Un metodo per la risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico

Riassunto Si espone un metodo non iterativo per la risoluzione numerica del primo problema al contorno per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico e si riportano i risultati di alcune elaborazioni numeriche.

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A non-iterative method is given to solve numerically the first value boundary problem for the elliptic equations. Some numerical examples are referred.

     

Un metodo iterativo per la risoluzione di sistemi di equazioni

An iterative method to solve systems of equations is given. The method may be either «total step” or «single step»; we have called it a «plurirelaxation» method because the iterative formulas have many parameters. Also a convergence criterion is given. In particular the case of linear systems has been considered. A numerical example is referred.     

Studio di un procedimento di integrazione numerica per equazioni differenziali lineari a derivate parziali di tipo parabolico

Sommario In questo lavoro si esaminano la stabilità e la convergenza di un procedimento di integrazione numerica per problemi parabolici lineari a coefficienti variabili. Il procedimento è di tipo seriale, cioè viene discretizzata solo la variabile temporale, risolvendo ad ogni passo una equazione differenziale ordinaria con valori agli estremi. Il procedimento è particolarmente adatto per calcolatori di tipo ibrido. Summary This paper takes under examination stability and convergence of a numerical method for the integration of linear parabolic problems with variable coefficients. The method is a serial procedure, i. e. only the time variable is discretized, and at every step it is necessary to solve an ordinary differential equation with boundary values. At the beginning the procedure was thought for hybrid computers.

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Lavoro svolto nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.     

Sulla convergenza di procedimenti iterativi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari inerenti al primo problema al contorno per equazioni di tipo ellittico

Sommario Si studiano le condizioni di convergenza di procedimenti iterativi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari che hanno origine dalla discretizzazione di problemi al contorno per equazioni alle derivate parziali lineari di tipo ellittico.

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In this paper there are examined some convergence criteria of iterative processes arising from the discretization of the boundary value problems for linear elliptic equations. A numerical example is also given.

     

Un metodo iterativo non stazionario per la risoluzione di equazioni algebriche

Sommario In questa nota, mediante una successione di metodi che generalizzano quello di Laguerre ([4]), costruiamo un metodo non stazionario per la risoluzione di equazioni algebriche. Applichiamo poi il metodo al calcolo degli autovalori di matrici in forma di Hessemberg. Si ottengono risultati rilevanti, in particolare per zeri complessi e per autovalori mal condizionati.

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In this paper, by means of a class of methods that generalise the Laguerre’s method, we describe a nonstationary iterative method to solve polynomial equations. We then apply this method to the matrix eigen-value problem. We have numerical appreciable results expecially for complex roots and ill-conditioned eigenvalues.

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Lavoro svolto nell’ambito delle attività del G.N.I.M.     

Un metodo alle direzioni alternate esplicito per la risoluzione numerica delle equazioni della diffusione

Sommario Si presenta un metodo esplicito alle direzioni alternate per la risoluzione numerica delle equazioni a multigruppi della diffusione neutronica, dipendenti dal tempo, in domini bidimensionali. Questo metodo ha le proprietà di avere un errore locale dell'ordineO (h ³) (doveh è il passo temporale) edi essere incondizionatamente stabile. L'efficacia di questo metodo è stata messa in evidenza attraverso alcune esperienze pratiche.

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An explicit alternating direction method is presented for the numerical solution of the time dependent multigroup neutron diffusion equations in bidimensional domains. This method has the properties to have a truncation error that behaves likeO (h ³) (whereh is the time step size) and to be unconditionally stable. The effectiveness of this method has been verified in many pratical problems.

     

Generalizzazione di un metodo alle differenze finite per una classe di problemi al contorno di tipo ellittico

In a previous paper the numerical solution of a particular boundary-value problem for the «weakly linear» equation $$\Delta \left[ {u(P)} \right] = f(P,u)$$ was obtained and the convergence of a suitable finite-difference scheme was proved. This paper is concerned with the more general equation $$L\left[ {u(P)} \right] = f(P,u)$$ where $$L \equiv - \left[ {a\frac{\partial }{{\partial x^2 }} + c\frac{\partial }{{\partial y^2 }} + d\frac{\partial }{{\partial x}} + e\frac{\partial }{{\partial y}}} \right]$$ ; the solution is obtained using the same finite-difference scheme as in the previous paper, and sufficient condition for its convergence are given for this new case     

Accelerazione della convergenza per metodi di risoluzione di equazioni differenziali ordinarie

In this paper a procedure for the acceleration of the convergence is given. It allows the doubling of the order of the multistep methods for the numerical solution of the ordinary differential equation $$y' = f(x,y),y_0 = y(x_0 );{}_{x_0 }^x \in [a,b].$$ This acceleration is applicable to any method of orderp≥1 whatsoever, and it requires the evaluation of the globalp-th derivate of the functionf(x, y). Special attention is confined to the 2⁰ and 3⁰ order methods, and a numerical exemple is provided.     

Un procedimento iterativo per la risoluzione dei sistemi di equazioni

An iterative process to solve systems of equations is examined. This process generalizes the «plurirelaxation» method examined in a previous paper. Also a convergence criterium is given. Some particular cases are considered. The results of some calculations are reported.     

Metodi Multistep con accelerazione per la risoluzione numerica dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie

In this paper a procedure for the acceleration of the convergence is given. It allows the doubling of the order of the multistep methods for the numerical solution of the systems of ordinary differential equations: $$Y' = F(x,Y); Y_0 = Y(x_0 ) \begin{array}{*{20}c} x \\ {x_0 } \\ \end{array} \in [a,b]$$ whereY andF(x,Y) aret-vectors.     

Un metodo numerico per la risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie

Sommario Utilizzando formule di quadratura di Newton-Cotes di tipo estrapolatorio, si propone un metodo numerico per la risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie. Il metodo è antopartente e se ne dimostra la stabilità in un caso particolare. Si riportano esempi paragonando il metodo proposto con i metodi di Milne e di Runge-Kutta.

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By making use of extrapolation Newton-Cotes formulas a numerical method for integrating ordinary differential equation is presented. The method is self-starting and stability is demonstrated in a particular case. In order to compare this method and those of Milne and Runge-Kutta some example are presented.

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Lavoro eseguito con contributo del C.N.R. nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni.     

Un metodo per l'inversione numerica della trasformata di laplace

Riassunto Si presenta un metodo per il calcolo dell'antitrasformata di Laplace che utilizza la serie cardinale di Whittaker; si indica una classe di funzioni per la quale è possibile stimare l'errore. Si riportano esempi numerici.

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A numerical method to compute the inverse Laplace transforms by using Whittaker's cardinal series is presented. The error bound is estimated. Numerical results are given.

     

Sulla convergenza delle formule di quadratura del tipo Gauss-Lobatto per il calcolo di integrali singolari V.P.

Sommario L’autore considera formule di quadratura del tipo Gauss-Lobatto per il calcolo di integrali a valor principale secondo Cauchy rispetto ad un peso generalizzato regolare di Jacobi. Vengono dimostrati teoremi di convergenza e stabilite alcune stime dell’errore. Si generalizzano e migliorano, inoltre, precedenti risultati.

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The author considers Gauss-Lobatto rules for evaluating of Cauchy singular integrals with respect to a generalized smooth Jacobi weight. Convergence theorems are given, and some estimates of the remainder are established. The previous results are generalized and improved.

     

Tecniche di riordinamento delle equazioni per la risoluzione dei sistemi lineari sparsi

Some reordering schemes are considered for the solution of large sparse sets of linear equations, leading to a considerable gain in c.p.u. time and memory requirement. From the obtained results the techniques ignoring the possible band structure of the matrix are proved to be the best.     

Soluzione delle equazioni della cinetica di un reattore nucleare per mezzo di approssimazioni successive di tipo monotono

The solution of the one-energy group space-independent reactor kinetics equations is obtained in the form of the limit of two monotone bounded sequences of functions {N _j ^?} and {N _j ⁺}, non decreasing and non increasing respectively, defined as $$\begin{gathered} N_{j + 1}^ - = T_1 N_j^ + + T_2 N_j^ - + f \hfill \\ N_{j + 1}^ + = T_1 N_j^ - + T_2 N_j^ + + f \hfill \\ \end{gathered} $$ whereT ₁ andT ₂ are monotone-type operators, precisely antitone and isotone. In this work a procedure for obtaining the two initial elements,N ₀ ^? andN ₀ ⁺, satisfying the required properties to assure the convergence of the two sequences {N _j ^?} and {N _j ⁺}, is described; moreover, it is proved that the two sequences converge uniformely to the same limit. In addition, some numerical results are presented.