用割角多边形产生Bernstein-Bézier曲线的更小包围域

基于Bézier曲线的控制多边形，介绍了割角多边形的概念.割角多边形的顶点可以由控制多边形的顶点快速递推得到，其几何意义是对控制多边形进行一系列的中点割角过程.进而提出了利用割角多边形来逼近Bernstein Bézier多项式曲线的新方法.当Bernstein Bézier多项式曲线的次数为4～8时，分别导出了利用割角多边形逼近多项式曲线的精确界，此界值比利用控制多边形和拟控制多边形逼近Bernstein Bézier多项式曲线所得的界值大为减小，极大地缩小了曲线的包围域，显著提高了逼近精度，节省了计算时间.的子模块.     

球域Bézier曲面的精确边界及其多项式逼近

为全面控制产品表面与理论曲面之间的偏差,引入球域Bézier曲面的定义,作为圆域Bézier曲线在三维空间的推广形式.根据经典微分几何中双参数曲面族的包络原理,运用球面参数坐标和Cramer法则,给出了球域Bézier曲面边界的精确数学显式表达式.依据函数逼近论中Legendre多项式的正交性,得到了采用多项式形式表示的球域Bézier曲面的精确边界的最佳平方逼近.进一步利用Legendre基与Bernstein基的转换公式,采用计算机辅助设计（CAD）系统中常用的Bézier形式表示球域Bézier曲面的近似边界.该算法表示简单,易于实现.通过具体实例对逼近效果进行演示与分析,结果表明该算法的逼近误差小,效果好.     

以已知曲线为渐进线的可展曲面束的设计

研究插值一条任意参数曲线并以其为渐近线的可展以及有理可展曲面束的设计问题. 基于插值一条任意参数曲线并以其为渐近线的一般曲面束的表达式, 给出该曲面束为可展情形的表达式.讨论所设计的可展曲面束的类型,推导插值Bézier曲线并以其为渐近线的有理Bézier可展曲面束表达式. 开展以圆柱螺线、圆锥螺线和Bézier曲线为渐近线的一般可展曲面以及有理Bézier可展曲面的编程实例, 验证了该算法的准确性和有效性．     

球域Bézier曲线的边界

针对几何造型和产品测量中的有效误差分析和误差控制,提出了球域Bézier曲线.借助于微分几何中空间曲面族的包络算法和变量替换方法,求得球域Bézier曲线的精确边界表示;进一步利用函数逼近论中Legendre多项式的最佳一致平方逼近方法,把球域Bézier曲线的边界曲面近似地表示为一张Bézier曲面或分片Bézier曲面的组合.利用球面族的隐式方程,得到球域Bézier曲线的边界曲面的隐式方程,进而把边界曲面参数化为显式方程.理论推导和实例运算结果表明,球域Bézier曲线是一种表达方式简洁、存储空间节省、运算速度较快的误差分析和误差控制工具.     

两相邻CE-Bézier曲线的近似合并

为了进一步丰富和发展CE Bézier曲线的相关理论,针对该曲线的近似合并问题,提出了一种将两相邻CE Bézier曲线合并成1条CE Bézier曲线的方法. 该方法通过将曲线拟合方法与广义逆矩阵理论相结合,直接得到合并后CE Bézier曲线控制顶点的显示表达式,同时给出了具体的合并误差. 实验结果表明,新方法不仅可获得较好的合并效果,而且具有易于实现、误差计算简单的特点,可广泛应用于计算机辅助设计中对曲线的近似合并.     

权因子优化的有理Bézier曲线显式约束降多阶

为了保持有理Bézier曲线权因子的正性,提出一种有理Bézier曲线带端点约束条件的一次降多阶算法.通过给出有理Bézier曲线的降阶误差估计,揭示了原曲线权因子和降阶误差之间的关系;利用Mbius变换对权因子优化,通过缩小原曲线权因子之间的比值来缩小降阶误差;利用已有的Bézier曲线降阶算法和有理Bézier曲线的齐次形式,分别求得降阶曲线的控制顶点和权因子.通过数值实例将该算法与已有算法比较,结果表明:该算法具有保端点高阶插值、一次降多阶、显式表示、保权因子正性、逼近误差小等优点.     

关于Bezier—Bernstein曲线及其矩阵形式

本文介绍了用Bernstein多项式来逼近函数f(x),它们具有同样的单调性及凹凸性,所以十分便于几何外形设计.Bézier利用Bernstein多项式良好的几何逼近性质,定义了Bézier曲线的两种形式:即用特征多边形的顶点表示的和用特征多边形的边表示的.本文推出用矩阵形式表示的Bézir曲线,并推导几个低次的Bézier曲线.     

矩阵连分式逼近的若干性质

在“矩阵连分式逼近”前期工作的基础上,进一步探讨了矩阵连分式逼近的3个重要性质：有理性、特征性和唯一性.有理性表明矩阵连分式的逼近式可以表达为一矩阵有理多项式;特征性则对该矩阵有理多项式的次数（型）做了刻画;唯一性表明矩阵多项式的矩阵连分式逼近在等价的意义下是唯一的.     

端点约束加权正交基与Bernstein基的转换及应用

为了在计算机辅助几何设计(CAGD)中,有效地求解在Jacobi加权L2范数下Bézier曲线约束最佳降多阶逼近问题,推导具有端点约束特征的加权正交基与Bernstein基之间的转换矩阵.利用Bernstein基构造端点约束加权正交基,给出约束加权正交基与Bernstein基的相互转换矩阵,利用该矩阵给出具体的端点约束最佳降多阶矩阵和该降阶逼近的可预报的误差公式,提出在L2、L1、L∞范数下适合于最佳降阶逼近的相应Jacobi基的权函数的选取方案.通过具体实例对逼近算法进行演示与分析.结果表明,该算法表示简单,易于实现.     

拟三次Bézier曲线

给出了一组含有2个参数的多项式基函数,它是三次Bernstein 基函数的扩展;基于该组基定义了带形状参数的多项式曲线,称之为拟三次Bézier(Q-Bézier)曲线.Q-Bézier曲线不仅具有三次Bézier曲线的特征,而且在控制多边形保持不变的条件下,具有形状可调性和对控制多边形更好的逼近性.形状参数具有明显的几何意义:控制曲线端点的性质.最后,给出了一些图形实例.     

平面代数曲线的PH-C曲线逼近

代数曲线的近似参数化问题是计算机辅助几何设计与图形学领域的一个重要问题.由于PH-C曲线综合了Bézier曲线,PH曲线以及C曲线的许多优良性质,从而用PH-C曲线逼近代数曲线就显得十分必要.首先根据曲线的凹凸区间和单调区间对代数曲线进行合理分割,然后根据曲线段两端点的切线确定曲线段的三角形凸包,进一步根据此三角形凸包确定3次PH-C曲线的控制多边形,这样得到的PH-C逼近曲线保持了原代数曲线的一些重要几何性质,如单调性、凹凸性和G1连续性,并且通过算法的递归调用,可以将逼近误差控制在给定的范围之内.数值实验表明,该算法提供了平面代数曲线近似参数化的一条有效途径.     

对数螺线段的多项式逼近与C-Bézier逼近

为了适合当前计算机辅助设计(CAD)系统中的曲线形式和工业设计中的美学需要, 提出了对数螺线段的两种逼近方法：（1）利用s-Power级数, 推导出s-Power系数的计算公式, 给出了对数螺线段的快速多项式逼近算法、对数螺线的等距曲线的具体表达式及其s-Power逼近算法;（2）首先推导出两端点C-Bézier形式的G2Hermite插值公式, 然后提出了对数螺线段的C-Bézie表示的G2Hermite插值逼近算法. 实例运算结果表明, 两种逼近方法是正确与有效的, 完全适合CAD系统使用．     

带形状参数的四次Ball曲线

为了明确形状参数对三次Ball曲线形状的影响,给出一个含有参数λ、u的四次多项式基函数,分析了此基函数的性质。同时定义基于该组基函数带有形状参数的多项式曲线,讨论了两段曲线连续拼接的条件。在保持控制多边形不变的情况下,可以通过改变形状参数来调整曲线形状,使得曲线具有更强的表达能力。曲线不仅具有三次Ball曲线的特性,而且具有形状的可调性和更好的逼近性。计算实例表明:该方法是有效的,可以广泛地应用于计算机辅助设计中对曲线形状调整。     

基于船体放样的三角Bézier曲线的逼近

在对形状参数为λ,μ的三角Bézier曲线的基函数及曲线端点特性分析的基础上,选择三角Bézier曲线中的控制参数和控制顶点,构造一条符合船体放样要求的三角Bézier曲线来逼近船型曲线(平面三次分段曲线),结果表明三角Bézier曲线是局部存在的,并且增强了三角Bézier曲线的控制及逼近曲线形状的能力,此法直观、简明,易于操作,并可进一步推广到其它曲线或曲面的逼近。     

带形状参数Bézier曲线的G~1连续降阶方法的研究

基于L2范数下的n次带形状参数Bézier曲线,给出了一种在G1连续条件下的一次降多阶逼近方法.求出待降阶曲线和降阶逼近曲线在L2范数下的误差函数,利用共轭梯度迭代法使其最小化,得到新的降阶逼近曲线的控制顶点.并且利用数值实例,与其它降阶方法相比较,说明本文方法更有效.     

基于非均匀B样条小波分解的NURBS曲线光顺

利用非均匀B样条小波的正交性、局部性和振动性，研究基于非均匀B样条小波分解的有理曲线的光顺算法.第一步，通过不同的节点选取方法，实现非均匀有理B样本(non-uniform rational Bspline, NURBS)曲线的小波分解；第二步,通过曲线逼近实现NURBS曲线的整体光顺和局部光顺.通过施加约束解决曲线光顺前后端点位置和切矢不变的问题.该算法在反求工程CAD软件RE-SOFT中的实际应用效果表明，基于非均匀B样条小波分解的NURBS曲线光顺算法能够有效地去除曲线上的坏点，改善曲线的品质.