Un procedimento iterativo per la risoluzione dei sistemi di equazioni

An iterative process to solve systems of equations is examined. This process generalizes the «plurirelaxation» method examined in a previous paper. Also a convergence criterium is given. Some particular cases are considered. The results of some calculations are reported.     

Accelerazione della convergenza per metodi di risoluzione di equazioni differenziali ordinarie

In this paper a procedure for the acceleration of the convergence is given. It allows the doubling of the order of the multistep methods for the numerical solution of the ordinary differential equation $$y' = f(x,y),y_0 = y(x_0 );{}_{x_0 }^x \in [a,b].$$ This acceleration is applicable to any method of orderp≥1 whatsoever, and it requires the evaluation of the globalp-th derivate of the functionf(x, y). Special attention is confined to the 2⁰ and 3⁰ order methods, and a numerical exemple is provided.     

Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari

Numerical methods for computing the solution of an underdetermined linear system of least distance from an assigned point are studied. Special attention is given to the study of computing error propagation.      

Tecniche di riordinamento delle equazioni per la risoluzione dei sistemi lineari sparsi

Some reordering schemes are considered for the solution of large sparse sets of linear equations, leading to a considerable gain in c.p.u. time and memory requirement. From the obtained results the techniques ignoring the possible band structure of the matrix are proved to be the best.     

Un metodo numerico per la risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie

Sommario Utilizzando formule di quadratura di Newton-Cotes di tipo estrapolatorio, si propone un metodo numerico per la risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie. Il metodo è antopartente e se ne dimostra la stabilità in un caso particolare. Si riportano esempi paragonando il metodo proposto con i metodi di Milne e di Runge-Kutta.

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By making use of extrapolation Newton-Cotes formulas a numerical method for integrating ordinary differential equation is presented. The method is self-starting and stability is demonstrated in a particular case. In order to compare this method and those of Milne and Runge-Kutta some example are presented.

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Lavoro eseguito con contributo del C.N.R. nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni.     

Un metodo iterativo per la risoluzione di sistemi di equazioni

An iterative method to solve systems of equations is given. The method may be either «total step” or «single step»; we have called it a «plurirelaxation» method because the iterative formulas have many parameters. Also a convergence criterion is given. In particular the case of linear systems has been considered. A numerical example is referred.     

Su una classe di formule espliciteA-stabili per l'integrazione numerica di equazioni differenziali ordinarie

Sommario Si dimostra che ogni formula lineare ak passiA-stabile definisce un metodo esplicito, in una particolare classe di metodi lineari ak passiA-stabili e a coefficienti variabili. A questa classe di metodi viene estesa la teoria della stabilità e convergenza dei metodi tradizionali a coefficienti costanti. Si applicano i risultati per ricavare alcune formule espliciteA-stabili che, impiegate insieme a opportuni correttori, danno luogo a metodi di predizione e correzioneA-stabili.

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EachA-stable lineark-step method is shown to define an explicit one in a class ofA-stable lineark-step, with variable coefficients, methods. For this class of methods an outline of stability and convergence theory is given. Application is made in derivingA-stable explicit formulae, which are useful to performA-stable predictor-corrector methods.

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Lavoro esegnito con contributo del C.N.R. nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni.     

Sulla soluzione numerica di sistemi di equazioni differenziali lineari con condizioni al contorno

Sommrio Vengono presentati due metodi di calcolo per la soluzione numerica di sistemi di equazioni differenziali lineari con condizioni al contorno. Tali metodi, adottando opportuni sviluppi in serie di potenze consentono la determinazione delle componenti incognite del vettore-C delle condizioni iniziali con una maggiore precisione, ed una notevole riduzione del tempo di calcolo rispetto al procedimento classico che fa uso di metodi di integrazione numerica passo-passo. Tali vantaggi vengono messi in evidenza in un esempio di calcolo in cui si confrontano i risultati ottenuti con i diversi metodi di soluzione.

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Two numerical methods for the solution of a linear differential system with boundary conditions are presented. These methods, through suitable developments in power series, make it possible to determine the unknown components of the vector of the initial conditions with greater accuracy and considerable reduction in calculation time compared with the classical methods using step by step numerical integration. Such calculation techniques are, furthemore, particulary useful where an analysis is required of the behaviour of the solution where the coefficient matrix or the vector of forcing function are varied. These advantages are brought out in an example in which the results obtained by the various methods are compared.

     

Metodo dei momenti per la soluzione di equazioni e sistemi di equazioni

Sommario In questa nota descriviamo una classe di possibili generalizzazioni del metodo della secaute per la soluzione di equazioni e di sistemi di equazioni, cui, per ragioni che risulteranno evidenti nel paragrafo 1.1., abbiamo dato il nome di metodo dei momenti. Vienes discusso l'ordine di convergenza e presentati alcuni esempi. Nel paragrafo 1.3., limitaitamente al caso della secante, viene dato un nuovo criterio per la scelta del punto da scartare dopo ogni iterazione, il quale offre notevoli vantaggi.

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In this paper we describe a class of possible generalization of the secant method for solving equations and systems of equations. To this class, for the reason illustrated in paragraph 1.1., we gave the name of the method of moments. The convergency order is discussed and some examples are introduced. In the paragraph 1.3., only for the sant case, a new criterion is given for the choice of the point to be discarded after every iterations. It offers some remarkable advantages.

     

Un metodo per la risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico

Riassunto Si espone un metodo non iterativo per la risoluzione numerica del primo problema al contorno per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico e si riportano i risultati di alcune elaborazioni numeriche.

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A non-iterative method is given to solve numerically the first value boundary problem for the elliptic equations. Some numerical examples are referred.

     

Un metodo di approssimazione bilaterale per equazioni differenziali ordinarie

In this paper we describe a method, based on predictor-corrector formulas, for the bilateral approximation of the solution of special initial value problems for ordinary differential equations. For given predictor-corrector formulas, conditions are stated in order to obtain, at any mesh-point, an interval containing the exact solution. The amplitude of the interval gives an error estimate according to the order of the method. Some numerical examples are considered and relevant results are displayed.      

Sulla convergenza di procedimenti iterativi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari inerenti al primo problema al contorno per equazioni di tipo ellittico

Sommario Si studiano le condizioni di convergenza di procedimenti iterativi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari che hanno origine dalla discretizzazione di problemi al contorno per equazioni alle derivate parziali lineari di tipo ellittico.

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In this paper there are examined some convergence criteria of iterative processes arising from the discretization of the boundary value problems for linear elliptic equations. A numerical example is also given.

     

Diramazioni di soluzioni di equazioni differenziali ordinarie non lineari

Sommario In questa nota vengono studiate proprietà delle soluzioni non banaliw(x) (0≤x≤1) del problema non linearew″+λw=g(w) w′ ²,w(0)=w(1)=0, dove λ è reale eg(w) è intera; sono studiati in dettaglio alcuni casi corrispondenti a scelte particolari dig.

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Properties are obtained of the non trrivial solutionsw (x) (0≤x≤1) of the non linear boundary problemw″+λw=g(w)w′ ²,w(0)=w(1)=0, where λ is real andg(w) is entire. Some special cases (corresponding to special choices ofg) are studied in detail.

     

Studio di un procedimento di integrazione numerica per equazioni differenziali lineari a derivate parziali di tipo parabolico

Sommario In questo lavoro si esaminano la stabilità e la convergenza di un procedimento di integrazione numerica per problemi parabolici lineari a coefficienti variabili. Il procedimento è di tipo seriale, cioè viene discretizzata solo la variabile temporale, risolvendo ad ogni passo una equazione differenziale ordinaria con valori agli estremi. Il procedimento è particolarmente adatto per calcolatori di tipo ibrido. Summary This paper takes under examination stability and convergence of a numerical method for the integration of linear parabolic problems with variable coefficients. The method is a serial procedure, i. e. only the time variable is discretized, and at every step it is necessary to solve an ordinary differential equation with boundary values. At the beginning the procedure was thought for hybrid computers.

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Lavoro svolto nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.     

Un metodo iterativo non stazionario per la risoluzione di equazioni algebriche

Sommario In questa nota, mediante una successione di metodi che generalizzano quello di Laguerre ([4]), costruiamo un metodo non stazionario per la risoluzione di equazioni algebriche. Applichiamo poi il metodo al calcolo degli autovalori di matrici in forma di Hessemberg. Si ottengono risultati rilevanti, in particolare per zeri complessi e per autovalori mal condizionati.

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In this paper, by means of a class of methods that generalise the Laguerre’s method, we describe a nonstationary iterative method to solve polynomial equations. We then apply this method to the matrix eigen-value problem. We have numerical appreciable results expecially for complex roots and ill-conditioned eigenvalues.

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Lavoro svolto nell’ambito delle attività del G.N.I.M.