关于一类新的整和图

Ｈａｒａｒｙ 提出了整和图的概念,设 ｆ 为整数集到图 Ｇ（ Ｖ（ Ｇ） , Ｅ（ Ｇ）） 的顶点集 Ｖ（ Ｇ） 之间的一个单射,使得对于 Ｇ 的两个不同的顶点ｕ 和ｖ ,ｕｖ ∈ Ｅ（ Ｇ） ,当且仅当存在 ｗ ∈ Ｖ（ Ｇ） ,使 ｆ（ ｕ） ＋ ｆ（ ｖ） ＝ｆ（ ｗ ） ,则 Ｇ 称为整和图,并且他证 明了所有路 和星图是整 和图。树 中度数至少 为３ 的 顶点称为 叉点, Ｃｈｅｎ 用粘合法证明了广义星图和叉点距离至少为４ 的树是整和图,并同时猜测所有的树均为整和图。本文证明了所有叉点距离至少为３ 的树是整和图,从而给出了一类新的整和图     

关于一类新的整和图

Ｈａｒａｒｙ提出了整和图的概念,设ｆ为整数集到图Ｇ（Ｖ（Ｇ）,Ｅ（Ｇ）的顶点集Ｖ（Ｇ）的一个单射,使得对于Ｇ的两个不同的顶点ｕ和ｖ,ｖｕ∈Ｅ（Ｇ）,当且仅当存在ｗ∈Ｖ（Ｇ）,使ｆ（ｕ）＋ｆ（ｖ）＝ｆ（ｗ）,则Ｇ称为整和图,并且他证明了所有路和星图是整和图。树中度数至少为３的项点称为叉点,Ｃｈｅｎ用粘合法证明了广义呈图和叉点距离至少为４的树是整和图,并同时猜测所有的树均为整和图。本文证明了所有叉点距     

图的正交(g,f)-因子分解

设ｇ和ｆ分别是定义在图Ｇ的顶点集合Ｖ（Ｇ）上的整数值函数且对每一个ｘ∈Ｖ（Ｇ）有２≤ｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）．证明了若Ｇ是（ｍｇ＋ｍ－１,ｍｆ－ｍ＋１）—图,则对Ｇ中任意一个给定的有ｍ条边的子图Ｈ,Ｇ有一个（ｇ,ｆ）—因子分解与Ｈ正交．     

图的正交（g,f）——因子分解

设ｇ和ｆ分别是定义在图Ｇ的顶点集合Ｖ（Ｇ）上的整数值函数且对每一个ｘ∈Ｖ（Ｇ）有２≤ｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）,证明了若Ｇ是（ｍｇ＋ｍ－１,ｍｆ－ｍ＋１）－图,则对Ｇ中任意一个给定的有ｍ条边的子图Ｈ,Ｇ有一个（ｇ,ｆ）－因子分解与Ｈ正交。     

对边幻图猜测的一个证明

令简单图G =(V ,E)是有 p个顶点 q条边的图。假设G的顶点和边由 1 ,2 ,3 ,… ,p + q所标号 ,且 f :V∪E { 1 ,2 ,… ,p + q}是一个双射。如果对所有的边xy ,f(x) + f(y) + f(xy)是常量 ,则称图G是边幻图 (edge-magic)。毛毛虫图是一个树 ,移走它的所有端点产生一个路 (称为T的脊或主干 )。例如 ,路和星图是毛毛虫图。证明了毛毛虫图是边幻图 ,从而证明了顶点不超过 8的树是边幻图。     

关于索引图的一些结论

文献［１］给出了索引图的概念：设Ｇ＝（Ｖ,Ｅ）为简单图,如果存在标号ｆ,将图Ｇ的顶点分别标以０,１,… ,连续的整数,使得图Ｇ边的相邻两点标号之和是彼此不同的,则称ｆ为Ｇ的索引标号。若图Ｇ有索引标号,则称Ｇ为索引图。本文讨论了索引图的一些性质,证明了如果Ｅ２Ｖ－３,则Ｇ不是索引图;证明了Ｋｍｎ为索引图．当且仅当Ｋｍｎ为星或为Ｋ２ｎ;证明了任意个索引图非连通的并图是索引图。     

一类树的带宽和

设Ｇ＝Ｇ（Ｖ，Ｅ）是一ｐ阶简单图，一个１－１映射ｆ∶Ｖ→｛１，２，…，ｐ｝称为Ｇ的一个标号。Ｂｓｕｍ（Ｇ）＝ｍｉｎｆΣ（ｕ，ｖ）∈Ｅ｜ｆ（ｕ）－ｆ（ｖ）｜∶ｆ是Ｇ的一个标号｛｝叫做Ｇ的带宽和。本文确定了一类树的带宽和。     

图的(g,f)—因子分解

设Ｇ是一个图，ｇ和ｆ是定义在图Ｇ的顶点集上的两个整数值函数，且ｇ≤ｆ．图Ｇ的一个（ｇ，ｆ）—因子是Ｇ的一个支撑子图Ｈ，使对任意ｘ∈Ｖ（Ｈ）有ｇ（ｘ）≤ｄＨ（ｘ）≤ｆ（ｘ）．若图Ｇ的边集能划分为若干个边不相交的（ｇ，ｆ）—因子，则称Ｇ是（ｇ，ｆ）—可因子化的．给出了一个图是（ｇ，ｆ）—可因子化的一个充分条件，改进了有关结果．     

图的（g,f）—因子分解

设Ｇ是一个图，ｇ和ｆ是定义在图Ｇ的顶点集上的两个整数值函数，且ｇ≤ｆ图Ｇ的一个（ｇ，ｆ）－因子是Ｇ的一个支撑子图Ｈ，使对任意ｘ∈Ｖ（Ｈ）有ｇ（ｘ）≤ｄＨ（ｘ）≤ｆ（ｘ）若图Ｇ的边集能划分为若干边不相交的（ｇ，ｆ）－因子，则称Ｇ是（ｇ，ｆ）－可因子化的，给出一个图是（ｇ，ｆ）－可因子化的一个充分条件，改进了有关结果。     

凸函数的双参数平均不等式的新证明

设ｆ（ ｘ） 是［ ａ ,ｂ］ 上的正连续函数, 且在（ ａ , ｂ） 内可微, 若ｆ′（ ｘ） 单调递增, 则对任意的ｐ , ｑ , 有　 Ｍｐ ,ｑ（ｆ） ＜ Ｅ（ ｐ ＋ １ ,ｑ ＋ １ ;ｆ（ ａ） ,ｆ（ ｂ）） ; 若ｆ′（ ｘ） 单调递减, 则此不等式反向成立． 其中 Ｍｐ ,ｑ（ｆ） 和 Ｅ（ｒ ,ｓ ;ａ ,ｂ） 分别表示双参数平均和拓广平均．     

两类联图的全着色

一个图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）的一个ｋ－全着色是从Ｖ∪Ｅ到Ｉｋ＝｛１，２…ｋ｝上的一个映射ψ；如果对Ｖ∪Ｅ中任意两个相邻或相关联的元素ｅ１，ｅ２，都有ψ（ｅ１）≠ψ（ｅ２）时，则称ψ为Ｇ的一个正规全着色。图Ｇ的全色数定义为ｘＴ（Ｇ）＝ｍｉｎ｛ｋ｜存在Ｇ的一个正规ｋ－全着色｝。令Ｃｎ为ｎ个点的图，Ｋ↑－ｍ为ｍ个点的独立集，Δ为图的最大度。本文证明了在ｍ≠ｎ时联图Ｃｍ＋Ｃｎ的全色数为Δ＋１；在ｍ＋２〈ｎ或ｍ〉ｎ     

若干色临界图和色极小图的构造

一个图Ｇ,若对任意的顶点Ｖ（边ｅ）,Ｘ（Ｇ－ｖ）＜Ｘ（Ｇ）（Ｘ（Ｇ－ｅ）＜Ｘ（Ｇ））,则称Ｇ是色临界的（色极小的）．给出了色临界图和色极小图的几个构造方法,并探讨了这些构造方法的性质。     

k—覆盖图的一个充分条件

论证了整数ｎ（ｎ≥３）和ｋ（ｋ≥２），若ｋ为奇数，则令ｋ≥ｎ－１，Ｇ是一个不含Ｋ１，ｎ的２－边连通图，ｋ│Ｖ（Ｇ）│≡ｏ（ｍｏｄ２），设Ｇ的顶点最小度α（Ｇ）至少为（ｎ＾２／４（ｎ－１）ｋ＋（３ｎ－６）／２＋（ｎ－１）／４ｋ，则Ｇ是ｋ－覆盖图，并且说明了定理条件“２－边连通”不能减弱为“连通”。     

k-覆盖图的一个充分条件

论证了对整数ｎ（ｎ≥３）和ｋ（ｋ≥２），若ｋ为奇数，则令ｋ≥ｎ－１，Ｇ是一个不含Ｋ１，ｎ的２边连通图，ｋ｜Ｖ（Ｇ）｜≡ｏ（ｍｏｄ２），设Ｇ的顶点最小度α（Ｇ）至少为（ｎ２／４（ｎ－１））ｋ＋（３ｎ－６）／２＋（ｎ－１）／４ｋ，则Ｇ是ｋ覆盖图．并且说明了定理中条件“２边连通”不能减弱为“连通”．     

独立数、连通度与r-覆盖

设Ｇ是一个图,如果对Ｇ的任一条边ｅ,Ｇ中存在包含ｅ的ｒ－因子,则称Ｇ是ｒ－覆盖图．文中证明了：如果ｒ≥１是一奇数,Ｇ是一图,｜Ｖ（Ｇ）｜为偶数．若Ｋ（Ｇ）≥（ｒ＋１）２／２,（ｒ＋１）２α（Ｇ）＜４ｒＫ（Ｇ）,那么,Ｇ是ｒ－覆盖的．如果ｒ≥２为偶数,图Ｇ满足：Ｋ（Ｇ）≥ｒ（ｒ＋２）／２,（ｒ＋２）α（Ｇ）＜４Ｋ（Ｇ）,那么,Ｇ是ｒ－覆盖的．     

关于微分多项式的一个基本定理

证明了不等式ｐｑＴ（ｒ,ｆ）＜Ｎ（ｒ,ｆ）＋ｐｑＮｒ,１ｆ＋∑ｑｊ＝１Ｎｒ,１ψ－ｂｊ－（ｑ－１）Ｎｒ,１ψ－Ｎｒ,１ψ′＋Ｓ′（ｒ,ｆ）其中,ｆ是超越亚纯函数;ψ是ｆ的一个微分多项式,且ψ不为常数;ｐ是ψ的最低次项的次数;ｂｊ（ｊ＝１,２,…,ｑ）是一组判别的非零有穷复数．此不等式蕴涵了Ｍｉｌｏｕｘ及熊庆来等人的几个不等式．     

二面体群上的Hamilton图

令Ｇ是一个有限群，Ｓ是Ｇ的一个生成元集，定义Ｇ上的Ｃａｙｌｅｙ图为Г＝Г（ＧＳ），其中顶，久集为Ｖ（Г）＝Ｇ，边集为Ｅ（Г）＝｛（ａ，ｂ）｜ａ，ｂ∈Ｇ，ａ（－１）ｂ∈Ｓ｝，令Ｄｎ表示２ｎ阶的二面体群，Ｓ＝Ｓ（－１）是Ｄｎ的生成元集。本文证明了Ｄｎ上的Ｃａｙｌｅｙ图Г（Ｄｎ，Ｓ）具有Ｈａｍｉｌｔｏｎ圈。从而证明了Ｗ．Ｈｏｌｓｚｔｙｎｓｋｉ和Ｒ，Ｆ，Ｅ，Ｓｔｒｕｂｅ猜想［１］。     

Hamiltonian连通图的一个范－型条件

在一个图Ｇ中，对于两个不相邻点ｕ，ｖ，用α（ｕ，ｖ）表示包含ｕ和ｖ的最大独立集的个数．本文证明了：如果Ｇ是一个包含ｎ个顶点的３－连通图，对于Ｇ中每一对满足１≤｜Ｎ（ｕ）∩Ｎ（ｖ）｜≤α（ｕ，ｖ）－１的不相邻顶点ｕ，ｖ有ｍａｘ｛ｄ（ｕ），ｄ（ｖ）｝≥ｎ＋１２，那么Ｇ是Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ连通的或者Ｇ属于特殊图类     

图中含有D－圈的一个充分条件

证明了一个定理，即：设Ｇ是围长ｇ≥６的连通图，且Ｇ－Ｄ１（Ｇ）是２－连通的，若ｅ，ｆ∈Ｅ（Ｇ），ｄ（ｅ，ｆ）＝２，有ｄ（ｅ）＋ｄ（ｆ）≥ｎ－ｇ＋２，则Ｇ有一个Ｄ－圈，从而推广和改进了原有的一些结果     

独立数,连通度与r—覆盖

设Ｇ是一个图,如果对Ｇ的任一条边ｅ,Ｇ中存在包含ｅ的ｒ－因子,则称Ｇ是ｒ－覆盖图。文中证明了：如果ｒ≥１是一奇数,Ｇ是一图,│Ｖ（Ｇ）│为偶数。若Ｋ（Ｇ）≥（ｒ＋１＾２／２,（ｒ＋１）＾２α（Ｇ）〈４ｒＫ（Ｇ）,那么,Ｇ是ｒ－覆盖的。如果ｒ≥２为偶数,图Ｇ满足：Ｋ（Ｇ）≥ｒ（ｒ＋２）／２,（ｒ＋２）α（Ｇ）〈Ｋ（Ｇ）,那么,Ｇ是ｒ－覆盖的。