关于亚正定矩阵

证明了关于亚正定矩阵的两个结论：（1）n阶实正规矩阵A是亚定矩阵的充分必要条件是A的所有特征值的实部均大零。（2）设A划亚正定矩阵，AB为实方阵，且（AB）′＝A′B，则AB是亚正定矩阵的充分必要条件是B的特征值全大于零。     

一类矩阵迹的不等式

证明了满足条件R[A,B]≤1(其中R[A,B]=AB-BA)的矩阵迹的等式tr (AB)n=tr(AnBn)和满足条件R[A,B]≤1且具有实特征值的矩阵迹的Bellman不等式tr(AB)≤√trA2·trB2和tr(AB)≤tr(A B/2)2≤trA2 trB2/2.     

正定复矩阵行列式的两个不等式

给出正定复矩阵的两个不等式 :设A是n阶正定复矩阵 ,B是n阶正定Hermite矩阵 ,则A B s≥A s B s;设A、B是n阶正定复矩阵 ,且它们的特征值都是实数 ,又r([A ,B])≤ 1,而sn≥ 1,则A B s≥A s B s。将Minkowski不等式推广到正定复矩阵上去。     

正定复矩阵行列式的两个不等式

给出正定复矩阵的两个不等式设A是n阶正定复矩阵,B是n阶正定Hermite矩阵,则‖ A+B‖s≥‖A‖s+|B|s;设A、B是n阶正定复矩阵,且它们的特征值都是实数,又r([A,B])≤1,而sn≥1,则‖ A+ B‖s≥‖A‖s+|B|s.将Minkowski不等式推广到正定复矩阵上去.     

多元线性模型中最小二乘估计的相对效率

考虑一般的多元线性模型Y_(n×k)=X_(n×p)_pB_(p×k)+e_(n×k),E(e)=0,COV(e)=V∑,其中V为已知参数矩阵,∑为已知协方差矩阵。当rank(X)0推广至∑≥0,从而包含了Haberman的结果,使之所得结果更具有一般性。     

Fuzzy矩阵亚可实现的性质和条件

张三华等提出定义 :设B∈Ln×n是Fuzzy次对称方阵。如果存在A∈Ln×m使B =A AST,则称B是亚可实现的 ,而把A叫做B的亚可实现矩阵。还提出定义 :设B∈Ln×n是亚可实现的Fuzzy次对称方阵 ,记ω(B) =min{m|存在A∈Ln×m使A AST=B} ,称ω(B)为B的亚容度。本文讨论了Fuzzy矩阵亚可实现的性质 ,给出定义 :在n阶Fuzzy次对称方阵B =(bij)中 ,如果B包含两个bij,则称bij为B的双元素型元素 ;如果B仅包含一个bij,则称bij为B的单元素型元素。并证明定理 :n阶Fuzzy次对称方阵中不同元素的个数为n(n +1 ) /2个。借助此定理 ,给出Fuzzy矩阵亚可实现条件的简捷证明。     

行随机矩阵中λ-极大矩阵的注记

令Λn的所有元素之和为n的非负行随机方阵集合，λ是Λn上的实函数且λ（X）=∏j=1^n∑i=1^nxij-perX,X=[xij]∈Λn，一个矩阵A∈Λn上的λ-极大矩阵仅当对所有的X∈Λn，λ（A）≥λ（X），本文证明了A为Λn上的正λ-极大矩阵时，必有λ（A）=1-n!/n^n及A=Jn。     

关于矩阵方程X+A*XqA=I(q＞0)的Hermite 正定解的一些性质

讨论了矩阵方程X+A*XqA=I(q＞0)的Hermite正定解的存在性,其中I是一个n×n阶单位矩阵,A是一个n×n阶复矩阵,如果矩阵A为非奇异矩阵,则可推导出方程存在正定解的充要条件,而如果矩阵A为奇异矩阵时,则可得到方程的正定解的最大特征值,且进一步在A为酉矩阵时,得到方程的唯一正定解的表达式,并推导出方程不存在任意的两个可比解.     

广义P_0-矩阵及P-矩阵的几个性质

给出了广义线性互补问题中常用到的广义P0矩阵(P矩阵)的几个性质。这些性质类似于通常的半正定矩阵及正定矩阵的性质。矩阵A∈Rn×n为一个半正定(正定)矩阵时,其对角元素是非负(正)的;具有正对角元素的对角矩阵与一个半正定矩阵(正定)的乘积仍为半正定(正定)矩阵;A∈Rn×n为一个P0(P)矩阵的充分必要条件是对任X∈Rn,X≠0,总存在X的某个分量Xi≠0,有Xi(AX)i≥0(>0);若A∈Rn×n是一个半正定矩阵,E为n阶单位矩,则存在某个t>0,使A+tE为一个正定矩阵;而两个半正定(正定)矩阵之和仍为半正定(正定)矩阵。对于类(m1,…,mn)的竖块矩阵N∈Rm0×n,先给出了N的代表子阵的定义,然后得到了广义P0(P)矩阵与它们类似的几个性质。这些性质为更好地解决广义线性互补问题奠定了一定的基础。     

特殊矩阵的几种性质

首先给出两个矩阵A,B的Hadamard乘积的定义,然后给出M-矩阵在Hadamard积下的几个运算性质,运用矩阵Hadamard乘积及特殊矩阵理论,将M-矩阵在Hadamard积下的若干性质,推广到其他类型的特殊矩阵上。获得了M-矩阵,L-矩阵,H-矩阵和Hermitie-矩阵的几种特征值(q(A),l(A),λ(A))的不等式,以及谱半径ρ(A)、矩阵迹tr(A)满足的几个不等式性质。     

体上一类具有幂等子块的分块矩阵的群逆

设K是一个体, Km×n表示m×n上所有K矩阵的集合.对矩阵A∈K 若存在矩阵X∈Kn×n使AXA=A,XAX=X,AX=XA,则称X为A的群逆.研究分块矩阵广义逆的表达式是矩阵广义逆理论中研究的重要问题.分块矩阵的群逆表达式在奇异微分和差分方程、马尔可夫链、迭代方法和密码学等领域有广泛应用.这里给出了体上分块矩阵[ABB0](A,B∈Kn×n,B2=B,((I-B)A)#存在)的群逆的存在性及表示形式.     

矩阵线性组合幂等性及立方幂等性的一些结论

研究幂等矩阵和立方幂等矩阵的线性组合在矩阵理论和统计学中具有重要的意义.设A、B是2个n×n的复矩阵,令P=_(c1)A+_(c2)B,其中c_1、c_2为非零复数.该文在AB=BA的条件下分别给出:当A分别为幂等矩阵和立方幂等矩阵,B为任意矩阵时,线性组合P分别为幂等的和立方幂等的充分必要条件.并且利用以上结果直接得出下面的结论:当A为幂等矩阵,B为与A可交换的幂等矩阵或立方幂等矩阵时,P是幂等矩阵的充分必要条件;当A和B为可交换的立方幂等矩阵时,P是立方幂等矩阵的充分必要条件.     

定数截尾指数分布参数的最短区间估计

设随机变量Ｘ服从指数分布ｆ（ｘ,θ）＝１θｅ－ｘθｘ≥００ｘ＜０｛且Ｘ（１）≤Ｘ（２）≤…≤Ｘ（ｒ）为替换定数截尾子样,ｎ为投试样品个数（ｒ≤ｎ）。研究了具有一致最小平均长度的区间估计。给出了指数分布平均寿命参数θ的具有一致最小平均长度的区间估计为２ｒ＾θｒ,ｎＸ２Ｐ１（２ｒ）≤θ≤２ｒ＾θｒ,ｎＸ２Ｐ２（２ｒ）。相应地,指数分布平均失效率参数λ＝１θ的具有一致最小平均长度的区间估计为：Ｘ２１－α（１－１ｔ０）（２ｒ）２ｒ＾θｒ,ｎ≤λ＝１θ≤Ｘ２αｔ０（２ｒ）２ｒ＾θｒ,ｎ,同时给出了具有一致最小平均长度区间估计的计算方法和数值用表。     

两个极限命题的证明

用归纳法证明了两个极限命题。（1）设m〉1,pi（x）（i=1,2,…,m）是[1,＋∞）上的连续正函数,在满足一定条件下成立limx→＋∞[∫1^xt^m-1p1（t）p2（t）…pm（t）dt]/x^mp1（x）p2（x）…pm（x）=a1a2…am/a2a3…am＋a1a3…am＋…＋a1a2…am-1（2）设pjn,an。（j=1,2,…,m;n=1,2,…;m〉1）均为正数,在满足一定条件下成立limn→∞（∑k=1^nak^m-1p1kp2k…pmk）/an^mp1np2n…pmn=a1a2…am/a2a3…am＋a1a3…am＋…＋a1a2a…am-1     

平稳正态过程在多个区间上的最大值与最小值

设平稳正态过程{ζ(t),t≥0 }是均方可微,且E（ζ（t)=0,D(ζ(t))=1,协方差函数r(t)=E(ζ(τ）ζ（τ t)。文献（1）在弱相依条件r(t)logt→0及r(t)=1-(λ2/2)t^2 o(t^2)下,得到了{ ζ(t),t ≥1}在区间[0,T]上最大值与最小值是渐近独立的。在相同条件下,本文则进一步研究多个区间的情形,得到了平稳正态过程{ζ(t),t≥1},在有限个不相交区间上,最大值与最小值也具有渐近独立性,推广了文献（1）的结论。     

Dirac算子的迹恒等式与微扰展式的一个关系

经典Dirac算子在微扰因子μ的扰动下,如果特征值能展为微扰参数的幂级数λn(μ)=λn(0)+μλn1+μ2λn2+…,利用Green函数的微扰展开式和一个积分恒等式,可得到迹恒等式的正则部分就是此展式的前3项,即∑∞(λn(μ)-λn(0)-μλn1-μ2λn2)=0,并且对特征值的正整幂λnσ也有类似现象.     

一类有理差分方程的全局渐近稳定性

研究差分方程xn＋1=fgh＋f＋g＋h＋a/fg＋gh＋hf＋1＋a（n=0,1,…）的全局渐近稳定性,其中a∈（1,＋∞）,f=f（x-r1,…,x-rk）∈C（（0,＋∞）^k,（0,＋∞））,g=g（xn-m1,…,xn-ml）∈C（（0,＋∞）^l,（0,＋∞））,h=h（xn-s1,…,xn-sσ）∈C（（0,＋∞）^σ,（0,＋∞））,k,lσ∈{1,2,…},0≤r1〈…〈rk,0≤m1〈…〈ml,0≤s1〈…〈sσ,并且初值为正实数．给出了该方程关于唯一正平衡点=↑x=1的全局稳定的充分条件,推广了参考文献[5]-[7]中的一些结果．     

分形空间中Cauchy 列的研究

对于完备度量空间（ Ｘ,ｄ） ,给出了相应的分形空间（ Ｈ（ Ｘ） ,ｈ） 中Ｃａｕｃｈｙ 列｛ Ａｎ｝ 的一个必要条件,即∪∞ｎ＝１ Ａｎ 为（ Ｘ,ｄ） 的完全有界集,证明了该条件亦是分形空间中单调增加列｛ Ａｎ｝ 成为Ｃａｕｃｈｙ 列的充分必要条件,并给出反例,说明了当｛ Ａｎ｝ 不具有单调增加性时,此结论中的充分性一般不真。将 Ｘ＝Ｒｎ 情形下分形空间（ Ｈ（ Ｒｎ） ,ｈ） 中Ｃａｕｃｈｙ 列｛ Ａｎ｝ 的极限表示∩∞ｎ＝ １ ∪∞ｍ ＝ ｎＡｍ ,向 Ｘ 为一般完备度量空间所对应的情形作了推广,进而得到了带凝聚的双曲迭代函数系｛ Ｘ;ｗ０ ,ｗ １ ,…,ｗ Ｎ｝ 的吸引子通过其凝聚集Ｃ的表示：∪∞ｎ＝１ Ｗｏｎ（ Ｃ） ,其中Ｘ 为一般完备度量空间,映射 Ｗ：Ｈ（ Ｘ） →Ｈ（ Ｘ） 定义为 Ｗ（ Ｂ） ＝ ∪Ｎｉ＝１ ｗｉ（Ｂ） ,Ｂ∈Ｈ（ Ｘ） 。而记号 Ｗｏｎ 表示Ｗ 的ｎ 次复合,即 Ｗｏ０（ Ｃ） ＝ΔＣ, Ｗｏｎ（ Ｃ） ＝Δ Ｗ（ Ｗｏ（ ｎ － １）（ Ｃ）） ,ｎ ＝ １ ,２ ,…。