Bézier曲面的函数复合及其应用

目前有两种常用的Bézier曲面片,分别称为三角和四边Bézier曲面片,它们分别用不同的基函数表示.本文通过移位算子和函数复合的方法,得到了两个关于这两种Bézier曲面片的结果.一个是四边Bézier曲面片与一次三角Bézier函数的复合,另一个是三角Bézier曲面片与双线性四边Bézier函数的复合.在每一种情况中,复合所得到的Bézier曲面片的控制顶点是原来Bézier曲面片的控制顶点的线性组合.移位算子的应用使得相应的推导过程变得简洁和直观.这两个结果的应用包括：两种Bézier面片间的转化     

可展Bézier曲面的设计

通过引入移位算子,利用de Casteljau算法,得到了可展Bézier直纹面是单参数平面族的包络的结论,并简洁地导出了两条边界曲线分别为n次和m次的空间Bézier曲线的直纹面为可展曲面的充分必要条件。提出了二次Bézier可展曲面的设计方法：给定可展曲面的4个角点a0、b0、a2、b2和两个自由设计参数?姿、?滋,则待求的2个控制顶点a1、b1是在前2个控制顶点a0、b0的线性插值点a*与后2个控制顶点a2、b2的线性插值点b*的连线上,并且也是a*、b*这2个线性插值点的线性插值,即这4点a*、a1、b1、b*共线。该设计方法简单,可以通过2个自由设计参数?姿、?滋方便地控制曲面的形状。实例说明设计效果良好。     

复合三角Bézier曲面求交和裁剪的实现

该文利用三角Bézier曲面片的可分割性,解决了迭代收敛、初始交点计算等问题;通过近曲面点、边界点跨越等过程,实现了由一个初始交点将跨越许多曲面片的整条交线跟踪出来的设想.将各交点作为型值点插入曲面中,对三角网格进行三角再划分,以交线为界进行三角网格和型值点的分离,最后重新生成两张复合曲面,实现了裁剪的目的.测试结果显示,此方法简单、可靠,能够满足曲面造型的要求.     

三角Bézier曲面的几何约束形变

利用三角Bézier曲面的矩阵表达形式,把几何约束下的形状调整算法从曲线和张量积曲面推广到三角Bézier曲面,使得三角Bézier曲面在形变后既能保持外形大致不变,又能满足一系列事先指定的几何约束(点约束和法向约束).利用Lagange乘子法,几何约束形变的条件极值问题被转化为线性方程组的求解问题,以便于快速计算.特别地,三角Bézier曲面在形变前后还可以满足边界曲线在角点处保持(Ca,Cb,Cc)连续.数值实例表明,该算法简单有效,便于CAD(计算机辅助设计)系统进行交互.     

三角域上带形状参数的三次Bézier曲面

张量积Bézier曲面被成功地应用于商业CAD系统中,然而实际工程中的某些外形却无法依靠张量积形式实现.因此在CAGD中,三角Bézier曲面成为外部形状设计的主要工具之一.为了更加灵活地控制三角曲面的形状,构造了一组带形状参数的三次多项式基函数,它们是三角域上三次Bernstein基的扩展.利用该组基函数定义了三角域上带形状参数的多项式曲面.基函数和曲面分别具有Bernstein 基和 Bézier曲面的性质.在形状参数的取值范围内,三次Bézier三角曲面是它的特例.由于含有可调的形状参数,该曲面在形状修改与变形中具有更大的灵活性.形状参数具有明确的几何意义,参数越大曲面越逼近控制网格.实例表明,通过改变形状参数的取值可以调整曲面的形状,在CAGD中该方法是有效的.     

Bézier曲面的精确自由变形

将一个Bézier曲面嵌入一个四面体中进行自由变形,变形后的曲面是张量积Bézier曲面和四面体Bézier体的复合,利用移位算子和广义de Casteljau算法可以得到复合后控制顶点的表示.给出了矩形网格的2次和3次Bézier体自由变形的计算公式.     

Bézier曲面的广义离散及应用

Ｂéｚｉｅｒ曲面是计算机辅助几何设计（ＣＡＧＤ）中最常用的参数曲面之一,通过引进一些符号和Ｂéｚｉｅｒ曲面的算子表示,并利用参数化技巧,本文推广了张量积Ｂéｚｉｅｒ曲面的离散算法,讨论了Ｂéｚｉｅｒ矩形片沿定义域内一条ｋ次多项式曲线的离散,给出了两种显式的广义离散格式．另外,文中还介绍了广义离散方法在Ｂéｚｉｅｒ曲面几何连续拼接和ｔｒｉｍｍｅｄ曲面参数表示中的应用．     

混合有理Bézier曲面及其三维重建

文章将Bernstein基函数与有理Bernstein基函数相结合,构造了一类新型有理曲面-混合有理Bézier曲面;给出了该类曲面的生成方法并讨论了曲面的性质。另一方面,在一种基于Newton-Thiele型非线性方法的插值曲面的三维重建理论基础上,讨论了由离散点集重建混合有理Bézier曲面的问题,为图形图象处理等研究领域提供了新的算法理论。     

基于双曲函数的Bézier型曲线曲面

通过引入形状参数,在双曲函数空间中构造了一类广义Bézier曲线,称其为HC-Bézier曲线。该曲线具有类似Bézier曲线的优良性质。当控制顶点固定时,通过调整形状参数可以调整曲线形状,从而使得曲线的调整更加灵活。HC-Bézier曲线既可以精确表示直线段,又可以精确表示双曲线等二次曲线段。     

有理Bézier调和与双调和曲面的设计

针对有理Bézier调和曲面的复杂的有理性,提出一种构造有理Bézier调和曲面的近似算法.借助于有理曲线曲面的Hybrid多项式逼近方法与Bézier调和曲面的Monterde算法,将有理Bézier调和曲面的造型问题转换为线性约束条件下关于有限维变量的一个非线性目标函数的最小化问题.进一步,将该算法推广到有理Bézier双调和曲面的造型问题中去,并用有理双2次、双3次调和曲面与有理双3次双调和曲面的实例对文中算法进行了验证.结果表明,该算法对有理Bézier调和曲面与双调和曲面的构造问题有一定的实际应用价值.     

张量积Bézier曲面降阶逼近的新方法

基于 L2 范数 ,给出基于曲面间体积极小的约束优化算法 ,将 Bézier曲面的降阶问题转变为线性方程组的求解 ,并给出降阶逼近问题解的存在性证明 .文中还对逼近误差进行了分析 ,并利用曲面离散算法减少降阶逼近误差     

Bézier曲面的广义细分

将矩形和三角形Bézier 曲面的基于直线的细分推广到基于曲线的细分.运用多项式曲线细分矩形和三角形Bézier曲面,并以参数变换和多项式开花为工具, 计算出细分后每个子曲面片的Bézier控制顶点.曲线细分使细分方式的选择更灵活, 细分后的子曲面片及其边界的形状更丰富多彩,而且该方法能推广到有理情况.     

Bézier曲线/曲面间最近距离的几何裁剪算法

曲线、曲面间距离的计算问题在CAD/CAM、计算机图形学中有着广泛的应用.为了精确计算Bézier曲线/曲面间的最近距离,结合稳定的曲线、曲面分裂技术提出一种基于offset滚动球裁剪的几何算法.首先给出判定条件来裁剪去落在曲面的滚动球外的曲线段,或者落在曲线的滚动球外的曲面片,以摒弃大部分不包含最近点的曲线段或曲面片,为后续可能的Newton方法提供较好的初始点;然后给出判定最近点是否落在曲线的端点或曲面的边界曲线上的条件,将曲线/曲面间的距离计算问题转化为点/曲面或曲线/曲线间的距离计算问题,简化了问题的复杂度,提高了计算效率.实例结果表明,文中算法具有较好的稳定性和较高的效率.     

张量积Bézier曲面的降阶

应用张量积Bézier曲面的几何性质和遗传算法,给出了Bézier曲面的降阶。与已有的算法相比,该算法具有计算简单、逼近误差直接给出,几何直观性强等优点。     

带多个形状参数的Bézier曲线与曲面的扩展

通过引入多个形状参数,生成Bézier曲线与三角域Bézier曲面的扩展,它们包含普通的Bézier曲线曲面为其特例.这类多项式曲线与曲面的调配函数具有显式表示,易于求导和求积.改变形状参数的值能整体或局部调控曲线与曲面的形状.     

带有形状参数的Bézier三角曲面片

给出了含有参数的二元(n+1)次多项式基函数,是三角域上二元n次Bernstein基函数的扩展;分析了该组基的性质并定义了带有形状参数的(n+1)次Bézier三角曲面片.该曲面不仅具有n次Bézier三角曲面片的特性,而且具有形状的可调性;其参数有明确的几何意义,参数越大,曲面越逼近控制网格;当参数为0时,曲面可退化为n次Bézier三角曲面片.     

具有正交等参线的Bézier曲面

Bézier曲面的表示形式在很大程度上决定了渲染和离散的结果质量.为了改进曲面等参线的正交性,给出了双线性Bézier曲面和双二次Bézier曲面满足曲面等参线正交性的约束条件,以及相应曲面的构造方法.首先提出了具备正交等参线的双线性曲面只能是矩形;对于双二次Bézier曲面,通过将正交约束多项式的系数设置为0,整理推导出控制顶点需要满足的约束条件,再对每一组约束条件给出满足此约束条件的曲面构造性方法,得到在渲染和离散中的应用结果.纹理映射的实验结果表明,该方法是有效的.     

G1端点约束的Bézier曲线曲面的Ribs和Fans

为了得到Bézier曲线曲面的更加适用于网络传输的分解和重构算法,研究了带1阶端点(角点)约束的Bézier曲线曲面的Ribs和Fans,并且得到了相应的曲线曲面的光滑部分和细节部分.反过来,给定Bézier曲线的光滑部分和细节部分,给出了重构原曲线的算法.另外,还把Ribs和Fans的概念与算法推广到三角Bézier曲面.1张n次的三角Bézier曲面能够分解为1张n-1次的Rib、1张n-3次的Fan和3条n-4次Bézier曲线(Fans).数值例子表明对曲线曲面的光滑部分和细节部分的分解是更优与更有效的.     

带多形状参数的广义Bézier曲线曲面

为了在几何造型中更加灵活地调控曲线曲面的形状,提出一种带多形状参数的造型方法.首先构造一种带多形状参数的多项式调配函数,其中Bernstein基函数是它的特例;然后利用给出的调配函数定义一类形状可调的广义Bézier曲线曲面,并研究了它们的性质.对给定的控制多边形,可以通过改变形状参数的值整体或局部地调控曲线的形状.最后通过数值实例说明了文中方法的实用性.     

三角域上拟二次Bézier曲面片的构造及其应用

针对计算机辅助几何设计中三角曲面片造型方法进行了研究。在非多项式空间中构造了一组基函数,分析了该基函数的性质;利用七个控制顶点定义了相应的三角曲面片,由于该三角曲面片具有类似于三角域上二次Bézier曲面片的性质,故称其为拟二次Bézier三角曲面片;举例说明了拟二次Bézier三角曲面片不仅边界可以精确表示圆弧和椭圆弧,而且可以通过多引入的一个控制顶点实现在边界保持不变的情况下对曲面形状进行调节,同时,该曲面片可作为过渡曲面在三通管造型接口处实现光滑过渡。总之,拟二次Bézier三角曲面片在曲面造型与曲面设计中有较好的应用,可作为现有造型方法的有效补充。