Die Anwendung des Analogrechners in der Unternehmensforschung

Zusammenfassung Neben den elektronischen Digitalrechenanlagen gewinnt heute der elektronische Analogrechner und seine Verallgemeinerung zum iterativen Analogrechner, sowie der durch einen Digitalrechner gesteuerte Analogrechner und schließlich die Verbindung von Analog- und Digitalrechner im Hybridrechner zunehmende Bedeutung. Das gilt vor allem für solche mathematische Problemstellungen, bei denen die große Genauigkeit des Digitalrechners nicht erforderlich ist, andererseits aber die typischen Eigenschaften des Analogrechners einen raschen Überblick über die Eigenschaften der Lösungen ermöglichen. Aus der Fülle derartiger Anwendungen seien im folgenden Probleme der Unternehmungsforschung herausgegriffen.

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Summary Besides the electronic digital computers electronic analog computers and their generalisations to iterativ-analog computers or analog computers controlled by digital computers and finally the connection of analog and digital computers in hybrid computers are of increasing importance especially for those mathematical problems, which do not need the high accuracy of digital computers, whereas the typical possibilities of the analog computers allow a quick survey of the features of the solutions. From these applications we choose a few problems of operations research.

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Mit 11 Textabbildungen

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Vortrag, gehalten am 12. November 1965 anläßlich der 150-Jahrfeier der Technischen Hochschule Wien.     

Über die Distributivgesetze der erweiterten Intervallarithmetik

Further relations between the operations in the extended interval arithmetic are discussed in this paper. In particular, the distributive laws in the extended arithmetic are considered, that is it is shown how to present expressions of the form(A?B) C, (A+B)/C, (A?B)/C etc. in an equivalent form. As a special case the well-known distributive laws for the usual interval operations are obtained.     

Schrankentreue Berechnung der Exponentialfunktion wesentlich-nichtnegativer Matrizen

An algorithm is proposed for computation of the exponential of a matrixX which uses the well known continued fraction expansion of tanhX. ForX essentially-nonnegative the following is proved: In interval arithmetic the algorithm is feasible, numerically convergent and bound conserving; after possibly a few initial steps it gives alternatively lower and upper bounds to the exact result.     

Approximation der erweiterten Intervallarithmetik durch die einfache Maschinenintervallarithmetik

Zusammenfassung In einer früheren Arbeit [2] wurden Eigenschaften einer sogenannten einfachen und erweiterten Intervallarithmetik gegenübergestellt. Für Intervallfunktionen liefert die erweiterte Intervallarithmetik die exakten Ergebnisintervalle. Sie ist jedoch auf einer Rechenanlage kaum direkt realisierbar. Demgegenüber liefert die einfache Intervallarithmetik nur grobe Abschätzungen der exakten Ergebnisintervalle. Sie läßt sich aber auf einer Rechenanlage einfach ausführen.Im Anschluß an [2] bringen die ersten drei Abschnitte der vorliegenden Arbeit weitere grundlegende Begriffe und Sätze. Im zweiten Abschnitt wird u. a. ein Stetigkeitssatz bewiesen. Der vierte Abschnitt bringt ein Verfahren zur Approximation der von der erweiterten Intervallarithmetik gelieferten Ergebnisintervalle mit Hilfe der einfachen Intervallarithmetik. Im fünften Abschnitt werden Eigenschaften der Realisierung dieses Verfahrens auf einer Rechenanlage behandelt.

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Summary In a previous paper [2] basic properties of a simple and an extended interval arithmetic were studied. For interval functions the extended interval arithmetic gives exact resulting intervals. On a computer, however, this interval arithmetic is almost impossible to realize. On the other hand the simple interval arithmetic in general gives wider intervals than the actual ones. But it is easily realized on a computer.As a continuation of [2] the first three sections of this paper deal with further fundamental concepts and theorems. In section 2 among others a continuity theorem for the simple and extended interval arithmetic is proved. In section 4 we approximate the resulting intervals of the extended interval arithmetic by a procedure using the simple interval arithmetic. Section 5 handles the properties of this procedure when it is realized on a computer.

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Die Verfasser gehören einer von Herrn Prof.Nickel an der Technischen Hochschule Karlsruhe geleiteten Arbeitsgemeinschaft über Schrankenzahlen an. Wir danken allen Teilnehmern dieser Gruppe, insbesondere Herrn Prof.Nickel, für anregende Diskussionen.     

Zur Bestimmung der Frobeniuswurzel nichtnegativer Matrizen

We give an iterative method for determining nested bounds for the Frobenius-rootr(A) of a nonnegative matrixA. This method still works when there are several eigenvalues with modulusr(A).     

Die zentrische Form in der Intervallarithmetik,ihre quadratische Konvergenz und ihre Inklusionsisotonie

Letf: ? ⁿ →? be Lipschitz continuous. The corresponding centered form off is considered and appropriate interval inclusionsF are given. At first the phenomenon of the “quadratic convergence” ofF is treated. Subsequently functionsF are constructed which are inclusion isotone.     

Über die asymptotische Konvergenzgeschwindigkeit des allgemeinen Relaxationsverfahrens bei nichtnegativen Matrizen

Zusammenfassung In der folgenden Arbeit wird zunächst (Satz 3) ein Konvergenzintervall für das Relaxationsverfahren bei einer nichtnegativen Gesamtschrittmatrix mitpositiven Diagonalelementen angegeben. Außerdem wird die asymptotische Konvergenzgeschwindigkeit des Relaxationsverfahrens mit der des Einzelschrittverfahrens verglichen, und der optimale Relaxationsfaktor in diesem Intervall angegeben. Es wird ein weiteres Iterationsverfahren betrachtet, welches eine Verbesserung der asymptotischen Konvergenzgeschwindigkeit des Relaxationsverfahrens liefern kann. Der Beweis dieser Aussagen, beruht u. a. im wesentlichen auf Lemma 1, welches besagt, daß bei einer nichtnegativen konvergenten Matrix die Diagonalglieder notwendig kleiner als Eins sind. — Die weiteren Sätze enthalten ähnliche Aussagen bei allgemeineren Matrizen.

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Summary At first, an interval of convergence is obtained for the relaxation method with a non-negativeJacobi-matrix withpositive diagonal elements (Theorem 3). The asymptotic speed of convergence of the relaxation method is compared to that of the Einzelschrittverfahren and the optimal relaxation factor in the interval is given. A further iterative method is considered which may lead to an improved asymptotic convergence speed of the relaxation method. The proof of the assertions rests mainly on Lemma 1 which states that a non-negative convergent matrix has diagonal elements smaller than 1. Further theorems contain similar assertions for more general matrices.

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Erweiterte Fassung eines auf der GAMM-Jahrestagung 1968 in Prag gehaltenen Kurzvortrages.     

Eine Frage der Erforderlichkeit

In § 32 Abs. 1 Satz 1 BDSG wird für die Verarbeitung von Besch?ftigtendaten bestimmt, dass diese für die Entscheidung über die Begründung eines Besch?ftigungsverh?ltnisses oder nach Begründung des Besch?ftigungsverh?ltnisses für dessen Durchführung oder Beendigung erforderlich sind. Doch die Notwendigkeit einer „Erforderlichkeitsprüfung“ führt in der Praxis zu erheblicher Rechtsunsicherheit.     

Verallgemeinerte Differenzierbarkeitsbegriffe und ihre Anwendung in der Optimierungstheorie

Several kinds of differentiability are defined, which are adapted to the study of a large class of optimization problems. A theory is constructed with special respect to problems with nonsmooth target-functions and side conditions.     

Approximative Gencluster und ihre Anwendung in der komparativen Genomik

Zusammenfassung  Durch die zunehmende Verfügbarkeit von komplett sequenzierten und assemblierten Genomen er?ffnet sich die M?glichkeit, Spezies anhand der Gesamtstruktur ihrer Genome zu vergleichen. Zu diesem Zweck werden Genome h?ufig nicht mehr auf Ebene der Nukleotidsequenz dargestellt sondern als eine Folge von Genen, die deren Anordnung auf den Chromosomen widerspiegelt. Eine wichtige Aufgabe in diesem Bereich ist die Bestimmung von chromosomalen Bereichen, die über verschiedene Spezies hinweg komplett oder n?herungsweise konserviert sind. In diesem Artikel werden informatische Methoden zur Bestimmung dieser Bereiche vorgestellt und Anwendungen im Bereich der Genclustervorhersage und der Phylogenie-Rekonstruktion beschrieben.