Zernike多项式拟合方法及应用

由于Zernike多项式的各项与光学像差有相应的对应关系,用Zernike多项式对镜面面形数据进行处理的方法已经广泛应用于工程项目、光学系统设计软件和干涉检查等.用Zernike多项式作为光学和结构分析程序间的接口工具是非常方便和成熟的.本文阐述了Zernike多项式及其拟合方法和应用流程,并应用它作为数据接口工具实现了光机热各分析模块间的数据转换,并在某空间相机系统集成分析中得到应用.     

Zernike多项式波面拟合的回归分析方法

介绍了一种干涉波面的Zernike多项式拟合方法,该方法从构造的正规方程入手并对其进行逐步回归分析,从众多的Zernike多项式模式中选取影响显著的模式。采用仿真波前对本文提出的波面拟合方法进行了验证,结果表明该方法可以得到干涉波面的最优模式组合,有效提高波面拟合的精度,拟合的PV和RMS相对误差仅为1.11%和0.07%。     

用Zernike多项式进行波面拟合的几种算法

介绍了几种实现波面Zernike 多项式拟合的常用算法。为避免因直接构造法方程组而引入计算误差,这些方法归结为两种思路：一是从基底函数系入手,通过变换函数族的基底来改善法方程组状态;二是直接从矛盾方程组入手,应用Householder变换把系数矩阵正交三角化,直接求解拟合系数。特别是第二种方法由本文第一次提出,它避免了构造法方程组,从而避免了以前的方法因构造的法方程组出现严重病态而引入的计算误差,并且易于编程,因而是一种比较理想的实现Zernike 多项式拟合的算法。     

Zernike矩边缘检测与多项式拟合的CT图像三维测量算法

针对工业CT切片z方向分辨率不足问题,研究一种Zernike矩边缘检测与多项式拟合结合、自动预测顶端的高精度三维测量算法。首先通过Zernike矩对每张切片图像提取亚像素级轮廓,并用多项式拟合该轮廓;然后对拟合曲线进行等相角间隔采样,并建立同相角的轮廓点匹配,采用层间插值算法得到中间层的轮廓点并外插预估工件顶端点;最后采用台体法计算工件体积。对体积相等的圆柱、圆锥和半球3个标准试块进行CT扫描、测量并分析了测量误差的来源。实验结果表明,对实际工件体积测量误差降低到1%以下,能够满足工程应用中的自动、快速、高精度体积测量要求。     

Zernike多项式拟合人眼波前像差的一种新算法

提出一种用于计算人眼波前像差函数中Zernike多项式拟合系数的精确算法。介绍了人眼波前像差的概念以及用Zernike多项式表示的人眼波像差函数,采用Householder变换对矛盾方程的广义增广矩阵进行正交三角化,导出求解拟合系数的算法。给出了人眼大、小瞳孔的像差测量计算实例,并对比了直接构造法方程组的计算结果和精度。对比多只眼睛的计算结果表明,该算法与直接构造法方程组的计算精度相当,各项拟合系数的相对误差都在10%以内。该算法避免了构造法方程组引入的计算误差,易于编程,是一种比较理想的求解Zernike多项式拟合系数的算法。     

慢刀伺服加工中的Zernike多项式局部拟合算法

针对慢刀伺服加工前后的曲面拟合问题,将Zernike多项式与移动最小二乘法结合,提出Zernike多项式局部拟合算法。使用Gram-Schmidt正交化构造正交基底函数,解决了拟合计算中出现的病态矩阵及矩阵求逆运算量大等问题。局部拟合中支持域半径对拟合精度影响显著,基于此提出了支持域半径优化算法。以渐进多焦点曲面、环曲面、正弦阵列面为例,采用与慢刀伺服加工关系密切的刀触点精度及拟合优度R-square作为评价标准,在MATLAB软件中进行了数值仿真。结果表明,Zernike多项式局部拟合算法各项标准均优于移动最小二乘法,并且算法在经过半径优化后,不仅进一步提高了精度、改善了拟合优度,还改善了刀触点误差的离散程度。     

反光镜测试中曲面数据采集及拟合

为了求得未知椭球曲面的曲线方程,模拟曲面的几何结构,以数字投影系统中椭球反光镜为例,介绍了大口径非球面反光镜数据采集及拟合方法。利用三坐标测量机(CMM)对椭球反光镜面型进行精密测量,根据测试数据,采用数学拟合方法获得椭球反光镜的曲线方程。并对测试模型与拟合曲面进行了光线追迹和误差分析,拟合曲面与测试曲面符合较好。因此,采用三坐标测量机进行曲面数据采集及数学方法拟合,能够得到较理想的拟合曲面方程。     

剪切干涉测量中基于Zernike多项式的自适应波前重建

提出一种剪切干涉测量中被测波前重建的新方法，该方法基于Zernike多项式最小二乘拟合的基本原理，通过自适应的方式来确定波前重建表达式。推导出剪切相位Zernike多项式系数与被测波前Zernike多项式系数的直接转换矩阵，提出了自适应确定多项式级次的新算法，给出了相应的波前重建数学模型。对算法进行了计算机模拟，并应用于实际剪切干涉测量，结果证明该方法具有可靠的波前重建精度。     

采样点分布对基于面形斜率径向基模型的自由曲面拟合精度的影响

鉴于自由曲面模型的面形拟合精度在自由曲面表征以及面形初始结构选取等研究中的重要性,本文针对基于面形斜率的高斯径向基表征模型,研究了不同的采样点分布类型对该模型面形拟合精度的影响。采用不同采样点分布拟合离轴二次曲面和带凸起的抛物面,结果表明采用均匀随机分布的采样点有利于实现高精度的面形拟合,且达到一定的拟合精度后,采样点的数目对拟合精度的影响有限。以离轴三反系统为设计实例,对比了由不同采样方式生成初始面形后系统的像质优化结果。结果显示,采用均匀随机型采样方式得到的初始面形进行系统优化,最终全视场平均调制传递函数(MTF)可以达到0.72以上,远高于由边缘集中采样方式生成初始面形后系统像质的优化结果,从而印证了理论研究结果。     

基于多项式拟合的EMD端点效应处理方法研究

EMD经验模态分解方法在非平稳信号的分析和处理中起着重要的作用,但是在利用样条插值获得上下包络过程中存在着棘手的端点问题.多项式拟合极值延拓是一种抑制端点效应的方法,但是在应用过程中也有其不足的地方,针对其不足之处进行了深入研究,并提出了一种新的解决方法.将其应用于烟机的信号分析中,结果证明该方法能有效抑制EMD方法的端点效应,可以得到较好的结果.     

接触式大型非球面镜面形测量中测量点分布的确定

为准确有效地检测大型非球面光学元件的面形,研究了接触式测量光学元件的测量点分布方式.使用不同密度的径向分布及均匀分布的测量点分别对以不同Zernike多项式表示的面形偏差进行采样,然后计算采样所得面形相对给定面形PV值及RMS值的最大相对误差,并对计算结果进行了分析.对1.8m抛物面镜面形实测结果表明:在镜面加工的成型及粗磨阶段,由于面形偏差主要呈旋转对称分布,低密度径向分布测量点即可满足继续加工的检测需求;在精磨及初抛阶段,面形偏差主要为像散或其它非对称面形偏差,测量点均匀分布是提升测量精度的有效手段.此分析方法可以指导测量点的排布方式,从而确保由测量点分布引入的测量误差小于镜面本身面形误差的1/5,提高检测效率.     

基于截面数据的B样条曲面光顺拟合

分析了B样条曲线的光顺拟合方法，针对按截面测量所得数据，将B样条曲线光顺拟合的方法扩展到B样条曲面的光顺拟合，并给出了数值算例。     

利用曲面计算全息图进行非球面检测

研究了利用曲面计算全息图进行非球面检测.分析了曲面计算全息图的衍射特性,给出了曲面计算全息图与传统检测方法相结合检测凹非球面和凸非球面的原理及特点,并进行了具体设计.利用激光直接写入设备,在口径为110mm、曲率半径为504mm的曲面基底上制作出了计算全息图,并对金刚石车床车削的凸面非球面进行了检测.利用两步测量法解决了凸非球面的中心部位难以检测的难题,同时利用旋转相减法消除了调节误差,非球面的面形精度为234nm(P-V),与金刚石车床的精度相符.     

基于相位拟合的绝对式光电精密测角方法

单码道绝对式轴角编码器具有分辨力高、结构简单、可靠性强等优点。为实现角度高精度快速识别和细分测量,提出一种基于相位拟合的绝对式编码器角度细分方法。该方法利用最长线性反馈移位寄存器序列(m序列)进行单码道绝对式编码,首先对CCD采样电平信号进行计数,判断码值组合后得到粗码译码数据;接着利用牛顿迭代法实现三角函数拟合从而获取相位信息,并提出基于相位信息的角度细分算法获得细分角度;最后结合粗码数据与细分角度得到角度信息。实验结果表明,提出的新型测角方法测角标准偏差达到4.57″,最小分度误差仅为0.23″,该方法大大提高了分辨力和精度,并且从原理上避免了码盘粗大误差对测角的影响。     

Efficient analysis-suitable T-spline fitting for freeform surface reconstruction and intelligent sampling

Optical scanning instruments require sampling and reconstruction with high accuracy and low computational cost. T-splines have recently been developed that allow significant reductions in the number of control parameters by overcoming some of the topological constraints of B-splines and NURBS. As a subset of T-splines, analysis-suitable T-splines (ASTS) show promise due to the linear independence and partition of unity of their basis functions. In this paper, a computationally efficient ASTS fitting algorithm for freeform surface reconstruction is proposed. This algorithm starts with adaptive construction of an initial analysis-suitable T-mesh according to the distribution of high-curvature feature points. A local refinement and local optimisation algorithm of the analysis-suitable T-mesh is then iteratively performed until a preset accuracy condition is satisfied. Our experimental results show that the proposed ASTS fitting can produce over 50% root-mean-square reconstruction error reduction compared to NURBS fitting, with the same number of control parameters. The computing efficiency of the proposed algorithm is equivalent to or higher than that for simple T-spline fitting. Fast derivative analysis of the ASTS has also been carried out, where two automatic intelligent sampling design methods have been developed, namely element area sampling and element curvature sampling. Up to 50% reconstruction error reduction is observed when compared to uniform and statistically optimised sampling designs. With the novel reconstruction and compatible intelligent sampling design techniques, freeform surface measurement accuracy and efficiency could be effectively improved using coordinate measuring machines.