基于多重有限体积法解决含有耗散项的双曲扩散问题

双曲扩散方程在数学上是一类重要的偏微分方程,在众多工程领域中有着广泛的应用.其常用于描述声波和电势场中电流的传播问题,也用于模拟计算流体力学中的对流扩散以及热传导模型.本文研究了一类具有耗散项的双曲扩散方程,并通过数值方法对其初边值问题进行求解.针对已有的有限体积法在求解该问题时精度无法提高的问题,本文基于变限积分的方法提出了新的高精度有限体积格式,并利用Fourier分析法得到其离散格式无条件稳定的结论,最后利用数值实验证实了理论分析结果.     

非等距网格上一维对流扩散方程的保正格式

对流扩散方程广泛存在于很多领域,为适应一些实际问题模型的求解,对离散格式,不仅要求满足一些基本性质,如稳定性和解的存在唯一性等,还要求离散格式的保正性．采用有限体积格式求解对流扩散方程的工作较少,但在保正性方面所做的工作不多．本文构造了任意非等距网格上一维对流扩散方程的非线性保正有限体积格式．其中,扩散通量的离散,在等距网格上,当扩散系数为标量时可退化为标准的二阶中心差分格式．而对流通量的离散,为避免数值振荡而使其保持迎风特性,提出一种新的方法使格式精度提高到二阶．该方法在上游单元中心处作泰勒级数展开,通过相关辅助未知量来完成梯度的重构,并对出负情形作正性校正,使得格式满足保正性要求．新格式只含有区间单元中心未知量,并满足区间端点处通量的局部守恒性．数值结果表明,本文所提格式是有效的,对于处理扩散占优、对流占优问题,扩散系数连续和间断情形均具有良好的适应性,并且保持二阶精度．另外,新格式适用于扩散系数间断问题的求解．     

粘弹性流体模拟的DCQ-QUICK格式

流场中对流项的离散是其数值求解的一大难点.本文基于非结构同位网格格心有限体积法,针对流场守恒方程与Oldroyd-B本构方程的对流项,提出了一种耦合高阶Q-QUICK格式的延迟修正格式.通过平面Poiseuille流在不同We数下数值解与解析解的比较,验证了该方法具有较高的精度和较好的数值稳定性.通过4:1粘弹性收缩流的数值模拟,揭示了不同Re、We数下流场中压力、应力变化及角涡生长情况,同时也表明了该方法可有效扩大We数的计算范围.     

一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式

本文在非均匀网格上给出了求解非定常对流扩散方程的一种高精度紧致差分格式,特别适合边界层和大梯度等问题的求解.从稳态对流扩散方程入手,首先,基于非均匀网格上的泰勒级数展开对空间导数项进行离散,然后对时间项采用二阶向后欧拉差分公式,从而得到一维非定常对流扩散方程在非均匀网格上的三层全隐式紧致差分格式.新格式在时间具有二阶精度,空间具有三到四阶精度,并且是无条件稳定的.最后,通过数值实验验证了本文格式的精确性,以及在处理诸如边界层和大梯度问题上的优势.     

各向异性扩散问题的一个单元中心型有限体积格式

在辐射流体力学的数值模拟中,扩散算子的高效高精度离散是一个十分重要的问题.本文研究各向异性扩散方程在任意多边形网格上的数值求解问题,我们利用调和平均点和线性精确方法,构造了一个单元中心型有限体积格式.该格式只含有单元中心未知量,满足局部守恒条件,有紧凑的计算模板,在结构四边形网格上退化为一个九点格式.由于调和平均点插值算法是一个具有两点模板的二阶保正算法,因此,采用单元边上的调和平均点为插值节点,使得离散格式十分简洁,容易实施.此外,我们在格式构造中仅采用了二、三维网格的共有拓扑关系,使格式容易向三维问题推广,大部分程序代码可实现二、三维公用.我们采用典型的大变形扭曲网格及典型的扩散算例(包括连续和间断的扩散张量)对所提出的新格式进行了测试,数值算例表明,新格式在许多扭曲的多边形网格上具有二阶精度.     

基于Leonard规正变量的修正高分辨率组合格式

通过对规正变量进行重构,本文提出了求解对流扩散方程的修正高分辨率组合格式,它能够求解边界层和大梯度等问题.首先,根据规正变量的定义得出了组合格式的通用表达式,然后对时间项采用二阶中心差分格式,得到了对流扩散方程的离散表达式,对离散化得到的代数方程组采用TDMA算法求解,并推导出了组合格式计算过程迭代收敛时所满足的充分条件.数值实验表明:新格式具有分辨率高,数值耗散较低,总偏差量较小,能很好模拟场变量的大梯度变化,计算结果优于传统格式.     

线性对流占优扩散问题的修正特征混合有限元方法

本文对一类线性对流占优扩散问题提出了一种修正的特征混合有限元格式,该格式对方程的对流部分沿流体流动的方向即特征方向离散以保证格式在流动的锋线前沿逼近的高稳定性,消除数值弥散现象;对方程的扩散部分采用最低次混合有限元方法离散以同时高精度逼近未知函数及未知函数的梯度;为保证方法的整体守恒性,在格式中引入一修正项.数值分析表明,文中提出的修正的特征混合有限元方法具有所期望的稳定性,收敛性及整体守恒性.     

任意多边形上非定常扩散方程的单元中心型有限体积格式

针对二维非定常扩散方程,构造适用于任意多边形网格的单元中心型有限体积格式。采用向后欧拉格式进行时间离散,空间上在离散扩散算子时,利用网格顶点作为辅助插值点,通过求解一个欠定方程组将辅助插值点信息替换成网格单元中心点信息,最终得到只含单元中心未知量的离散格式。该格式既满足局部守恒条件,又满足线性精确准则。在几类多边形网格上进行数值实验,分别考虑扩散系数是连续和间断的情况,发现新格式均可达到二阶收敛。其数值表现显著优于算数平均加权和逆距离加权的九点格式,与双线性插值的加权方式结果相近,并且克服了双线性插值加权方式不适用于三角形网格的弊端。数值算例表明新格式求解非线性扩散方程仍然可以达到二阶收敛。     

算子分裂法求解对流–扩散–反应方程

采用一阶精度的Lie分裂求解对流–扩散–反应方程,在每个时间步内,对于要求解的两个方程,关于时间分别采用特征线和欧拉方法进行离散,空间采用P2元进行离散.这两个方程,一个沿着特征线为常微分方程,另一个为典型的抛物型方程.同时导出了适合分裂方程的中间边界条件,分析了其分裂误差.数值结果表明,所提方法能够有效的求解对流–扩散–反应方程.     

求解变系数对流扩散反应方程的指数型高精度紧致差分方法

本文给出了一种数值求解变系数对流扩散反应方程的指数型高精度紧致差分方法.我们首先将模型方程变形,借助常系数对流扩散方程的指数型高精度紧致差分格式,采用残量修正法得到变系数对流扩散反应方程的指数型高精度紧致差分格式;并从理论上分析了当Pelect数很大时,本文格式达到四阶计算精度时网格步长的限制条件;离散得到的代数方程组可采用追赶法直接求解.数值实验结果与理论分析完全吻合,表明了本文格式对于边界层问题或大梯度变化的物理量求解问题具有的高精度和鲁棒性的优点.     

二维对流扩散方程的二阶精度特征差分格式

针对二维对流扩散方程提出了几类二阶精度特征差分格式,给出了这些格式形成的线性代数方程组可解的充分条件,分析证明了这些格式按离散L^2模是二阶收敛的。最后,具体算例表明这些格式对于对流扩散方程有良好的计算效果。     

氯离子在混凝土中扩散传输的有限体积法模拟分析

基于氯离子在混凝土结构中的扩散传输理论,建立了氯离子扩散传输偏微分方程,讨论了边界与初始条件。根据因变量在有限大小的控制体积中满足守恒定理,建立了氯离子在混凝土中扩散传输的离散方程,编制了计算程序。算例分析表明,有限体积法可以很好地模拟氯离子在混凝土中的扩散传输,可以分析计算复杂边界条件下的混凝土内的氯离子分布,并对受氯离子侵蚀混凝土结构的使用寿命进行预测分析。     

解梁的平衡方程的混合有限体积元方法

针对梁的平衡方程导出了一类混合有限体积元格式，并用非常直观的方法证明了该格式按离散H^1半模及离散L^2模具有一阶精度。最后，具体算例表明，该算法计算效果良好。     

基于通量非结构网格有限体积法的Level Set方程求解

在非结构网格上,采用基于通量的格心有限体积法求解Level Set方程,并给出了其数值离散格式.对Zalesak圆盘、旋转收缩圆及圆面剪切三个经典界面运动问题进行了数值模拟,其质量盈亏量与收敛阶的计算结果表明,该方法克服了传统数值方法造成的质量不守恒的缺点,能准确有效地求解拓扑结构发生变化的复杂运动界面问题,且计算量较格点格式大为减少.     

一类高阶KdV类型水波方程的多辛Euler-box格式

高阶KdV类型水波方程作为一类重要的非线性方程有着许多广泛的应用前景．本文主要研究高阶KdV类型水波方程的多辛Euler-box格式．首先,通过正则变换,构造了高阶KdV方程的多辛结构,并得到该系统的多辛守恒律、局部能量守恒律和动量守恒律．然后,我们利用Euler-box格式对高阶KdV方程进行离散,并基于Hamilton空间体系的多辛理论研究了该系统的离散Euler-box格式．我们证明该格式满足离散多辛守恒律,并且给出该格式的向后误差分析．最后,数值算例结果表明该多辛离散格式具有较好的长时间数值稳定性．     

减压阀动态特性的数值模拟及故障分析

采用ANSYS有限元软件计算得到减压阀膜片的反力时程曲线和运动部件的动态特性,在此基础上将结构简化为两个单自由度质量弹簧阻尼动力学模型,采用Newmark算法计算。流体控制方程为三维非定常积分形式的ALE(Arbitrary Lagrangian Eulerian)方程,采用基于弹簧近似的动网格有限体积格式求解,应用了新的离散几何守恒律和高精度界面算法;同时采用虚拟网格通气技术实现阀门部件运动过程所引起的拓扑变化。计算表明,在较宽的上游增压速率范围内减压阀出口压力存在振荡,均值接近按照静态性能设计的理论值。通过对计算流场进行分析,确定了造成两种开启故障的主要机理,修改模型参数可以排除异常。     

长短波方程的两个守恒型紧致有限差分格式

本文对一类耦合非线性长短波方程组进行了数值研究，提出了两个四阶紧致有限差分格式，并证明新格式在离散意义下保持原问题的两个守恒性质，即总质量守恒和总能量守恒．数值实验表明本文格式在时间和空间方向分别具有二阶和四阶精度，具有良好的稳定性且在离散意义下很好地保持总质量和总能量守恒．     

定常对流扩散反应方程非均匀网格上高精度紧致差分格式

本文构造了非均匀网格上求解定常对流扩散反应方程的高精度紧致差分格式.我们首先基于非均匀网格上函数的泰勒级数展开,给出了一阶导数和二阶导数的高阶近似表达式;然后将模型方程变形,借助于对流扩散方程高精度紧致格式构造的方法,结合原模型方程,得到定常对流扩散反应方程的高精度紧致差分格式;最后给出的数值算例验证了本文格式高精度和高分辨率的优点.     

拟线性 Sobolev 方程 Wilson 元解的超收敛分析及外推?

本文对拟线性 Sobolev 方程的 Wilson 非协调有限元解进行了高精度分析.基于双线性元的积分恒等式和对半离散有限元逼近格式的修正,证明了 Wilson 元解的双线性插值和双线性元解相同.进而利用插值后处理技巧得到了超逼近和超收敛及后验误差估计.同时,通过构造一个新的外推格式,导出了比传统误差估计高二阶的外推结果.     

缓增分数阶扩散方程的高阶时间离散LDG方法

研究了缓增分数阶扩散方程的高阶时间离散局部间断Galerkin (Local Discontinuous Galerkin, LDG)方法，不是直接求解缓增分数阶扩散方程，而是首先通过变换将其转化成Caputo型时间分数阶扩散方程。接着，采用L1-2差分逼近离散Caputo型分数阶导数，间断有限元离散空间变量，构造求解模型的全离散LDG格式。证明了所建立的全离散格式为无条件稳定的且具有最优误差阶，两个数值算了验证了所建立数值格式的精度和鲁棒性。数值实验结果表明所建立格式在时间和空间方向均具有高精度。