带法向约束的圆平均非线性细分曲线设计

目的 对采样设备获取的测量数据进行拟合,可实现原模型的重建及功能恢复。但有些情况下,获取的数据点不仅包含位置信息,还包含法向量信息。针对这一问题,本文提出了基于圆平均的双参数4点binary非线性细分法与单参数3点ternary插值非线性细分法。方法 首先将线性细分法改写为点的重复binary线性平均,然后用圆平均代替相应的线性平均,最后用加权测地线平均计算的法向量作为新插入顶点的法向量。基于圆平均的双参数4点binary细分法的每一次细分过程可分为偏移步与张力步。基于圆平均的单参数3点ternary细分法的每一次细分过程可分为左插步、插值步与右插步。结果 对于本文方法的收敛性与C¹连续性条件给出了理论证明;数值实验表明,与相应的线性细分相比,本文方法生成的曲线更光滑且具有圆的再生力,可以较好地实现3个封闭曲线重建。结论 本文方法可以在带法向量的初始控制顶点较少的情况下,较好地实现带法向约束的离散点集的曲线重建问题。     

曲线插值的一种保凸细分方法

为了弥补以四点插值细分方法为代表的线性细分方法在形状控制方面的缺陷,提出一种基于几何的插值型保凸细分方法.细分过程每一步中,每条边所对应的新控制顶点由原控制顶点及其切向共同确定;每点处的切向由其邻近的点所确定,并且随细分过程逐步调整.理论分析表明,该方法的极限曲线是G1连续的保凸曲线.如果所有的初始点取自圆弧段,则极限曲线就是该圆弧段.数值实例表明,采用文中方法得到的曲线较为光顺.     

曲线插值的一种具有还圆性的细分方法

传统的线性四点插值细分方法不能表示圆等非多项式曲线,为了解决这种 问题,基于几何特性提出了一种带有一个参数的四点插值型曲线细分方法。细分过程中,过 相邻三插值点作圆,过相邻二插值点的圆弧有两个中点,将其加权平均得到新插值点,文中 给出了插值公式和算法描述。所给方法具有还圆性,可以实现保凸性。实例分析对比了本方 法与多种细分方法的差异,说明本方法是有效的,当参数取值较小时,曲线靠近控制多边形。     

基于法向量的非线性逼近型细分格式

提出一种二进制的几何非线性逼近型细分格式。在该格式中,新点不全是旧点的线性组合,其中一个新点是通过在法向量方向偏移所产生,且法向量在每次细分中能自适应计算。引入一些参数来控制细分过程,且参数对曲线形状的影响是局部的。实例证明,通过选择适当的参数值,产生的细分曲线具有保凸性和 连续性。     

非静态4点二重混合细分法

为了得到插值与逼近相统一的非静态细分法,根据非静态插值4点细分法和三次指数B-样条细分法之间的联系,构造了3类非静态4点二重混合细分法:基于非静态插值细分的非静态逼近细分法,基于非静态逼近细分的非静态插值细分法,非静态插值与逼近混合细分法.诸多已有的插值细分法和逼近细分法都是所提混合细分法的特例.最后给出了这3类混合细分法的几何解释,分析了其Ck连续性、指数多项式生成性和再生性.数值实例表明,利用文中的混合细分法,通过适当选取参数可以实现对极限曲线的形状控制.     

非静态混合细分法

提出了一种含参数b 的非静态Binary 混合细分法,当参数取0、1 时,分别对应已 有的非静态四点C1 插值细分法及C-B 样条细分法。用渐进等价定理证明了对任意 (0,1]区间的 参数其极限曲线为C2 连续的。从理论上证明了细分法对特殊函数的再生性,及其对圆和椭圆等 特殊曲线的再生性,并通过实验对比说明了对任意的[0,1]区间的参数,该细分法都能再生圆和 椭圆等特殊曲线,而与其渐进等价的静态细分法则不具备该性质。将该细分法推广为含局部控 制参数的广义混合细分法,从而可以达到局部调整极限曲线的目的。     

基于插值细分的逼近细分法

通过在Hassan的四点三重插值细分法中引入一个偏移变量,推导出了一种逼近细分法,从而使三重逼近细分和插值细分统一到一个细分格式.该方法利用细分格式的生成多项式,在理论上分析了提出的细分格式的一致收敛性和Ck连续性;通过对细分格式中参数u取不同的值,可对生成的极限曲线形状进行控制.数值实验结果表明,文中方法是合理有效的.     

双参数四点细分法及其性质

在经典4点插值细分法的基础上，提出一类既能造型光滑插值曲线，又能造型光滑逼近曲线的双参数4点细分法．采用生成多项式等方法对细分法的一致收敛性、C^k连续性及保凸性进行了分析，给出并证明了极限曲线存在、C^k连续及均匀控制顶点情形下保凸的充分条件．在给定初始数据的条件下，可通过对形状参数的适当选择来实现对极限曲线的形状调整和控制．     

基于顶点法向量约束的Catmull-Clark细分插值方法

提出一种基于顶点法向量约束实现插值的两步Catmull-Clark细分方法.第一步,通过改造型Catmull-Clark细分生成新网格.第二步,通过顶点法向量约束对新网格进行调整.两步细分分别运用渐进迭代方法和拉格朗日乘子法,使得极限曲面插值于初始控制顶点和法向量.实验结果证明了该方法可同时实现插值初始控制顶点和法向量,极限曲面具有较好的造型效果.     

基于非均匀Catmull-Clark细分方法的曲线插值

带有复杂型曲线插值约束的细分曲面的生成,是计算机图形学及几何造型技术等领域所关心的一个问题.鉴于此,提出了一种高效的可以插值三次NURBS曲线的细分曲面生成方法.只需在被插值曲线的控制多边形两侧构造具有对称性质的四边形,构成对称网格带;证明了对该对称网格带应用Sederberg等人提出的非均匀Catmull-Clark细分规则以后,它将收敛于这条被插值曲线.因此,含有这种对称网格带的多面体网格的细分极限曲面即为满足曲线插值约束的细分曲面.应用该方法,既可以插值单条NURBS曲线,也可以插值由多条NURBS曲线组成的曲线网格.因此,该方法广泛适用于产品外形和图形软件设计.     

曲线插值约束的LOOP细分曲面

提出基于Loop细分方法的曲线插值方法,不需要修改细分规则,只需以插值曲线的控制多边形为中心多边形,向其两侧构造对称三角网格带,该对称三角网格带将收敛于插值曲线。因此,包含有该三角网格带的多面体网格的极限曲面将经过插值曲线。若要插值多条相交曲线只需在交点处构造全对称三角网格。运用该方法可在三角网格生成的细分曲面中插值多达六条的相交曲线。     

一类多参数的曲线细分格式

构造了一类收敛的多参数差分格式,根据细分格式和差分格式的关系以及连续性条件可得到任意阶连续的多参数曲线细分格式.通过选取合适的参数可以得到一些经典的曲线细分格式,如Chaikin格式、三次样条细分格式和四点插值格式等;同时设计了一种C1连续的不对称三点插值格式,可以生成不对称的极限曲线.给出了同阶差分格式线性组合的性质,从而可设计出更多收敛的多参数曲线细分格式.     

三参数六点细分法

提出一类包含3个参数的6点细分法,它以双参数4点法作为一种特殊情况,可以构造光滑插值曲线和光滑逼近曲线,并且可以通过调整3个参数的取值使得曲线达到C4连续.讨论了参数对细分法的收敛性及连续性的影响,给出了细分法Ck连续性的充分条件及一些数值算例.     

基于双参数的几何细分法

提出一种基于两个参数的几何细分方法。首先,借助于标准型的二次有理Bézier 曲 线公式,以相邻的两个初始控制点及其切向量所在直线的交点作为该二次有理Bézier 曲线的控制 顶点;同时,选取分点参数值t  0.5,并以该曲线的权因子作为控制顶点的参数λ,计算新增控 制顶点。其次,定义每个顶点的临时切向量,以每点及其相邻两点确定该点的圆切向;引入切向 量的控制参数,从而确定该顶点新切向量的计算公式。然后,从理论上证明了该方法的保凸性 与收敛性。取定切向量参数=0,重新定义每步的权因子参数λ,其极限曲线是C1连续的分段二 次有理Bézier 曲线;令=1,在每一步骤中采用不同的权因子参数λ 求新增点,具有保圆性。最 后,通过一些实例说明了该方法的有效性。     

静态ternary逼近细分格式的连续性分析和构造

提出了一般的三点三重、四点三重逼近细分格式,利用稳定细分格式Ck连续的充要条件,分析了细分法各阶连续时参数的取值范围。利用提出的一般细分法,可以造型光滑逼近曲线;当某些细分参数取特殊值时,还可以用来造型插值曲线。为便于应用,还对Hassan的3点ternary逼近细分法进行了改进,使其带有一个全局张力参数,通过它更易控制曲线的形状。在全局张力参数的一定范围内可以生成C1,C2连续的极限曲线。     

混合细分曲线及其应用

构造了2个混合细分模式,一个是基于三次B样条细分的二分混合细分曲线族;另一个是基于一种三分三点逼近细分的三分混合细分曲线族.通过调整混合参数来控制曲线的收缩与膨胀幅度,利用生成函数技术和特征值方法对这2个带参数的细分模式的连续性进行了严格的理论分析.最后,通过选择合适的混合参数给出了一种曲线保长的动态细分方法.     

基于蝶形细分自适应算法的三维地形仿真

基于格网法提出了蝶形细分自适应算法进行三维地形模拟,以原网格顶点的法向量为约束条件,通过对初始三角形控制网格进行多阶曲线迭代插值的非静态细分,实现几何造型.插值点的计算依据网格的局部几何特征,根据三角形网格上顶点的平坦度进行有选择性的自适应细分,同时对细分过程中产生的曲面裂缝加以弥补.地形仿真实例显示新的自适应细分方法可以很好地继承原始网格的形状特征,在曲面的光滑度和真实性上更加完善,加快了图形处理的速度.     

一种线性与非线性相结合的图像缩小方法

提出了一种线性和非线性相结合的图像缩小方法.首先由近邻取样方法和邻域平均相结合的方法产生一个中间图像1,利用二元Newton-Thiele型向量连分式建立有理插值曲面;然后对插值曲面进行重新采样产生一个中间图像2;最后对这两幅中间图像进行加权求和,得到最终的图像.实验表明,该方法比常规方法产生的缩小图像效果好.     

细分参数对细分曲线形状的控制作用分析

多数有关细分法的文献侧重于研究细分法的构造、收敛性光滑性分析及其在光滑曲线曲面造型中的应用,少有文献致力于细分参数对细分曲线形状影响的理论分析。首先引入仿射坐标的观点,从几何直观的角度对三点ternary插值细分法中细分参数的几何意义进行研究。接着通过对细分法的C0和C1参数域及新顶点域的等价描述,从理论化的角度对细分参数对细分曲线形状的局部和整体控制作用进行分析,描述它们对细分曲线行为的影响。在给定初始数据的条件下,可通过对形状参数的适当选择来有的放矢地实现对三点ternary插值细分曲线曲面的形状调整和控制。该结果可用于工业领域中产品的外形设计及形状控制。     

一类由Laurent多项式诱导的带参数二重细分

为了提高细分曲线的设计灵活性,根据Laurent多项式与细分生成多项式的关系,构造一个可以生成一类多参数细分格式的Laurent多项式.该多项式生成的格式包含许多现有的对称细分,可以用来构造非对称细分;针对一种三参数五点细分格式,分析其产生的极限曲线的光滑性和连续性.通过数值实例分析特定情形下参数对极限曲线的影响,并说明非对称细分有时比对称细分逼近效果更好.