抵抗SPA攻击的分段Montgomery标量乘算法

基于Akishita在Montgomery形式椭圆曲线上计算双标量乘kP+lQ的思想,提出了一种计算三标量乘kP+lQ+tR的新算法,使运算量减少了约23%。在上述算法基础上提出一种椭圆曲线上分段计算标量乘bP的方法,通过预计算少量点,将计算bP转化为计算kP+lQ或kP+lQ+tR,并使用边信道原子化的方法使其可以抵抗简单能量分析(SPA)攻击。最后使用Magma在二进制域上对分段算法仿真,结果显示二分段算法计算速度最快,三分段算法其次,在效率上均比原始Montgomery算法提升很大。     

超椭圆曲线上Montgomery 标量乘的快速计算公式

超椭圆曲线密码体制与椭圆曲线密码体制相比,具有安全性高、密钥短的特点.标量乘计算是这两个密码体制中最为核心和重要的计算,其中,Montgomery 阶梯算法是计算标量乘的一种重要算法,且因为其可以抵抗简单的边带信道攻击,而被广泛研究和应用.近几年,椭圆曲线上的Montgomery 阶梯算法和相应的点运算公式一直在不断改进,但是在超椭圆曲线上,直接设计快速运算公式来提高Montgomery 阶梯算法的速度,却一直没有太大的进展.Lange 曾经探讨过这种快速公式存在的可能性,但却并没有得到一个实用、有效的计算公式.在特征为2 的域上,通过改进超椭圆曲线上的除子类加法公式来提高超椭圆曲线上的Montgomery 阶梯标量乘计算,提出了一种新的思路来改进多种坐标系下的加法公式.分析和仿真结果表明,在特征为2 的域上,新的运算公式的运行速度比之前的标准公式均有所提高.在某类常用曲线上,新的公式比之前的公式快了4%~8.3%.这说明,直接设计快速除子运算公式来提高Montgomery 阶梯算法的速度是可行的.同时,使用新的公式实现的Montgomery 阶梯算法可以抵抗简单边带信道攻击.     

Montgomery标量乘算法的抗DPA攻击改进算法

标量乘法是椭圆曲线密码算法中最核心的运算,对整个密码体制的效率和安全性具有举足轻重的作用。在对准投影坐标系下实现的Montgomery标量乘算法的安全性进行分析的基础上,结合该算法的特点,提出了一种随机Z坐标的抗DPA攻击改进算法,并利用EDA仿真工具验证了其抗DPA攻击能力。     

一个新的基于MOF从左到右编码的多标量乘算法

很多基于椭圆曲线的密码协议都需要计算多标量乘法是kP＋lQ。目前常见的多标量乘算法的效率主要取决于标量的（联合）海明权值。JSF表示的平均联合海明权密度为1／2，是所有带符号二进制表示中最优的，但JSF编码只能从右到左实现。提出一个新的从左到右的基于MOF的编码方法，该方法的平均联合海明权密度与基于JSF表示的相同，并提出一个新的多标量乘算法，该算法对标量从左到右进行编码，并将编码合并到多标量乘的主计算中，从而节省了存储标量的新编码的内存空间，提高了实现效率。     

基于滑动窗的标量乘算法改进

点标量乘法是椭圆曲线密码体制中最耗时的运算,点标量乘法的效率决定了椭圆曲线加密效率。如何优化改进点标量乘算法成为椭圆曲线密码学的研究热点。如何构造最短加法链是点标量乘的一个研究方向。该文在传统的NAF窗口算法的基础上,给出了改进的基于滑动窗的新标量乘算法,新算法在不增加存储量的同时提高了效率。     

椭圆曲线标量乘的快速实现

提出一种计算固定基点标量乘的快速实现算法,该算法的计算速度明显快于Fixed-base Windowing算法;且当预计算量小于255时,计算速度稍快于Fixed-base Comb算法。而且,该算法可以灵活地改变计算时间和占用内存的大小来适应不同的应用环境。     

一个新的基于MOF从左到右编码的多标量乘算法

很多基于椭圆曲线的密码协议都需要计算多标量乘法kP lQ。目前常见的多标量乘算法的效率主要取决于标量的(联合)海明权值。JSF表示的平均联合海明权密度为1/2,是所有带符号二进制表示中最优的,但JSF编码只能从右到左实现。提出一个新的从左到右的基于MOF的编码方法,该方法的平均联合海明权密度与基于JSF表示的相同,并提出一个新的多标量乘算法,该算法对标量从左到右进行编码,并将编码合并到多标量乘的主计算中,从而节省了存储标量的新编码的内存空间,提高了实现效率。     

一个新的基于radix-4多标量乘算法

很多基于椭圆曲线的密码协议如ECDSA签名验证,都需要计算多标量乘法kP IQ。目前常见的多标量乘算法有:Shamir多标量乘算法,interleaving多标量乘算法等,它们的效率主要取决于标量的(联合)海明权值。但它们都是基于radix-2编码表示的,无论采用何种编码,倍点运算的次数都不变,减少的只是点加(或点减)运算的次数。提出一个基于radix-4表示的新的编码方法,并给出一个基于radix-4表示的多标量乘算法,通过用四倍点运算代替倍点运算,且编码是从左到右(即从最高位向最低位)进行,编码和主计算可以合并,提高实现效率并节省内存空间。     

椭圆曲线标量乘算法的改进

椭圆曲线密码体制的快速实现依赖于标量乘(nP)的有效计算,该文改进 的二进制和三进制的混合表示方法,并且将其推广到 的二进制、三进制和五进制的混合表示。该算法在已知二倍点、三倍点和五倍点运算量的基础上,经过恰当的运算计算标量乘。试验结果表明,该算法减少计算标量乘的运算量,能有效地计算标量乘。     

椭圆曲线密码体系中标量乘的快速算法研究

对椭圆曲线密码系统中标量乘的快速实现算法进行了研究,提出了一种对窗口法NAF(w-NAF)算法的改进方案,并对改进方案进行了分析。结果表明,这种改进可以有效地减少w-NAF中的窗口数,从而有效地提高w-NAF算法的性能。     

Edwards曲线快速标量乘算法研究

标量乘法是椭圆曲线密码算法中最核心的运算,其运算速度影响着整个密码体制的实现效率。首先,详细地介绍了Edwards曲线的基本概念。其次,为了提高标量乘法的运算速度,针对椭圆曲线标量乘算法进行了研究,引入了一种可以用来计算连续倍点2◢△mP◣的算法CDA。为了提高CDA的计算效率,提出了将标量◢k◣表示为4-NNAF形式以减少◢k◣的长度,再结合CDA计算标量乘法可以有效地减少运算量。最后根据算法的运算量分析和具体例子得出,减少标量◢k◣长度后的计算效率提高了13%以上。为了进一步加快运算速度,又提出了对CDA中乘法运算和模逆运算采用并行结构来减少标量乘法的运算次数。计算结果表明,并行后的计算效率提高了36%以上。     

基于折半运算的快速双基数标量乘算法

为了提高椭圆曲线标量乘法效率,对二元域上椭圆曲线的基于双基数的标量乘法进行改进。在底层域推导出直接计算3^kP的快速算法,该算法只需一次求逆;新设计的以1/2和3为基的双基数编码可结合高效的直接计算3^kP和折半运算,基于该双基数编码的标量乘算法只涉及到点加运算、折半运算、三倍点和直接计算3^kP,底层域运算复杂性得到降低,在NIST推荐的椭圆曲线上比Dimitrov算法效率提高70%以上,比Wong方法提高10%以上。     

Edwards曲线上的快速标量乘法算法

在特征不等于2的域上,将椭圆曲线转换为与其双有理等价的Edwards曲线,可以有效提高ECC的软、硬件实现速度。首先简化了Edwards曲线上倍点的计算公式,然后根据连续倍点2mP(m=2,3,…)的坐标具有统一表示形式的特征,基于递归技术提出了一种计算2mP的连续倍点算法(CDA)。通过算法的复杂性分析与实例计算表明：CDA可使Edwards曲线上标量运算的速度提高10%以上。     

椭圆曲线上点的数乘的一种固定窗口算法

椭圆曲线密码体制是公钥密码体制研究的热点。计算椭圆曲线上点的数乘是椭圆曲线密码算法的基础。固定窗口算法利用大整数s的2^u进制表示和适量的预计算,减少椭圆曲线上点的加法运算,从而加快椭圆曲线上点的数乘的运算速度。介绍了利用混合坐标思想,减少有限域上求逆运算的次数,对固定窗口算法进行局部优化的方法。最后给出了固定窗口算法的复杂性分析,并讨论了窗口宽度的最佳选取。     

一种抵抗Montgomery错误攻击的检错算法

针对Montgomery椭圆曲线标量乘算法,通过构建检错点形成规则的检错体制,提出了在错误攻击下有效抵抗Montgomery算法的检错方法。实验分析结果表明此方法的运算复杂度低、时间花销小、漏检率可达到最小,检错有效性相比于传统的检错方法提高了57.1%,能够有效抵抗Montgomery错误攻击。     

改进的抗能量分析的椭圆曲线标量乘算法

能量分析是密码攻击中常用且有效的手段,为提高智能卡的抗攻击性能,针对常见的五种能量分析方法,进行全面扼要的分析,提出兼顾效率和安全性的改进标量乘算法。引入随机数以及采用多基数系统表示标量,将单标量乘法改写为双标量乘,结合滑动窗口算法提高效率。当固定窗口长度时,选取标量的三个不同二进制位长,与已有的具有全面抗攻击性标量乘算法相比,效率在二元域及素数域上均得到大幅提高。     

一种ECC点乘算法的改进方案

文章针对椭圆曲线上点乘运算的m=2^r进制等方法，利用椭圆曲线上有理点群中点P的逆元计算的特点，提出了一种改进方法。当i≤2^k-1时直接计算iP，当i〉2^k-1时计算iP=2^kP-（2^k-i）P，此方法比原算法中预计算阶段的计算量和存储空间均明显减少。     

一种抗侧信道攻击椭圆曲线标量乘算法的设计与实现

有限域 上点乘运算是影响椭圆曲线密码实现效率的关键运算之一。为提高椭圆曲线密码算法计算的安全性和效率性,从分析固定基点梳形算法（Fixed-base Comb算法）的特点出发,在现有的边信道攻击和标量乘算法的基础上,提出了一种新的标量乘算法——DF-Comb（Distance Fixed-base Comb）算法。新的算法对私钥（ ）重新设计编码、分组计算,在预计算阶段和赋值阶段进行改进,能够极大地提高算法计算阶段的效率;此外,考虑到算法的抗侧信道攻击能力,通过引入乘数分解技术来隐藏算法中相关侧信道信息,引入一种同时多标量乘算法用来提高了抗侧道攻击力,从而增强算法的安全性。仿真实验结果显示,改进的DF-Comb算法算法可以在提高计算效率的同时降计算的存储量。经算法实验比较分析研究,表明该算法能较好地抵抗多种侧信道攻击。     

一种新的余数系统下快速计算素域椭圆曲线点乘的方法

椭圆曲线密码运算主要是椭圆曲线点乘,后者由一系列的模乘构成。利用余数系统下的蒙哥马利模乘算法,素域中对阶取模余的模乘可以转化为对余数系统基底取模余。提出一种新的余数系统下的方法以加速计算椭圆曲线点乘。（1）与传统上取两个几乎对称的余数系统不同,该方法取了两个非对称的余数系统。其中,余数系统Γ包括两个模数{2L, 2 L-1}; 余数系统Ω包括八个模数,它们都具有如2L－2Ki+1的形式。这种选择使其模算术变得简单。（2）在上述非对称的余数系统中,大部分原来需要对椭圆曲线域特征值取模的模乘运算可以在余数系统中直接用乘法代替。此外,计算椭圆曲线点乘时用到了仅计算x坐标的蒙哥马利梯子。在每次并行的倍点和点加结束时,需要四次余数系统下的蒙哥马利模乘,以压缩中间结果的值域。因此,计算一个N位的椭圆曲线点乘,需要的时间约为55.5N·I, 其中,I是一个L/2位的乘法、一次保留进位加法、一个L/2位的加法的总延时。