Control of Julia Sets in Generalized Alternated System

In this paper, we first introduce the generalized alternated system. The definition of the Julia set in the generalized alternated system is given, which is called a generalized alternated Julia set. Then, we achieve the control of generalized alternated Julia sets by applying the classic control methods, which are gradient control and optimal control. In addition, the synchronization between two different generalized alternated Julia sets is implemented using gradient control and optimal control. The simulations illustrate the effectiveness and correctness of these two control methods, and the results are displayed in 2D computer graphics.     

一类广义Logistic映射的分形特征与同步

本文讨论了一类二维广义Logistic实映射的Julia集和Mandelbrot集.首先采用盒维数计算法,计算了实映射Julia集的分形维数,并引入一种线性反馈控制的方法,对实映射的Julia集进行了控制.其次引入不同系统间Julia集同步的概念,通过非线性耦合控制的方法,对具有不同参数两个实映射的Julia集进行了同步.最后通过引入实参数的方法构造了实映射的Mandelbrot集,并通过梯度控制法实现了具有不同参数的两个实映射Mandelbrot集的同步.仿真结果表明了控制和同步方法的有效性.     

Optimal Control and Synchronization of Alternated Julia Sets

In this paper, spatial‐alternated Julia sets are discussed, which are obtained by alternating the spatial‐alternated system, and plane‐alternated Julia sets are discussed, which are obtained by alternating the plane‐alternated system. The control of spatial‐alternated Julia sets and plane‐alternated Julia sets is achieved via the optimal control. Moreover, the synchronization of two different plane‐alternated Julia sets is implemented via the optimal control. The simulations illustrate the effectiveness of the control method.     

Fractal analysis and control in the predator–prey model

The two-dimensional predator–prey Lotka–Volterra model is discussed from the point of fractal theory. Julia set of the discrete version of the model is introduced. Then, the linear feedback control is taken to control the Julia set. By controlling the Julia set, the attractive domain of the attractive fixed point is controlled indirectly. To associate two different Julia sets of the model with different parameters, nonlinear coupling items are designed to make one Julia set change to be another. The simulations illustrate the efficacy of these methods.     

Generalized Julia set in coupled map lattice and its coupling and synchronization

This paper discusses first the basic theory and fractal characteristics of generalized Julia set in coupled map lattice (CML Julia set for short). Then, two different generalized CML Julia sets are coupled, which makes two different generalized CML Julia sets change to the same one. Using gradient control and optimal control, the synchronization of two different such generalized CML Julia sets is, respectively, also realized, which makes one CML Julia set change to another. The coupling and synchronization of two no-identical generalized CML Julia sets are accomplished via coupling and synchronizing their trajectories. To verify the feasibility of coupling and gradient and optimal control methods, we consider the generalized CML Julia sets, whose lattice length is 2, as examples to achieve their coupling and synchronization. Finally, digital simulations are carried out for α=3 and α=4 and the results verify the effectiveness of the coupling and synchronization.     

Julia集的广义同步

研究了两个不同的Julia集耦合实现广义同步的问题. 不同于以往对Julia集的研究仅限于对一个独立的Julia集的性质, 制图等方面的讨论, 本文提出了两个不同的Julia集广义同步的思想, 并以经典的复二次多项式系统z_n+1 = z²_n+c为例, 分别采用线性和非线性耦合的方法对该系统不同参数的Julia集进行了广义同步. 仿真结果表明了方法的有效性.     

General Mandelbrot sets and Julia sets with color symmetry from equivariant mappings of the modular group

A method for constructing the general M (Mandelbrot) set of a non-analytic mapping is presented. The equivariant mapping with symmetry of the modular group is considered as an illustration. By investigating the distribution of attractors in the upper half-plane and the assignment of colors to each attractor, an algorithm is presented for the construction of filled-in Julia sets with 2- or 3-color symmetry. Such Julia sets not only reveal the characteristics of a system, but also have high artistic appeal.     

基于三维多项式映射的广义Julia集表示与绘制

研究了基于三维多项式映射的三维广义Julia集表示方法.从理论上分析并证明了三维多项式映射满足等变的条件,精确地给出了关于正四面体群和正八面体群具有旋转不变对称性的两类三维等变映射的具体公式,在此基础上讨论并证明了三维多项式映射的广义Julia集所具有的性质.提出了基于逃选距离色彩调配的光线跟踪体绘制算法,对给定三维空间中属于Julia集的离散点根据其逃逸距离赋予颜色和不透明度,并采用光线跟踪法进行体绘制.实验结果表明,利用三维多项式映射来构造三维Julia集,不仅可以根据映射的性质预知Julia集的总体结构特征,并且能够通过调控映射的参数来获得多种具有不同旋转对称结构的Julia集,因而有效地克服了现有三维分形集生成方法所构造的分形集包含信息量少、形状结构单一和分形形状无法预测等缺陷.进一步地,三维多项式映射可以应用于其他三维分形的构造,从而为三维分形的生成提供一个新的有效途径.     

不同空间Julia集的非线性广义同步

基于利用线性耦合实现空间Julia集线性广义同步的研究成果,本文通过应用非线性反馈控制和引入变量变换的方法解决了空间Julia集的非线性广义同步问题.首先基于变量变换,得到误差空间Julia系统,为了镇定该系统使其实现非线性广义同步,给出了确定的非线性函数关系式.另外,根据空间Julia集的稳定区域,解析地确定了实现非线性广义同步的耦合强度的稳定域.然后,给出了稳定的复不动平面与空间Julia集的同步的关系.最后,用一个例子验证了该解析方法是可行的.     

基于Julia分形集的模运算图像加密算法研究

作为信息安全的重要领域,图像加密算法一直是人们研究的热点。针对经典分形集合Julia集的特点,提出一种图像加密算法。将Julia集作为一种随机元素生成密钥,采用模运算方法对图像进行加密,对生成的密文进行两次扩散,得到最终密文。由于Julia集密钥仅需几个参数就可以表示,大大减小了存储空间。并且Julia集的无限性以及混沌特性使得任意参数的极其微小的变动都将导致密钥剧烈变化,无法正常解密。该算法较Rozouvan提出的以Mandelbrot分形集为密钥的转换方法,密钥空间更大,密钥敏感性显著提高,尤其能够有效抵御选择明文攻击。     

D4对称平面排列映射广义充满Julia集

为了更加直观、有效地在参数空间挑选参数构造出具有D4对称特性的平面排列映射的混沌吸收子和广义充满Julia集，在参数空间任选两个实参数构造参数断面，构造其上的广义M集。在这种广义M集的周期区域中挑选参数，可以由计算机生成大量新颖的广义充满Julia集。为了揭示出这种广义充满Julia集内部的复杂结构，给出了两种构造方法。为具有平面对称特性的动力系统的计算机图形化研究工作增添了新形式的艺术图像。     

Julia分形

近年来分形理论和它的构造方法受到极大关注.Julia集是使用非线性复映射f(z)=zm c为迭代函数生成的一类著名分形,而逃逸时间算法是生成Julia集最常用的算法.本文在给出逃逸时间算法的算法步骤之后,针对迭代函数fmc(z)=zm c中参数m,c变化的不同情况,给出了Julia集的实验图例,并分析了二次表达式的常规Julia集(m=2)和高阶的广义Julia集(m＞2)的一些特点.     

周期芽苞Fibonacci序列构造M-J混沌分形图谱的一族猜想

利用逃逸时间算法绘制M－J混沌分形图谱，通过计算机数学实验找到Mandellbrot集的普适常数和相应充满Julia集的近似标度不变因子，定性说明了M－J混沌分形图谱标度不变的特性，同时，通过实验与数据分析发现Mandelbrot集周期芽苞的Fibonacci序列的拓扑不变性，找到M－集内的黄金分割点，最后给出由Mandelbrot集参数平面上某个吸引周期芽苞中的参数与动力平面上相应Julia集图像结构之间的对应关系，并给出M－J周期轨道的递归公式和多重结构特征图的猜想。     

Newton法对应单参有理函数族的广义M-J集

讨论了Newton法对应单参数有理函数族的广义Mandelbrot集和Julia集,给出了它们的构造算法,证明了其广义Mandelbrot集的有界性,并给出了其周期点个数的计算公式.利用数学实验的方法研究了广义Mandelbrot集周期芽苞分布规律,并通过对比分析得到了它们与z~n+c的Mandelbrot集和Julia集之间的族相似性类似的新的族相似关系.文中算法为Mandelbrot集和Julia集的发展提供了新的思路.     

空间分形Julia集的辨识控制

由于空间分形Julia集合的参数辨识问题在典型的Langevin问题中尚未解决,本文提出一种新的方法设计了普遍适用的自适应同步控制器和参数自适应律的解析表达式,解决了在驱动系统参数未知的情况下无法实现同步控制的问题,并且在实现渐近同步的过程中能够辨识出驱动系统的未知参数,通过仿真示例验证了该方法有效.另外,该方法也适用于最基本的Julia集.     

Effect of Stochastic Noise on Superior Julia Sets

Julia sets are considered one of the most attractive fractals and have wide range of applications in science and engineering. The strong physical meaning of Mandelbrot and Julia sets is broadly accepted and nicely connected by Christian Beck (Physica D 125(3–4):171–182, 1999) to the complex logistic maps, in the former case, and to the inverse complex logistic map, in the latter. Argyris et al. (Chaos Solitons Fractals 11(13):2067–2073, 2000) have studied the effect of noise on Julia sets and concluded that Julia sets are stable for noises of low strength, and a small increment in the strength of noise may cause considerable deterioration in the configuration of the Julia sets. It is well-known that the method of function iterates plays a crucial role in discrete dynamics utilizing the techniques of fractal theory. However, recently Rani and Kumar (J. Korea Soc. Math. Edu. Ser. D: Res. Math. Edu. 8(4):261–277, 2004) introduced superior iterations as a generalization of function iterations in the study of Julia sets and studied superior Julia sets. This technique is further utilized to study effectively new Mandelbrot sets and related properties (see, for instance, Negi and Rani, Chaos Solitons Fractals 36(2):237–245, 2008; 36(4):1089–1096, 2008, Rani and Kumar, J. Korea Soc. Math. Edu. Ser. D: Res. Math. Edu. 8(4):279–291, 2004). The intent of this paper is to study certain effects of noise on superior Julia sets. We find that the superior Julia sets are drastically more stable for higher strength of noises than the classical Julia sets. Finally, we make a humble attempt to discuss some applications of superior orbit in discrete dynamics and of superior Julia sets in particle dynamics.     

计算球面对称动力系统Lyapunov指数

通过跟踪球面上相距很近的两个点的球面轨道并计算球面点之间的球内弦长,提出计算球面动力系统轨道的平均Lyapunov指数的计算公式.采用该方法,实现了随机搜索参数并自动计算相应动力系统的Lyapunov指数.当Lyapunov指数大于0时,可得到一个构造球面混沌吸引子的动力系统;当Lyapunov指数小于0时,可得到一个构造球面充满Julia集的动力系统.文中提出的方法可用于随机搜索参数进而生成球面上的对称混沌吸引子和充满Julia集图形.     

Julia 集和Mandelbrot 集的反演变换

论文讨论了居里叶集与曼德尔布罗特集的反演变换问题,通过扩充复平面 上关于任意定点的反演变换,获得了两类共轭函数。使得这两类共轭函数的居里叶集与曼德 尔布罗特集,恰好是原居里叶集与曼德尔布罗特集关于定点的反演变换,并运用逃逸时间算 法绘制居里叶集和曼德尔布罗特集的反演图。     

持续有界扰动系统的嵌套不变椭圆集鲁棒控制

为了抑制外部持续有界扰动和模型不确定性对系统稳定性控制的影响,通过不变集理论,采用嵌套不变椭圆集鲁棒控制算法实现系统的快速稳定控制。控制算法分为离线算法和在线算法两部分。离线时根据公式得到一维状态变量序列,通过线性矩阵不等式方法优化得到嵌套不变椭圆集。在线时,根据系统状态变量在嵌套不变椭圆集的位置,构建新的不变椭圆集并计算得到系统的控制律。给出新的不变椭圆集满足系统控制要求的理论证明。通过与不变单椭圆集控制算法进行仿真比较,结果验证了上述算法的有效性,为持续有界扰动下模型不确定性系统的稳定控制,提供一种有效的控制方法。     

一种线性系统可重构控制分析方法

提出了一种线性系统在线或者离线的可重构控制分析方法,该方法基于功能目标模型,能够定性分析线性系统的可重构控制问题, 包括发生多个故障时是否具有可重构能力,采用哪些组件和何种控制方法,以及重构后系统是否能达到期望的控制目标等.首先定义了功能、目标、最小重构单元状态、可行集等概念,并基于这些概念建立系统功能目标模型.该模型由功能目标关系和各个目标的可行集组成. 总目标的可行集为系统顶层可行集,可重构控制方案的选择基于顶层可行集.应用本文方法,离线建立起控制系统的功能目标模型后, 可以在线或离线分析其多种故障模式下的可重构问题,还可以用于指导可重构性设计.最后,给出一个卫星控制系统可重构控制分析的例子.