自然单元法研究进展

自然单元法(NEM)是新近出现的一种求解偏微分方程(PDE)的数值方法,它采用自然相邻点插值方法在全域构造近似函数和试函数,该方法基于整个求解域内离散节点的Voronoi结构。NEM形函数的构造简单,形函数及其导数的计算相对容易,由于不涉及到矩阵的运算及其逆运算,与一般的无网格方法相比计算量大大减少。另外由于NEM形函数满足Delta函数的性质,且在边界相邻节点间满足线性插值,从而可以准确地施加边界条件和方便地处理场函数及其导数的不连续性,这是一般的无网格方法所难以实现的。从形函数的构造和性质来看,它兼有无网格的特性和有限单元方法的优点,可以认为是介于两者之间的一种极具发展前途的数值方法。详细介绍了自然单元法的求解过程和最新研究进展,并对目前自然单元法中尚待改进的问题及其相应的解决方案和未来的研究方向进行了初步的探讨。     

基于分数阶黏弹性地基模型的群桩时效行为研究

基于有限单元法,将群桩划分为有限个2节点单元,从而构建了竖向受荷群桩的有限元求解方程;为了模拟饱和软黏土的流变特性,通过Laplace变换,推导了分数阶导数Merchant模型中的应力–应变关系;引入弹性-黏弹性对应原理,得到横观各向同性分数阶黏弹性饱和软土地基的边界元解答;考虑桩-土界面处的位移协调,将群桩有限元求解...     

自然单元法数值积分方案研究

自然单元法采用自然相邻点插值方法在全域构造近似函数和试函数,该方法基于整个求解域内离散节点的Voronoi结构。采用标准Galerkin法形成系统的平衡控制方程时,对弱形式的积分是在Voronoi图的对偶图Delaunay三角形内进行的;但自然单元法形函数其局部支撑域与背景积分域不一致,从而导致了相当的积分误差。单位分解积分方法利用无网格形函数满足单位分解的条件,从而将对弱形式的积分转化到形函数的紧支域内进行;但自然单元法中形函数紧支域的形状和大小由Voronoi结构所限定且形状较为复杂,实现单位分解积分算法需对其形函数紧支域进行分解映射,计算量较大。若在Delaunay三角形内采用基于三角形内平均应变的单点积分方案,利用散度定理可将三角形内平均应变的计算转化为在三角形边界环路上的积分,从而在形成系统矩阵的过程中无需形函数导数的计算,计算量小而精度高。采用单位分解积分方案,其计算精度和收敛性均好于基于平均应变的点积分方案,但综合计算精度和计算效率考虑,则基于平均应变的点积分方案较为理想。     

基于位移控制边界单元法盾构隧道开挖引起分层土体变形分析

 考虑地基土体非均质性的影响,基于弹性层状半空间地基模型,提出分析多层地基中盾构隧道开挖引起周围土体不排水变形的位移控制边界单元法,改变了过去采用简化分析方法仅能在均质地基中进行求解的状况。针对盾构隧道开挖边界引入椭圆化非等量径向土体位移移动模式,建立层状地基中洞周边值问题的边界积分求解方程,并采用高阶等参单元代替低阶常分布单元得到边界离散方程,同时以弹性层状半空间地基模型的基本解代替常规均匀介质体的Kelvin或Mindlin基本解,最终求得隧道洞周给定位移条件下的土体位移场。算例分析表明：位移控制边界单元法在计算均质地基和非均质层状地基中都具有较好的精度;对于非均质层状地基,如果采用以往的将不同土体参数近似折算成平均值进而按照弹性均质地基进行求解会带来较大的计算误差。研究成果可为合理评估盾构隧道施工对周围环境的影响提供一定的理论依据。     

考虑超载土体抗剪强度时地基极限承载力的严密解

根据双向破坏地基的失稳特征,构建地基极限状态时土体中不连续应力场和速度场,通过分析不连续应力场和速度场的特点;基于上、下限原理,建立计算模型,构建求解地基极限承载力的算法。通过解三类边值问题,求得考虑超载土体抗剪强度时地基极限承载力的精确数值解,同时验证平面光滑地基的滑移线应力解是精确解。上述解满足基底土体表面速度边界和其他已知的边界条件。算例表明:求解考虑超载土体抗剪强度时地基极限平衡问题近似真解的算法是可行的,结论可靠。     

深埋双隧洞开挖的解析延拓法求解

 将隧洞所处的地下空间转换为平面应变情况下的弹性半空间,考虑两隧洞开挖次序的影响,利用解析延拓法及Schwarz交替法求解出弹性半空间内2个任意形状任意尺寸的双隧洞在任意相对位置下其半空间内任意一点的应力解和位移解的隐式表达式。将双圆形隧洞作为特例,考虑到隧洞埋深与孔径相比比较大,从而不考虑重力梯度的影响,将重力化为作用在边界上的均布外荷载,考虑2个隧洞衬砌法向反力的影响,求解出弹性半空间内圆形双隧洞任意一点处的应力值和位移值解析解的具体显式表达式。最后利用二维有限元分析对理论推导的两圆形孔洞解析解进行验证,表明解的可靠性。     

蒙特卡罗数值积分在自然单元法中的应用

自然单元法采用自然邻点插值方法在全域构造近似函数和试函数,该方法基于整个求解域内离散结点的Voronoi结构。当采用标准Galerkin法形成系统的平衡控制方程时,对弱形式的积分通常在Voronoi图的对偶图Delaunay三角形内进行,但由于自然邻接插值形函数的特性,自然单元法数值积分存在明显误差。分析了自然单元法数值积分产生误差的各种可能的原因,并提出使用蒙特卡罗方法解决这一问题。该方法权系数直接与精度相关,确定方法简单有效。采用Delaunay三角形内布积分点,使得这种概率积分结果接近数学期望。给出最少积分点数的确定方法,尽可能提高蒙特卡罗积分的计算效率。通过分片试验和悬臂梁等算例验证蒙特卡罗方法解决这些误差的可行性和有效性。     

考虑剪胀的线性软化柱形孔扩张问题

从常规试验成果出发，用弹性软化－残余塑性三线性应力应变模型来模拟应力应变软化关系曲线；用三折线来模拟体积应变、小主应变与大主应变的关系曲线。采用双剪统一强度理论的屈服函数形式，推导并给出了柱形孔扩张时，应力场、应变场、位移场和最终扩张压力计算时所需公式和计算求解步骤。最后，通过对某一算例的计算求解，与弹脆塑性模型作了对比，着重分析了不同软化模式对应力场和位移场的影响。     

连续介质力学行为分析的静态拉格朗日方法

通过对FLAC的研究,得出一个结论：拉格朗日方法无论从计算收敛的角度还是从物理意义的角度,基于运动方程求解都是不必要的.提出了一种新的求解思想,建立了所谓静态拉格朗日方法：（1） 由节点不平衡力和节点刚度系数确定节点位移增量;（2） 由节点位移增量确定单元应变和应力增量;（3） 由单元应力增量确定单元应力状态,进而确定新的节点不平衡力.步骤（1）～（3）的过程重复进行,体系将达到平衡状态.给出了静态拉格朗日方法的基本公式和基本处理方法,包括节点不平衡力、节点刚度系数、单元应变和应力公式以及介质离散、单元应变和应力求解、介质开挖与支护、大变形问题等的处理方法.基于静态拉格朗日方法编制了计算软件,能模拟多荷载步、介质开挖与支护等复杂问题以及介质线弹性、弹塑性、流变等多种力学行为.软件可视化的后处理功能,可给出介质位移矢量图、塑性区分布图及节点位移、单元应力求解过程线.给出了静态拉格朗日方法算例,并与FLAC计算结果作了比较,通过算例说明了静态拉格朗日法的特点.将静态拉格朗日方法应用于实际工程,对黄河小浪底水利枢纽地下厂房大型洞室群围岩进行了力学分析.基于现场压缩试验,将岩体作为黏弹性介质,采用广义Kelvin模型,并确定了岩体力学参数;阐述了黏弹性模型静态拉格朗日方法的计算过程;根据地下洞室群开挖施工过程确定了数值计算的荷载步;建立了三维网格;基于实测计算了原始地应力场;数值计算给出了考虑流变效应的岩体位移和应力状态,给出了岩体流变稳定时间,为评价岩体的稳定性和设计支护方案提供了依据.概述连续介质静态拉格朗日分析方法的特点,该方法属于一种松弛或迭代方法,不需要通过节点运动方程求解,也不需要节点质量、阻尼力、惯性力、节点运动速度、加速度、时间步长等这些物理力学量,使求解方法简化.较FLAC方法的优点是,求解过程基本上是静态的,介质没有振动,或只有很小的振动,计算精度提高,克服了FLAC求解过程中介质振动、计算结果物理意义不明确这一缺点;算例的结果表明,对于较小的几何模型（单元和节点数较少）,静态拉格朗日方法具有更快的计算速度,而对于较大的几何模型（单元和节点数较多）,FLAC方法计算速度更快,在计算速度方面静态拉格朗日方法是否存在固有缺陷,尚需要进一步研究.     

含多孔洞无限平面体弹性应力场解析逼近方法

 将含单孔洞无限平面体弹性应力场解析逼近方法进行推广,求解无限平面体内含多个任意排列、任意形状凸多边形孔洞在内边界上作用任意荷载下的弹性应力场。基于应力叠加原理,将含m个孔洞的无限平面体应力场视为m个仅含单个孔洞(称隔离孔洞)的无限平面体在洞口内边界上作用虚拟面力产生的应力场的叠加。对于每个隔离孔洞,其内边界上虚拟面力会在其他隔离孔洞内边界位置产生附加面力;一个孔洞内边界上由其他隔离孔洞产生的附加面力与其上虚拟面力之和最终等于实际作用外力。提出一种迭代方法求解所有隔离孔洞内边界上虚拟面力直至收敛,进而得到多孔洞外域弹性应力解。算例分析表明该方法获得的工程尺度范围的孔洞外域应力场与有限元法计算结果吻合良好;同时可计算孔洞边角处极近场应力,据此拟合得到应力奇异性次数与广义应力强度因子。该方法原理与计算过程简单,由于基于弹性力学解析解和高精度数值积分,其最终结果属解析逼近解。     

无网格自然邻接点法及其在岩土工程数值模拟中的应用

基于Laplace插值函数提出了一种类似于无单元伽辽金法的无网格方法——无网格自然邻接点法。该方法克服了自然单元法需要全域三角形网格以及无单元伽辽金法难以准确施加位移边界条件和材料不连续条件、形函数的计算复杂、权函数的选择困难等缺点,适合于考虑多种材料、多步施工过程等复杂岩土工程的自动数值模拟。详细讨论了这种无网格自然邻接点法的分析过程和基本理论,给出其在杆、梁、节理单元和材料不连续面等方面的处理办法,并用一些标准算例和实际的地下工程算例对本文方法的效率、精度和可靠性进行了验证。     

A numerical method of the ship structures analysis based on meshless local Petrov-Galerkin method

The paper presents a numerical simulation method for ship structures based on meshless local Petrov-Galerkin method. The proposal method is a suitable for adaptive computation method while processing the displacement and stress fields of the ship structures in high-gradient regions. Above all, based on the theory of Mindlin-Reissner plate, the field approximation function of the displacement is obtained by employing Moving-least Square method, and then the governing equation and the stiffness matrix of the structures are established. Numerical demonstrations show the solutions of the presented method are good agreement between FEM-ANSYS and the proposed approach, which verifies the validity of the presented method for the ship structures analysis.     

基于Voronoi图的新型几何插值及其与传统代数插值方法的比较

基于Voronoi图的自然邻居插值是自然单元法的数学基础，也是一种新型的几何插值方法，具有与其他常用传统插值不同的构造方法，并表现出一定的优越性。介绍基于自然邻居插值关系的Sibson插值和non-Sibsonian插值，并与有限元法和无单元法所用的插值方法在插值方案、网格特性、计算工作量等方面进行了比较分析。     

线性无关高阶数值流形法

对高阶数值流形方法来说,若采用1阶局部位移函数显然提高了计算精度,但又不可避免地使总体刚度矩阵亏秩,出现线性相关问题。针对这种情况,提出局部位移函数采用1阶泰勒展开形式,使得定义在物理覆盖上的自由度具有明确的物理意义。当基函数所对应自由度取为应变分量时,定义物理覆盖为PC-u-ε型；使用局部坐标系下的应力分量来代替应变分量,进而发展了PC-u-σ型。这样方便了位移和应力边界条件的施加。数值算例表明,PC-u-ε型显著地减少了亏秩数；PC-u-σ型的施加完全地消除了亏秩数,同样保持了很高的计算精度。     

自适应有限元不同网格间力学结果传递方法及程序实现

对于依赖于加载历史的自适应有限元分析问题,不同网格间力学结果的传递过程起着重要作用。基于按距离加权平均的改进插值方法,研究分步加载时自适应有限元不同网格间力学结果的继承问题。为使传递结果合理并减小计算工作量,插值方法采取选择邻近数据点、考虑方向影响、适当提高结果场的光滑性并使其通过全部已知数据点等措施;针对开挖过程中结构介质不断改变、开挖工作面不断移动及不同开挖步引入的介质之间场变量不连续等特点,采取分区划分网格并插值方式,构造不同网格间应力及位移结果的传递过程。所述传递过程,能为自适应有限元模拟多步骤开挖及弹塑性增量荷载分析等各种分步加载计算问题的解决提供有利条件。最后,给出2个算例以验证传递过程的可靠性。按增量荷载初应力方法对厚壁筒弹塑性分析表明,其结果与理论解吻合;模拟多步开挖的工程实例计算结果亦展示出所述传递方法的有效性。     

基于广义热弹性理论的多孔地基在移动荷载作用下的特性研究

 基于广义热弹性理论,引入热松弛时间,对Biot波动方程进行修正,建立了考虑温度效应的多孔饱和地基在移动荷载作用下的动力控制方程。利用Fourier变换方法,得到地基中温度增量、应力、位移和孔隙水压力在变换域中的一般解,结合热源输入条件和地基边界条件,确立时域内的温度增量、应力、位移和孔隙水压力的积分形式解答。利用Fourier逆变换方法和自适应数值积分算法得到了相应的数值结果。结果可退化为静荷载作用下的弹性地基解答,并与经典Flamant解进行比较,显示出较好的一致性。通过数值计算讨论不同的热源输入对地基温度增量场、应力场、位移场以及孔隙水压力的影响。结果表明：温度增量场受热源输入条件的影响很小,而应力、位移和孔隙水压力受热源输入的影响很明显。     

二维耦合热弹性动力学问题的无网格自然邻接点Petrov-Galerkin法

为了更有效地求解二维耦合热弹性动力学问题,对无网格自然邻接点Petrov-Galerkin法在此类问题中的应用进行了研究,并发展了相应的计算方法。该方法建立试函数时可以只依赖于一组离散的节点,有效地避免了复杂的网格划分和网格畸变的影响。相对于常用的移动最小二乘而言,自然邻接点插值不涉及复杂的矩阵求逆运算,更不需要任何人为参数。由于运动方程和瞬态热传导方程相互影响,这些方程必须联立求解。采用Newmark法求解空间离散后得到的二阶常微分方程组,进而可直接获得温度场和位移场的数值结果。