广义变系数(3+1)-维非线性薛定谔方程的有限对称群解

基于推广的对称群方法和符号计算,研究了变系数非线性薛定谔方程的有限对称群解。 我们构造了标准的(3+1)-维非线性薛定谔方程和带色散项、非线性项和增益或损耗项的(3+1)-维非线性薛定谔方程的对称变换。 利用该变换,我们从标准的(3+1)-维非线性薛定谔方程中得到了(3+1)-维变系数非线性薛定谔方程丰富的精确解。     

(2+1)维AKNS方程的对称约化和新的非行波精确解

利用Lie群方法将(2+1)维AKNS方程约化成(1+1)维非线性偏微分方程。对约化方程应用扩展同宿测试法获得了AKNS方程的一些新的非行波精确解,这些结果丰富了该方程的可积性内涵及(2+1)维非线性波传播的动力学行为。     

Broer–Kaup–Kupershmidt方程的新精确解

CK方法是求解非线性发展方程的一种有效的直接方法.利用推广的CK方法,求得(2+1)维Broer–Kaup–Kupershmidt方程的Backlund公式,从而获得方程的大量新的精确解,推广了文献[13-14]中的结果.     

(2+1)维一般Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff系统的无穷序列类孤子新解

为了构造(2+1)维一般Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff系统的无穷序列类孤子新解,首先引入了可转化为Riccati方程的新的辅助方程及其新解,其次给出了Riccati方程的新解、Bäcklund变换和解的非线性叠加公式。在此基础上,借助符号计算系统Mathematica, 构造了(2+1)维一般Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff系统的无穷序列类孤子新解。这些解由指数函数,三角函数和有理函数复合组成。     

双曲正割光束在强非局域对数饱和型非线性介质中的传输特性

从非局域非线性薛定谔方程出发,依据对数饱和型非线性介质中非线性折射率的变化规律,求出了1+1维双曲正割光束在强非局域对数饱和型非线性介质所对应的拉格朗日密度函数的近似表达式。在此基础上,利用变分法得到了光束各参量的演化方程。从光束各参量的演化方程出发,进一步得到了光束各参量的演化规律,并由此得到了一个临界束宽。当光束初始束宽等于临界束宽时,并且从束腰处入射时可以得到稳定的1+1维双曲正割型空间光孤子;在一般情形下,光束初始束宽不等于临界束宽时,得到了束宽振荡的1+1维双曲正割型空间呼吸子。     

(3+1)-维非线性发展方程新的精确解和守恒律

利用改进的CK直接方法,求出了(3+1)-维非线性发展方程的一般对称群、李对称及其对应的向量场,建立了方程新旧解之间的关系,同时由旧解得到了方程的许多新的精确解.由于对称和守恒律之间有密切的关系,同时找到了此方程的无穷多守恒律.     

首次积分与(n+1)维多重sine-Gordon方程的无穷序列新解

通过几种函数变换把(n+1)维多重sine-Gordon方程的求解转化为常微分方程组的求解.利用常微分方程组的首次积分与可求解几种常微分方程的Bcklund变换和解的非线性叠加公式,构造了(n+1)维多重sine-Gordon方程的无穷序列类孤子新解.     

(2+1)维Potential Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的对称、约化和精确解

利用经典李群法得到了(2+1)维Potential Boiti-Leon-Manna-Pempinelli (简称PBLMP )方程的对称、约化,通过解约化方程得到了该方程的一些精确解,包括有理函数解,双曲函数解,三角函数解, Jacobi椭圆函数解.     

2+1维破裂孤子方程的新孤子解

李群方法是研究非线性微分方程的有力工具,应用经典或非经典李对称方法可得到大量非线性微分方程(组)的显式解.对于2 1维的破裂孤子方程,利用CK方法得到了方程求解的Bachlund变换公式,从而获得方程的一些新精确解,推广了文献[4～8]中的结果.     

(2+1)维Gardner方程的对称、约化及其群不变解

利用经典李群方法,得到了一类(2+1)维Gardner方程的显式解,推广了唐和陈勇的某些结果,并且得到了该方程的对称、约化及其群不变解.     

基于对称约化的偏微分方程相似解研究

由于非线性系统的复杂性,对于其求解问题的研究目前还没有通用的方法,为了丰富非线性系统的求解方法,在此通过偏微分方程的决定方程确定点对称无穷小生成元,结合对称约化中的非经典Lie群法得到热方程新的相似解,并基于符号计算系统Maple给出相应的符号计算方法和实现步骤。结果表明,该算法能够有效求解PDEs的相似解,并且不需要显示地求解对应于不变曲面条件的特征方程,同时也适用于其他的发展方程。     

利用(G'/G) 展开法求解广义变系数Burgurs方程

近年来，变系数非线性发展方程受到越来越多的被关注。2008年王明亮等提出了一种新的方法，即(G'/G)展开法。将(G'/G)展开法首次尝试应用到变系数非线性发展方程中，并以广义变系数Burgers方程为例，最终成功得到了在系数满足一定条件时新的精确解；然后又尝试将该展开法进行新的扩展，再一次对广义变系数Burgers方程求解，又成功得到了一些新解。实践证明，该展开法不仅易于求解常系数非线性发展方程，而且对变系数非线性发展方程仍很高效、简洁、实用，并且具有广泛的应用前景。     

(2+1)维色散长波方程组新的无穷序列精确解

为了获得非线性发展方程的无穷序列新精确解, 给出Riccati方程的一些新解和B\"{a}cklund变换以及解的非线性叠加公式, 并Riccati方程与函数变换相结合,借助符号计算系统Mathematica,构造了 (2+1)维维色散长波方程组新的无穷序列精确解. 这些解包括无穷序列类孤子解、无穷序列复合型解等. 这种方法构造非线性发展方程无穷序列精确解领域具有普遍意义.     

立方非线性薛定谔方程的新多级包络周期解

基于Lame方程和新的Lame函数,应用摄动方法和Jacobi椭圆函数展开法求解 立方非线性薛定谔方程,获得多种新的多级准确解。这些解对应着不同 形式的包络周期解。这些解在极限条件下可以退化为各种形式的包络孤波解。这表明利用Jacobi椭圆函数和Lamé方程,在符号计算的帮助下,可获得若干非线性发展方程的多级渐进周期解。     

构造非线性演化方程精确解的一个新方法

基于辅助方程提出一种求解非线性演化方程的一个新方法,该方法简单易行且具有一定的普适性,根据不同的参数可给出各种形式的精确解,从而有助于探索非线性方程的新解及其性质。并以mkdv方程为例,得到了其多组精确解,包括Jacobi椭圆函数解及Weierstrass椭圆函数解等,除涵盖了以往结果,还给出一些新解。     

圆对称高斯光束在吸收克尔介质中的稳态自聚焦行为

由光束在吸收克尔介质中传输的非线性近轴波方程 ,推导出具有二次相位分布的圆对称高斯光束在线性吸收介质中的耦合传输方程以及光束束腰的演化方程。数值计算的方法证实了光束束腰变化的几种可能 ,分析了稳态自聚焦的阈值特性。在给定参数的情况下 ,得到了稳态自聚焦的阈值入射光强和阈值聚焦长度     

The evolution equation for low gain free-electron laser system

We demonstrate here that the equations of evolution of low gain free-electron laser systems have the form of a nested set of Bloch equations describing evolution of the nonlinear medium, together with one further Bloch equation which governs the evolution of the fields. In each case, the length of the Bloch vector is a conserved quantity, the physical nature of which is investigated.