A积分与三角级数

早在一九二九年Titchmarsh就引进A积分的雏形,嗣后从概率论的观点导入A积分.到了一九五一年,以函数论的观点给出A积分的定义.所定义的积分可以应用于共轭函数的种种性质、三角级数可积性、勒贝格积分的富里叶级数导级数收敛性以及复区域上解析函数境界值可积性等方面的问题.许多作者对A积分作了研究.     

一类不定积分的新级数表示

目的 就被积函数中含ｅｘｐ（－ｘ＾２／２）的积分深入研究，说明这类函数的可积性。方法 根据一致收敛理论，将其原函数由有限结果推广到无穷。结果与结论 导出可积条件，并给出该积分的又一类新级数（不同于Ｍａｃｈａｕｒｉｎ级数和Ｆｏｕｒｉｅｒ级数）表示。     

函数可积绝对可积及平方可积关系的讨论

介绍了在定积分和广义积分中函数f(x)可积与|f(x)|可积以及f^2(x)可积，三者之间的关系。     

关于二个Bessel函数乘积的广义积分∫((x~2-α~2)~(1/2)-x)J_0(xη)J_0(xζ)dx from x=0 to ∞的注记

采用复变函数方法,把形如integral from 0=1 to ∞ ((x~2-α~2)~(1/2)-x)J_0(xη)J_0(xζ)dx的积分转换成有限区间内的积分,构造成交错级数,然后利用Euler变换得到上述积分值。计算结果,大大优于其他方法,类似方法还可用于其他形式的Bessel函数乘积积分。     

在MVBVF条件下的加权可积性

将系数数列的MVBV条件推广到函数的MVBV条件,分别给出了MVBV条件下正弦积分与余弦积分加权可积的充分必要条件,并利用Cauchy收敛准则、分部积分和适当放缩等数学方法进行证明,从而进一步完善了三角级数可积性的理论。     

函数f(x)的傅里叶级数的空间意义和在任意有限区间上的展式

讨论函数f(x)的傅里叶级数的空间意义,并通过变换使函数的傅里叶级数可展区间拓展为任意有限区间,给出连续函数积分的级数表达式。     

实变量复合函数的一个Lebesgue可积特征

利用级数的(佥欠)散性导出了实变量复合函数Lebesgue可积的一个充分必要条件,并由此讨论了一些具体的复合函数的Lebesgue可积特征。     

关于Lebesgue积分中几个定理的简明证法

设E是n维空间中的可测点集,即0≤mE≤ ∞。本文对Lebesgue积分中几个含积分性质(E上的可积函数的和也是E上的可积函数,且和的积分等于积分的和;E上的可积函数乘以常数也是E上的可积函数,且常数可以提到积分符号之外等等)都给出了既简明又严格的证明。     

Fourier积分一致收敛性问题在复空间中的推广

在重新定义复函数下的单调递减性质和(第二类)上确界有界变差函数(SBVF2)的前提下,通过分部积分和适当放缩等数学手段,研究了Fourier积分在复空间中的一致收敛性问题,利用新定义下的(第二类)上确界有界变差函数条件,将三角级数的一致收敛性结论推广到了积分形式,进一步完善了三角级数收敛性的理论.     

傅里叶级数的收敛性与吉伯斯现象

分析了周期函数f(t)展开成傅里叶级数的收敛性问题 ,证明了周期函数f(t)能展开成傅里叶级数且收敛的充分条件是 :周期函数f(t)在一个周期区间 [- T2 ,T2 ]可积和绝对可积 .用傅里叶级数均方误差证明了傅里叶级数部分和项数趋于无穷大时吉伯斯现象不存在 ,并举例说明 .     

广义椭圆积分的若干单调性

该文揭示了一类重要的特殊函数--广义椭圆积分κα(r),εα(r)的分析性质.主要利用级数来揭示由广义椭圆积分定义的函数关于参数a的单调性,同时获得一些广义椭圆积分与完全椭圆积分的关系.这些结果有助于对广义Gr(o)tzsch环函数和Ramanujan模方程及其解ψαk(r),ψk(r)的研究,这些函数在拟共形理论、数论、几何学等数学领域中具有非常广泛的应用.     

一类可化为定积分的重积分

计算三重积分■f(x,y,z,)dv,可以化为逐次计算三次定积分。当被积函数f(x,y,z)和积分区域V满足一定条件时三重积分可直接化为定积分,从而简化了计算。本文讨论三种情形,并给出计算公式。有如下三个命题:命题1 如果1°空间区域V的垂直于X轴的截面面积A(x)(a≤x≤b)是连续函数,2°函数f(x)在[a,b]上可积,那末命题2 设函数f(x,y,z)的等值面是简单闭曲面。如果1°函数f(x,y,z)在区域v(a,b)连续,2°记区域v(a,u)的体积为F(u)。在区间[a,b]上F′(u)存在且绝对可积。那末命题3 设函数f(x,y,z)的等值面是简单闭曲面,如果1°函数f(x,y,z)在区域v(a,b)连续,2°函数g(u)在[a,b]上连续,3°记区域v(a,u)的体积为F(u),在[a,b]上F′(u)存在且绝对可积。那末     

Fourier积分一致收敛性问题在复空间中的推广

在重新定义复函数下的单调递减性质和(第二类)上确界有界变差函数(SBVF2)的前提下,通过分部积分和适当放缩等数学手段,研究了Fourier积分在复空间中的一致收敛性问题,利用新定义下的(第二类)上确界有界变差函数条件,将三角级数的一致收敛性结论推广到了积分形式,进一步完善了三角级数收敛性的理论。     

广义(N)模糊积分

引入了广义(N)模糊积分的概念,研究了这类积分的基本性质,给出了模糊可测函数几乎处处相等蕴含积分相等的一个充要条件,并讨论了积分的绝对可积性.     

下侧二重随机Dirichlet级数的收敛性与增长性

定义了双侧与下侧二重Dirichlet级数 ;通过引进一个随机变量序列 ,在概率空间 (Ω ,A ,P)上定义了下侧二重随机Dirichlet级数 ,建立了该级数的相关收敛横坐标及θ线性下级与该级数的随机系数 |a-mn(ω) |的分布函数之间的关系 ;建立了该级数所定义的随机解析函数的θ线性下级与下型的存在定理 ,推广了单复变数的随机Dirichlet级数与下侧二重Laplace -Stieltjes积分的有关结果 .     

幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k和函数的递推公式及其应用

根据收敛级数的分析性质研究了幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k(k≥2)的和函数问题,用数学归纳法证明了其和函数的递推公式,由此得出k=2,3,4,…时幂级数和函数的具体表达式,进而导出几个与之相关的非初等积分的值或近似值.     

基于积分与积分和的逼近度

在近似计算中常要考虑积分与积分和的误差.以[0,1]区间上可积函数的逼近度为基础,进一步探讨了区间[a,b]上积分与积分和的逼近度,即可积函数f对任意分法在不同情况下其逼近度有不同表现.     

可积函数中位值的积分表达式

研究可积函数在均衡点处的中位值,首先引入可补点、中位值和均衡点的概念,然后使用它们将Rimann引理推广,得出中位值的积分极限表达式,最后给出中位值的Fourier积分表达式.这个结果主要应用于计算函数的Fourier积分表达式在间断点处的值.     

几类Euler型微分方程的求解

提出几类Euler(欧拉)型微分方程,借助变量替换法、线性化法、降阶法、交换变量位置法及复合函数求导法则,转化为可求解的Euler方程,论证它们的可积性,扩大微分方程的可积范围,给出求解的方法及通积分的表达式.     

流形上函数积分的绝对连续性

证明了紧Ｒｉｅｍａｎｎ流形上的Ｒｉｅｍａｎｎ可积函数的积分具有绝对连续性,从而推广了闭区间上的Ｒｉｅｍａｎｎ可积函数积分的绝对连续性定理。