。     

两点边值奇异摄动问题的渐近数值解法

本文根据方程εｙ＂＋Ｐ（ｘ）ｙ＇＋Ｑ（ｙ）＝０的渐近性质,提出了一种重点反映边界层的数值方法,并给出边界层厚度的近似估计式．数值实验的结果表明是有效的．     

二维离散型随机变量相互独立

二维离散型随机变量（Ｘ，Ｙ）相互独立的定义是：Ｆ（ｘ，ｙ）＝ＦＸ（ｘ）ＦＹ（ｙ）。其中Ｆ（ｘ，ｙ），ＦＸ（ｘ），ＦＹ（ｙ）分别为（Ｘ，Ｙ），Ｘ，Ｙ的分布函数。一般用等式Ｐ｛Ｘ＝ｘｉ，Ｙ＝ｙｊ｝＝Ｐ｛Ｘ＝ｘｉ｝Ｐ｛Ｙ＝ｙｊ｝进行判定，其中（ｘｉ，ｙｊ）为（Ｘ，Ｙ）所有可能取值，ｉ＝１，２，…；ｊ＝１，２，…；没有给出具体证明。本文给出二维离散型随机变量相互独立的定义及与这种判定方法等价的严格证明。     

关于丢番图方程x4-py4=z2

利用初等方法给出了丢番图方程x4-py4=z2,（x,y）=1,2｜y当p=Q2＋1,p为奇素数时的全部正整数解,从而拓展了Mordell关于x4-py4=z2的结果。     

导数运算在有理函数积分中的应用

将导数运算应用于有理函数的积分中,给出了有理函数P(x)/Q(x)分解成部分分式的一个计算公式.     

关于Diophantine方程x~2+D=y~n

设D是无平方因子正整数,h(-D)是虚二次域Q(-D)的类数.证明了当D 7(mod8)时,方程x2+D=yn的正整数解(x,y,n)都满足5gcd(n,h(-D)) n.     

扰动Newton法求解函数互补问题

把R0 -矩阵的概念推广到了非线性互补问题 (NLCP) :y - f(x) =0 ,x y =(x1y1,… ,xnyn) T=0 ,x ,y∈Rn+ 的情形 ,应用扰动Newton法求解当 f :Rn→Rn是连续可微的P0 -函数时的互补问题。在无严格互补解的条件下证明了若 f(x)是一个连续可微的P0 -函数 ,满足李卜西兹条件 ,且存在一个常数c>0和 0 <ε≤ 1对所有x∈Rn+ 有 fi0 (x) - fi0 (0 )≥c‖x‖ε,其中 ,xki0 =maxi∈I{xki}成立 ,则产生的序列 { ωk}大范围收敛到NLCP的解。并证明了若 ( f(x ) ) γ γ是一个P矩阵 ,那么序列 { ωk}Q - 2阶收敛到NLCP的解ω 。     

决定一个Dirac方程特征值集的整函数的讨论

令y=（y1y2）,B=（0 1 -1 0）,P（x）=（-P（x）0 0 -r（x））,则矩阵方程B dy/dx＋P（x）y=λy,称为一维Dirac方程.利用Dirac方程初值问题解的渐近估计,构造了一个整函数ω（λ）,其零点集合与所讨论的带有非局部边界条件的Dirac方程特征值集重合.