Die zweidimensionale Stromverdrängung in einer wechselstromdurchflossenen,trapezförmigen Nut

Übersicht Es wird in dieser Arbeit die Stromverteilung in einem hinreichend langen, metallischen Stab von trapezförmigem Querschnitt berechnet, der von einem Wechselstrom durchflossen wird und bis auf einen schmalen, von einem magnetischen Wechselfeld erfüllten Luftschlitz von allen Seiten ohne merklichen Luftzwischenraum und isoliert in eine unendlich permeable, metallische Hülle eingebettet liegt. Der Umriß des Leiters mit dem trapezförmigen Querschnitt besteht aus zwei gegenüberliegenden, gleich langen, auseinander-strebenden Geradenstücken, deren Endpunkt oben und unten durch konzentrische Kreisbogen verbunden sind. Die maßgebende partielle Differentialgleichung für die FeldkomponenteE _z (, ) in Richtungz der Längsstreckung eines solchen Nutenleiters entspricht dann der ebenen Wellengleichugn in Zylinderkoordinaten.Nicht streng erfaßbar ist bei Anwendung dieser Methode geradeso wie in den beiden anderen bereits durchgerechneten Fällen, wo es sich um einen rechteckigen oder kreisförmigen Nutenquerschnitt handelt, der Einfluß der Öffnungsweite des Nutenschlitzes in der Oberfläche des Nutenleiters. Ist er hinreichend schmal, so kann die Verteilung der maßgebenden magnetischen Feldkomponente als gleichmäßig angesehen werden. Bei genaueren Rechnungen müßte man über die Fourierkomponenten des Feldes der magnetischen Induktion im Nutenschlitz Bescheid wissen. Diese Annahme wird in der Arbeit gemacht.

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Summary In this paper is reported on the distribution of an alternating current over the trapezoid crosssection of a metallic and sufficiently long conductor, who ist embedded in an infinitely permeable envelop up to a narrow air slit containing an alternating magnetic field, the feeler of the airgapfield between stator and rotor. The contour of the conductor with the trapezoid cross-section is composed here of two equally long opposite but divergent straight lines. The endpoints of which on the two ends are connected by two concentric circular arcs. The decisive partial differential equation for the field componentE _z (, ) in the direction of the conductor corresponds to the two dimensional wave equation in cylinder coordinates.As in the two other cases which are already counted over conformal with this method, namely in the cases of the rectangular and circular cross-section, the influence of the width of the slit is not exactly to realise. In cases which call for more excit calculations, it would be necessary to have knowledge of the Fourier-components of the magnetic induction in the slits of the grooves.

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Übersicht der Abkürzungen und der mathematischen Zeichen E die elektrische Feldstärke in V/m als Betrag des Vektors , - H die magnetische Feldstärke in A/m als Betrag des Vektors , - B die magnetische Induktion oder die Flußdichte in Vs/m² als Betrag von , - ₀ die magnetische Feldkonstante von der Größe 4·10^–9 H/m, die elektrische Leitfähigkeit des Nutenleiters in S/m - =2f die Kreisfrequenz in 1/s - d=(2/₀)^1/2 das Eindringmaß in m - die imaginäre Einheit - eine besondere komplexe Konstante mit der Dimension 1/m - 2 die totale Winkelbreite des keilförmigen Nutenleiters - , ,z die drei Zylinderkoordinaten mit [, ,z] in m - _i , _a die Radien der oberen und unteren Begrenzungskreisbögen des Nutenquerschnitts von Bild 1 in m - 2 der doppelte öffnungswinkel zwischen den Zahnflanken - I (h )K _r (h ) die beiden modifizierten Zylinderfunktionen mit dem Parameter - die beiden, in ihren Richtungen von abhängenden Einheitsvektoren im Zylinderkoordinatensystem - der dritte, stets parallel zurz-Achse gerichtete Einheitsvektor - D _n die Koeffizienten in der maßgebenden Fourier-Entwicklung vonB (, ) in Gl. 2(9) mit der Dimension Vs/m (n=0, 1, 2 ...), - e ^jt das Gesetz der zeitlichen Strom- und Feldänderungen Mit 4 Textabbildungen     

Berechnung der magnetischen Felder in den Stirnraumwänden elektrischer Maschinen

Übersicht Ausgehend von der Beschreibung des magnetischen Feldes im Stirnraum elektrischer Maschinen wird die Induktion in den nichtleitend und hochpermeabel angenommenen Stirnraumwänden berechnet. Ferner wird versucht, die wirklichen Materialbeiwerte nachträglich zu berücksichtigen.

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Contents The magnetic field in non-conductive and highly permeable walls of the end-region of electrical machines is calculated by means of the field in the air-part of the end-zone. In a second step the properties of real materials are considered.

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Im Text verwendete Symbole a Vektorpotential - A , A, A_z Komponenten des Vektorpotentials in der zyl. Maschine - A _y, A_z Komponenten d. Vektorpotentials im abgewickelten Modell - a radiale Bauhöhe des Stirnraums im abgewickelten Modell - a , a_z; a_y, a_z dimensionslose Koeffizienten der - b , b_z; b_y, b_z Reihenwicklung des Strombleags - B , B, B_z Komponenten der Induktion in der zylindrischen Maschine - B _y, B_z Komponenten der Induktion im abgewickelten Modell - c axiale Abmessung des Stirnraumes - c _I–c _VI Konstanten der homogenen Lösungen der Wandflüsse - d _I–d _VI (die Indices kennzeichnen einzelne Wandzonen entsprechend Bild (B 2)) - d Eindringmaß - magnetische Feldstärke - i , i, i_z Ströme - F Strombelag - J , J, J_z Komponenten des Strombelags - j , j_z Strombelagsmaximum für ein Wicklungselement - Drehoperator - k, n Separationsparameter in der zyl. Maschine - l ₀, m, n Separationsparameter im abgewickelten Modell - l komplexer Separationsparameter - p Polpaarzahl (=Separationsparameter i. d. zyl. Maschine) - R Reduktionsfaktor - |R| Betrag des Reduktionsfaktors - d Wegelement - u, v, w natürliche Zahlen - flußdurchsetzte Zone in den idealisierten Stirnraumwänden - elektrische Leitfähigkeit - Permeabilität - ₀ Permeabilität des Vakuums - Grundwellenpolteilung im abgewickelten Modell - magnetischer Fluß - Kreisfrequenz Funktionen I _p(k ) Besselfunktionen erster und zweiter Art - N _p(k ) Besselfunktionen erster und zweiter Art - I _p(n ) modifizierte Besselfunktionen erster und zweiter Art - K _p(n ) modifizierte Besselfunktionen erster und zweiter Art - S _{u, p}(k ) Hilfsfunktionen nach Lommel (L₃) Koordinaten , ,z Zylinderkoordinaten - x, y, z cartesische Koordinaten - z ₁,z ₂,z ₃ Einheitsvektoren für Zylinderkoordinaten - ₁, ₂; ₁, ₂;z ₁ Koordinaten des Wicklungselementes mitj -undj -Strombelagskomponenten - ₁; ₁, ₂;z ₁,z ₂ Koordinaten eines Wicklungselementes mitj -undj _z-Strombelagskomponenten - ₀ Wellenradius - ₃ Außenwandradius hochgestellte Indices (i) ideell - (h) homogen - (p) partikular     

Pendelmomententwicklung bei der stromrichtergespeisten Asynchronmaschine mit Berücksichtigung des welligen Zwischenkreisstroms

Übersicht Im Betrieb der Drehstromasynchronmaschine am Stromzwischenkreisumrichter treten bei niederpulsiger Einspeiseschaltung infolge des welligen Zwischenkreisstroms zusätzliche Pendelmomente auf. — Die Amplituden und Frequenzen der zusätzlichen Pendelmomentharmonischen werden in Abhängigkeit der Größe und Frequenz des Wechselanteils im Zwischenkreisstrom angegeben. Es wird die Auswirkung auf ein schwingungsfähiges Zweimassen-Antriebssystem dargestellt.

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Oscillating torques of an inverter feeded asynchronous motor with considering a pulsating intermediate circuit current

Contents During operation of an three phase asynchronous motor feeded by a d.c. current intermediate circuit inverter additional oscillating torques are produced as a result of an alternating current superposed on the direct current in the dc-link. — Magnitudes and frequencies of the additional oscillating torques caused by an ac-current with definite magnitude and frequency in the dc-link are determined. Moreover the reaction of the torque harmonics in a two — mass oscillating drive group is discussed.

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Verwendete formelzeichen I _N Effektivwert des Nennstroms - S _N Nennscheinleistung - T _K Kommutierungszeit - T ₂₀ Läuferleerlaufzeitkonstante - U _N Effektivwert der Nennspannung - ₁ Trägheitsmoment der Antriebsmaschine - ₂ Trägheitsmoment der Lastmaschine - c Torsionsfedersteifigkeit - d Dämpfungsbeiwert für Torsionsschwingungen - f ₀ Nennfrequenz - f ₁ Frequenz des Grundschwingungsstroms - f Frequenz des -ten Zwischenkreisstrom-Wechselanteils - f _p Frequenz der elektrisch entwickelten Pendelmomente - f _r Torsionsresonanzfrequenz - p Polpaarzahl - Taktwinkel - Phasenwinkel des -ten Zwischenkreisstrom-Wechselanteils - Elektrischer Stellungswinkel des rotierenden Läuferkoordinatensystems zum Ständerkoordinatensystem - Gesamtstreuziffer - ₂ Läuferstreuziffer - ₂ Nennkreisfrequenz - ₁ Kreisfrequenz des Grundschwingungsstroms - _w Kreisfrequenz des -ten Zwischenkreisstrom-Wechselanteils Relative größen u Spannung - i Strom - Flußverkettung - r Ohmscher Widerstand - x Reaktanz Indizierung ()₁ Kennzeichnung für Ständersystem - ()₂ Kennzeichnung für Läufersystem - ()u, v, w Kennzeichnung der Phasenstränge - () Auf das Ständersystem transformierte Größe - ()^* Konjugiert komplexe Größe - () Scheitelwert - (-) Relative Größe - (-) Komplexe Größe, Raumzeiger - ()h Indizierung für Haupt ... - ()d Gleichanteil - ()p Pendelgröße     

Der Turbogenerator mit supraleitender Erregerwicklung im transienten Betrieb

Übersicht Die weitgehende Verwendung nichtmagnetischer Werkstoffe beim Bau von Turbogeneratoren mit supraleitender Erregerwicklung erfordert die Erarbeitung neuer theoretischer Grundlagen zur Vorausberechnung des Betriebsverhaltens. Mit Hilfe der Raumzeigerdarstellung wird ein den dynamischen Betrieb beschreibendes Differentialgleichungssystem für ein vereinfachtes mathematisches Modell der Maschine abgeleitet.

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Contents The prevalent application of nonmagnetic materials in construction of turbine generators with superconducting field windings demands the development of new theoretical fundamentals for the predetermination of the operational behaviour. Using the definition of space vectors, for a simplified mathematical model of a generator a set of differential equations is presented, suitable for the calculation of transient performance.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole a Augenblickswert des Strombelags - g ganze Zahl - i Augenblickswert des Stromes - j imaginäre Einheit - J polares Massenträgheitsmoment - l Länge des geraden Wicklungsteils - L Eigeninduktivität - m Augenblicksert des Drehmoments - M Kopplungsinduktivität - P Grundwellenpolpaarzahl - r radiale Koordinate, Radius - R ohmscher Widerstand - u Augenblickswert der Spannung - v Augenblickswert des Vektorpotentials - W _Spl Spulenweite, bezogen auf den mittleren Radius der Ständerwicklung - z axiale Koordinate - Z in Reihe geschaltete Leiter, Stabzahl der Käfigwicklung - räumlicher Winkel - Bogenkoordinate - ₀ magnetische Feldkonstante - natürliche Zahl - Ordnungszahl - v₁ vorzeichenbehaftete Ordnungszahl - natürliche Zahl - Wicklungsfaktor im geraden Wicklungsteil - _p1 Polteilung, bezogen auf den mittleren Radius der Ständerwicklung - Augenblickswert des magnetischen Flusses - Augenblickswert der magnetischen Flußverkettung - 1 Ständerwicklung - 2 Erregerwicklung - 3 Dämpferwicklung - a außen - A Strang A - b Belastung - B Strang B - C Strang C - d Längsachse - i innen - J Joch - m mechanisch - o Oberschicht, oben - q Querachse - s Strombelag - St Stab - u Unterschicht, unten - natürliche Zahl - Ordnungszahl - v₁ vorzeichenbehfaftete Ordnungszahl - natürlich Zahl Der Verfasser dankt Herrn Prof. Dr.-Ing. H. W. Lorenzen, Lehrstuhl und Laboratorium für Elektrische Maschinen und Geräte, TU München, für die Anregung und Förderung, dieser Arbeit. Sie dient als Voruntersuchung zum Thema Elektrische Grenzleistungssynchrongeneratoren mit supraleitender Erregerwicklung im Rahmen des Schwerpunktprogramms Neue Elektrische Antriebe der Deutschen Forschungsgemeinschaft, Bad Godesberg.     

Berechnung der magnetischen Felder und der Wicklungsinduktivitäten bei einem Turbogenerator mit supraleitender Erregerwicklung

Übersicht Ein charakteristisches Merkmal des Turbogenerators mit supraleitender Erregerwicklung ist die weitgehende Verwendung unmagnetischer Materialien im magnetischen Kreis. Um einen grundsätzlichen Einblick in das Betriebsverhalten eines derartigen Generators zu bekommen, werden für radial unendlich dünne Strombelagsschichten übersichtliche Feldgleichungen unter der vereinfachenden Annahme abgeleitet, daß die Maschine unendlich lang ist, einen idealen Dämpferkäfig hat und radial von einem idealen magnetischen Schirm umgeben ist. Der Feldberechnung schließt sich eine Berechnung der charakteristischen Induktivitäten und Reaktanzen an. Abschließend wird das Aufzeichnen des Zeigerdiagramms erläutert.

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Contents A characteristic feature of the turbo-generator with superconducting field winding is the predominant use of nonmagnetic materials in the magnetic circuit. To obtain a basic insight concerning the operating characteristics of such a generator, clear field equations for radially infinite thin current sheets are derived under the simplified assumption that the machine is infinitely long, has a perfect damper winding, and is radially surrounded by an ideal magnetic screen. The calculation of the field is followed by the calculation of the characteristic inductivities and reactances. In conclusion, the recording of the vector diagramm is discussed.

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Verzeichnis der verwendeten symbole A Maximalwert des Strombelags, Strangbezeichnung, Abstandsmaß - a Augenblickswert des Strombelags Abstandsmaß - b Augenblickswert der Induktion, Breite eines Leiters - I Gleichstrom, Effektivwert des Strangstroms - L axiale Länge des geraden Wicklungsteils im Stator (zwischen den beiden Statorwickelköpfen) - l axiale Länge des geraden Wicklungsteils im Rotor (zwischen den beiden Rotorwickelköpfen) - L _K axiale Länge des Wickelkopfbereiches im Stator - l _K axiale Länge des Wickelkopfbereiches im Rotor - M Kopplungsinduktivität - n Drehzahl - n _1,2 ganze Zahl - p Grundwellenpolpaarzahl - Q Nutenzahl je Pol (bei gleichmäßiger Nutung) - q Nutenzahl je Pol und Strang - R _J Innenradius des Statorjochs - R _s mittlerer Radius der Statorwicklung - r radiale Koordinate - rJ Außenradius des magnetischen Bereichs der Welle - rJ Radius des Dämpferrohrs - rS mittlerer Radius der Erregerwicklung - S Spulenweite, bezogen auf den mittleren Radius der Statorwicklung - s Schlupf - t Zeit - U Effektivwert der Strangspannung - v Augenblickswert des Vektorpotentials - X ₁ Reaktanz - X ₁ transiente Längsreaktanz - X ₁ Subtransientreaktanz - Z Leiterzahl eines Stranges (Leiter in Reihe geschaltet) - z axiale Koordinate - , räumliche Winkel - räumlicher Umfangswinkel - elektrische Leitfähigkeit - ₀ Permeabilität des Vakuums - relative Permeabilität - v Ordnungszahl von Wellen, die sich entlang dem Umfang sinusförmig ändern - v vorzeichenbehaftete Ordnungszahl von Wellen, die sich entlang dem Umfang sinusförmig ändern - Produkt aus Zonen- und Sehnungsfaktor im geraden Wicklungsteil - b Kupferbreitenfaktor - z Zonenfaktor im geraden Wicklungsteil - _p Polteilung, bezogen auf mittleren Radius der Statorwicklung - Maximalwert des Flusses je Pol - Augenblickswert des Flusses je Pol - Winkel zwischen dem Zeiger des Stromes und dem Zeiger der induzierten Polradspannung - Kreisfrequenz Indizes 1 Statorgrößen - 2 Rotorgrößen - a außen - i innen induziert - J Joch - K Wickelkopf Kupfer - o Oberschicht - p Polrad, Pol, Polpaarzahl - r radial - S Strombelag - s synchron - Sp Spule - u Unterschicht - v verkettet - z axial, Zone - in Umfangsrichtung - v Ordnungszahl von Wellen, die sich entlang dem Umfang sinusförmig ändern - t vorzeichenbehaftete Ordnungszahl von Wellen, die sich entlang dem Umfang sinusförmig ändern     

Zur Theorie des dynamischen Betriebs von Drehstrommotoren mit Stromverdrängungsläufer

Übersicht Ausgehend von einer Annäherung der Stromdichteverteilung in den Läuferstäben wird das den Betrieb von Drehstromkäfigankermotoren bei raschen Drehzahländerungen beschreibende Differentialgleichungssystem abgeleitet. Die Raumzeigerdarstellung ermöglicht eine einfache mathematische Formulierung und eine physikalisch anschauliche Anschrift der Systemgleichungen.

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Contents Basing on an approximation for current density in the rotor bars a set of differential equations is presented, dealing with the operational behaviour of squirrel-cage induction motors at fast speed variation. Using the definition of space vectors a mathematically simple and physically clear representation is possible.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole a Augenblickswert des Strombelags, Nutabmessung - b Augenblickswert der Induktion, Nutabmessung - D Bohrungsdurchmesser - g ganze Zahl - h Nutabmessung - i Augenblickswert des Stroms, natürliche Zahl - j imaginäre Einheit , natürliche Zahl - J polares Massenträgheitsmoment - k natürliche Zahl - l Länge, Selbstinduktionskoeffizient - L Selbstinduktionskoeffizient - m Gegeninduktionskoeeffizient - M Gegeninduktionskoeffizient - n natürliche Zahl - p Polpaarzahl - q Nutenzahl je Pol und Strang - r ohmscher Widerstand - R ohmscher Widerstand - s Nutabmessung - S Spulenweite - u Augenblickswert der Spannung - Windungszahl je Strang - z Stabzahl - elektrischer Winkel - effektiver Luftspalt - Nutenzahl, um die die Ständerwicklung gesehnt ist - Bogenkoordinate - Ordnungszahl - natürliche Zahl - v Ordnungszahl - ₀ Permeabilität des Vakuums - Wicklungsfaktor - Streuzahl - Länge in Umfangsrichtung - Augenblickswert der Flußverkettung Indizes 1 Ständer - 2 Läufer - o bezogen auf das System dreifacher Polpaarzahl - A Strang A - b Belastung - B Strang B - C Strang C - dv doppeltverkettet - Fe Eisen - g geometrisch - h bezogen auf das Hauptfeld - i ideell, bezogen auf einen Teilkäfig - k bezogen auf einen Teilkäfig - K Zahnkopf - n Nut - N Netzzuleitung - p Pol - R Ring - Schr Schrägung - St Stab - w Wicklung - Ordnungszahl - natürliche Zahl - Ordnungszahl - Streuung - Re Realteil - Im Imginärteil Besondere Schreibweisen Komplexe Zahlen werden durch Unterstreichen, konjugiert komplexe Zahlen durch Unterstreichen und hochgestellten Stern, zeitliche Ableitungen des Läuferverdrehungswinkels durch Punkt über dem Buchstabensymbol und auf das Ständerkoordinatensystem transformierte Läufergrößen durch gestrichene Symbole gekennzeichnet.Der Verfasser dankt Herrn Professor Dr.-Ing. H. W. Lorenzen für die Anregung und Förderung dieser Arbeit.     

On the calculation of pole surface leakage flux

Contents In designing electromagnetic circuits the pole surface leakage flux introduced by an air-gap, must be known. After defining the so called utilization factor, a review of the existing formulas for calculating it, is given. The major part of the paper deals with the presentation of a new and very accurate formula, based on the method of conformal mapping. Finally this formula is compared with experimental results.

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Übersicht Beim Entwurf magnetischer Kreise muß der Streufluß im Luftspalt bekannt sein. Nach der Definition des sogenannten Ausnützungsfaktors—d. h. des Verhältnisses von Nutzfluß zur Gesamtfluß—wird ein Überblick über bekannte Methoden zu seiner Berechnung gegeben. Mit Hilfe der konformen Abbildung wird eine neue und sehr genaue Berechnungsmethode vorgestellt. Die hieraus gewonnenen Lösungen werden mit experimentellen Ergebnissen verglichen.

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List of principal symbols a cylinder radius - g air-gap width - k modulus of the Jacobian elliptic functions - k complementary modulus - l fringe-path extent - n constant - q auxiliary quantity - t auxiliary variable - u, v, x, y real variables - ,z complex variables - A, B, C, D, E, F vertexes - E(u) fundamental elliptic integral of the second kind - E complete elliptic integral of the second kind - K complete elliptic integral of the first kind - M, N constants - , constants - , °, very small real values - running variable in thez-plane - utilization factor - , polar coordinates - ₀, _A , _C ,v _A ,v _A real exponents - , real variables - complex variable - _l , _m , _t leakage, main and total magnetic flux.     

Berechnung quasistationärer Wirbelstromprobleme mit der Methode der finiten Elemente

Übersicht Es werden Randbedingungen zur Berechnung der Wirbelströmung in stromdurchflossenen Leitern nach der Methode der finiten Elemente angegeben. Sie gestatten die Nachbildung mehrerer gegeneinander isolierter Leiteranordnungen. Außerdem wird eine Kombination finiter Elemente mit einem elektrischen Netzwerk beschrieben, die elektrische Spannungsabfälle in feldfreien Stirnverbindungen berücksichtigt.

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Finite element analysis of steady-state eddy-current flow

Contents Boundary conditions are described to calculate the eddy-current flow in current carrying conductors using the finite-element method. Arrangements of several disconnected conductors are allowed. Further, a combination of finite elements with an electrical network is presented to take into account voltage drops in field-free end connections.

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Verwendete Symbole B magnetische Flußdichte - E elektrische Feldstärke - H magnetische Feldstärke - S Stromdichte - V Vektorpotential - skalares Potential - elektrische Leitfähigkeit - Permeabilität - Reluktivität - Kreisfrequenz     

Berechnung der Stillstandserwärmung explosionsgeschützter Asynchronmotoren mittels dreidimensionaler Finite-Elemente-Methode und Zeitschrittrechnung

Übersicht Zur Berechnung der Temperatureverteilung im Rotor einer Asynchronmaschine mit Käfigläufer wird die dreidimensionale Finite-Elemente-Methode mit Zeitschrittverfahren verwendet. Die örtliche Diskretisierung erfolgt über Dreiecksprismen. Die Verlustverteilung wird über eine zweidimensionale Wirbelstromberechnung mittels Finiter-Elemente-Methode für Stab und Ring bestimmt. Die Eisensättigung wird dabei berücksichtigt. Die Theorie wird durch Messungen an einem handelsüblichen Motor mit unterschiedlichen Kurzschlußringen bestätigt. Anhand experimenteller und numerischer Parameterstudien werden konstruktive Richtlinien für eine optimale Form und Lage der Kurzschlußringe entwickelt.

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Calculation of the temperature field at standstill of explosion-protected induction motors by three-dimensional finite element time-stepping method

Contents A three-dimensional finite element time-stepping method is presented for calculation of the temperature field in the rotor of a cage induction machine. For the discretisation of the region triangular prisms are used. Losses and eddy currents are determined by separated calculations using the two-dimensional finite element method for bar and end-ring. The variable permeability is taken into account. Comparisons between calculations and measurements are given for a machine with different end-rings. Rules for an optimal form and position of the end-rings are given from experimental and numerical studies.

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Übersicht der wichtigsten Formelzeichen A magnetisches Vektorpotential - B magnetische Flußdichte - E elektrische Feldstärke - H magnetische Feldstärke - J Stromdichte - _e elektrisches Potential - , Übertemperatur, Celsiustemperatur - I _St ,I _R Stabstrom, Ringstrom - U Spannung - c _p spezifische Wärmekapazität - q Wärmequellendichte - Wärmeübergangszahl - elektrischer Leitwert - Wärmeleitfähigkeit - Permeabilität - _m Dichte - a,b,c,d,e Koeffizienten des Gleichungssystems - f _i Formfunktionen der FE-Berechnung - t zeitliche Schrittweite - D Dreiecksfläche der Finiten Elemente - V Prismenvolumen der Elemente - b _R Breite des Kurzschlußringes - h _R Höhe des Kurzschlußringes - S Außenrandfläche - S Fläche allgemein - k _r Widerstandserhöhungsfaktor - t Zeit - Eindringtiefe der Felder - f, Frequenz, Kreisfrequenz - x,y,z Kartesische Koordinaten - ₂ Rotorpositionswinkel     

Anwendung der Theorie der Oberwellendrehfelder auf permanentmagnetische Schrittmotoren mit kleinem Schrittwinkel

Übersicht Die Wirkungsweise der meist angewandten Bauart von permanentmagnetischen Schrittmotoren mit kleinem Schrittwinkel wird mit der Theorie der Oberwellendrehfelder erklärt. Eine allgemeine Beziehung für die möglichen Nutzahlen von Stator und Rotor wird entwickelt. Mit dieser lassen sich der Schrittwinkel und das Verhältnis von Drehzahl zu Speisefrequenz berechnen sowie die Induktivitäten und Einsenverluste abschätzen. Darauf aufbauend werden Hinweise für die Auslegung der Ansteuerung gegeben. Für die beschriebene Schrittmotorenbauart wird die Bezeichnung Oberwellen-Schrittmotor vorgeschlagen.

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Contents The principle of operation of permanent magnet stepping motors with small step angles is explained by employing the theory of rotating field harmonics. A general correlation for suitable numbers of stator and rotor slots is developed making it possible to calculate the step angle and the ratio of speed to input frequency as well as to estimate the inductances and iron losses. Based on these results suggestions for the design of drive circuits are given. It is proposed to indicate the described type of stepping motor as harmonic stepper.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole b Luftspaltinduktion - B Amplitude der Luftspaltinduktion - f Speisefrequenz - I Strangstrom - k _C Carterscher Faktor - L Induktivität - l _i ideelle Ankerlänge - m Strangzahl - M Drehmoment - n Drehzahl - N Nutzahl - p Polpaarzahl - q Lochzahl - s Schlupf - t Zeit - U _p Polradspannung - U _S Statorspannung - w Windungszahl - elektrischer Winkel - räumlicher Schrittwinkel - Luftspalt - Durchflutung - Amplitude der Durchflutung - _pv Polradwinkel - , , Ordnungszahlen - spezifischer magnetischer Leitwert - Leitwertamplitude - ₀ Mittelwert des spezifischen magnetischen Leitwertes - Ordnungszahl der 1. Leitwertwelle - ₀ Permeabilität des Vakuums - Wicklungsfaktor - Streufaktor - _p Polteilung - Flußverkettung - Kreisfrequenz Indizes l Grundwelle - d bezogen auf died-Achse - g gegenlaufend - h Haupt- - m mitlaufend - q bezogen auf dieq-Achse - R Rotor - S Stator - , , gn bezogen auf die Oberwelle der Ordnungszahl , , - bezogen auf die 1. Leitwertwelle - Streu- Die Verfasserin dankt Herrn Prof. Dr.-Ing. E. Andresen und der Deutschen Forschungsgemeinschaft für die Förderung dieser Arbeit.     

Transformation method for electromagnetic wave problems with moving boundary conditions

Contents A method for the solution of initial-boundary-value problems of the wave equation with moving boundary conditions is presented, which transforms the wave equation for the region with moving boundary into a form-invariant wave equation for a region with fixed boundary. Two kinds of transformations are found which refer to regions (1) expanding and (2) contracting with (increasing) time. As an application, the compression of microwaves in a one-dimensional cavity 0xs(t) with fixed liner atx=0 and an inward moving liner atx=s(t) is treated analytically. It is shown that large amounts of microwave energy can be generated in the final compression stages(t)0 with the help of a copper liner driven by explosives ( 10^3 m/s$$ " align="middle" border="0"> ), for times of the order of the electromagnetic diffusion time, _D =d ²10^-2s. Such microwave compressions proceed quasi-statically for non-relativistic liner velocities, .

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Transformations-Methode für elektromagnetische Wellenprobleme mit bewegten Randbedingungen

Übersicht Eine Methode zur Lösung von Anfangs-Randwert-Problemen der Wellengleichung mit bewegten Randbedingungen wird gegeben, welche die Wellengleichung für das Gebiet mit bewegter Grenzfläche in eine form-invariante Wellengleichung für ein Gebiet mit ruhender Grenzfläche umformt. Zwei Arten von Transformationen werden gefunden, welche sich auf zeitlich (1) expandierende und (2) schrumpfende Gebiete beziehen. Als Anwendung wird die Kompression von Mikrowellen in einem eindimensionalen Hohlraum 0xs(t) mit einem festen Liner beix=0 und einem nach Innen bewegten Liner beix=s(t) analytisch behandelt. Es wird gezeigt, daß sich große Mengen von Mikrowellen-Energie in der Endphases(t)0 der Kompression mit Hilfe eines durch Explosivstoffe angetriebenen Kupfer Liners ( 10^3 m/s$$ " align="middle" border="0"> ) erzeugen lassen, für Zeiten von der Größenordnung der elektromagnetischen Diffusionszeit _D =d ²10^-2s. Derartige Mikrowellen-Kompressionen erfolgen quasi-statisch bei nicht-relativistischen Liner Geschwindigkeiten, .

     

Lösung der Grundgleichung nichtlinearer Stromkreise durch Analogrechenverfahren

Inhaltsübersicht Die vorliegende Arbeit, die sich in den neuen, vom Verfasser und anderen als nichtlineare Elektrotechnik bezeichneten Abschnitt der modernen Elektrotechnik einreiht, verfolgt die ins einzelne gehende Analyse der Grundgleichung nichtlinearer Stromkreise hinsichtlich ihrer Lösung durch Analogrechenverfahren und die Aufstellung einer allgemeinen Rechenschaltung dieser Gleichung für den Analogrechner.

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Summary The present paper deals with problems in the field of modern electrical engineering, called by the author and others nonlinear electrotechnics. It presents a detailed analysis of the fundamental equation of nonlinear circuits with respect to its solution by analog computation and offers a general programming schedule for the analog computer.

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de|Übersicht der wichtigsten verwendeten Symbole i(t) Zeitverhalten des Leitungsstromes - U _ee (t) Angelegte elektromotorische Kraft - (t) Die Ableitungsfunktion 1. Ordnung vonU _ee (t) - f(i), g(i), h(i), j(i) A(i), B(i), C(i), D(i) Funktionen der Klasse C° voni(t) - r(i) Nichtlinearer Widerstand - l(i) Nichtlineare Induktivität - c(i) Nichtlineare Kapazität - T(i) Nichtlineare Zeitkonstante - Magnetischer Fluß - R Quasilinearer Widerstand - L Quasilineare Induktivität - C Quasilineare Kapazität - (t) Physikalische Größe in direkter Abhängigkeit voni(t) - F(),G(),H(),J() Funktionen der Klasse C° von (t) - t Reelle Zeitvariable - Zeitvariable auf dem elektronischen Rechner - Dehnungsfaktor des Zeitmaßstabes - Dehnungsfaktor des Amplitudenmaßstabes der, auf dem elektronischen Rechner verfolgten Größe (Spannung) - Die auf dem elektronischen Rechner verfolgte Größe (Spannung) - (s) Die Laplace-Bildfunktion der auf dem elektronischen Rechner verfolgten Größe - Das Symbol der Laplace-Transformation - (t) Dirac-Funktion Mit 8 Textabbildungen     

Der Jochfluß und die allgemeine Drehmomentgleichung der elektrischen Maschinen

Übersicht Der Jochfluß ist die einzige Flußgröße der elektrischen Maschinen, welche unabhängig von dem räumlichen Feldverlauf genau definiert werden kann. Mit Hilfe des Jochflusses können die Grundgleichungen der elektrischen Maschinen und vor allem die Drehmomentgleichung ganz allgemein aufgestellt werden.

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Contents The yoke flux is the only flux quantity of electrical machines which can be defined independently of the space distribution of the air-gap field. By means of the yoke flux, the fundamental equations of electrical machines, and first of all the torque equation, can be expressed quite generally.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole A Strombelagsfunktion - B radiale Luftspaltinduktion - H radiale magnetische Feldstärke im Luftspalt - l axiale Länge des aktiven Eisens - r Bohrungsradius - t Zeit - u _i induzierte Spannung - V magnetische Spannnng am Luftspalt (Felderregerkurve) - W der Wicklung zugeführte Energie - W Energie des Feldes im magnetischen Kreis - W _m in mechanische Arbeit umgewandelte Energic - , Polarkoordinaten im Ständer- und Läufersystem - Luftspaltbreite - _D Diracsche Impulsfunktion - Durchflutung - geometrischer Leitwert des Luftspaltes - ₀ Permeabilität des leeren Raumes - Winkel zwischen den Nullstrahlen der Ständer- und Läuferkoordinaten - Jochfluß Indizes S, R Ständer, Läufer - ausgedrückt in Ständerkoordinaten     

Verluste in stromrichtergespeisten Asynchron-Bahnmaschinen

Übersicht Bei den hinsichtlich Raum und Gewicht begrenzten Bahnmaschinen ist für eine optimale Auslegung die Kenntnis der bei Stromrichterbetrieb auftretenden Verluste unbedingt erforderlich. Es wird zunächst angegeben, wie die bei Speisung mit sinusförmigen Größen auftretenden Verluste berechnet werden können. Danach werden die Verluste bei Stromrichterbetrieb abgeschätzt. Die Ergebnisse—ermittelt mit Hilfe eines Rechenprogramms, das vier verschiedene Speiseformen zuläßt—werden vorgestellt.

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Losses of inverter-fed asynchron traction motors

Contents On railway-machinery with its limitations to weight and space available it is inevitable for an optimal design to have a profound knowledge of the losses to be encountered when operating on current inverter. At first a method is given by which losses can be evaluated for feeding with sinusoidal currents. Later losses caused by operation on current inverter will be estimated. The results obtained—taking advantage of a calculator-program enabling to examine four difference kinds of feeding—will be given.

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Verwendete Symbole B Induktion - D Durchmesser - E Index für Endverluste - f Frequenz - H Index für Hystereseverluste - J Index für Joch - l Maschinenlänge - N Nutenzahl Index für Nut und Nutharmonische - p Polpaarzahl - q Nutenzahl pro Pol and Strang - R Ohmscher Widerstand - R ₀ Ohmscher Widerstand für Gleichstrom - s Nutenschritt für gesehnte Wicklung Schlupf - T Periodendauer - l Zeit - V Volumen - W Index für Wirbelstromverluste - w Windungszahl pro Strang - x Weglänge am Umfang - x _S Wicklungsschrittverkürzung - y Nutschrägung - Blechdicke - Luftspalt - _NB Nutdurchflutung (Laststromantei) - Elektrische Leitfähigkeit - Magnetischer Luftspaltleitwert - Magnetischer Leitwert - Ordnungszahl für Oberwellen (auf doppelte Polteilung bezogen) - Ordnungszahl für Oberschwingungen - reduzierte Leiterhöhe nach [5] - Verlustziffer für Eisenverluste - _N Nutteilung - _P Polteilung - Magnetischer Fluß - (), (), (), () Stromverdrängungsfunktionen nach [5]     

Theoretische und experimentelle Untersuchung der Läuferoberfelder von Käfigläufermotoren

Übersicht Zur Überprüfung einer Vorausberechnung der Läuferoberfelder werden die von ihnen hervorgerufenen Induktionen sowohl in schmalen Meßschleifen auf der Ständeroberfläche als auch in den Ständerzähnen gemessen. Eine vergleichende Untersuchung anhand von Läufern mit und ohne Käfig macht den schon im Leerlauf wichtigen Beitrag der Oberfelder der Läuferoberströme deutlich. Der Einfluß der Eisensättigung auf die Zahnpulsationen wird theoretisch und experimentell untersucht. Die Bedeutung der Läufernutenzahlen, der Ständernutöffnung und der Schaltung der Ständerwicklung wird aufgezeigt.

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Theoretical and experimental investigation of the rotor harmonic fields of squirrel cage induction motors

Contents For the purpose of verifying predetermined rotor harmonic fields of squirrel cage induction motors, induction caused by the rotor is measured on the stator surface by means of narrow search loops, as well as in the stator tooth bodies. Comparative investigations made on rotors with and without cages clearly evidence the influence of the harmonic fields produced by the higher harmonic currents of the rotor — even in no-load operation. The influence of magnetic saturation on the tooth flux pulsations is subjected to theoretical and experimental investigation. In addition, the importance of the number of rotor slots, the extent of stator slot openings as well as the connection of stator windings are dealt with.

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Verwendete Symbole b _zs Ständerzahnbreite - B Induktion - B _zG Zahninduktion des abgeplatteten Grundfeldes - D Bohrungsdurchmesser - g Ordnungszahl - h _zs Ständerzahnhöhe - I _N Nennstrom - I _R Ringstrom des Läufers - k _c Carterscher Faktor - k _Fü Eisenfüllfaktor - l axiale Blechpaketlänge - m Strangzahl des Ständers - N Nutenzahl - p Polpaarzahl - q Nutenzahl je Pol und Wicklungsstrang - s Schlupf - S Spulenweite der Meßschleife auf der Ständeroberfläche - t Zeit - U _N Nennspannung - V magnetische Spannung - t _ns Ständernutteilung im Längenmaß - y Längenkoordinate in axialer Richtung - Umfangskoordinate im Bogenmaß - Abplattungsfaktor - _g geometrischer Luftspalt - , ' Ersatzluftspalte - Sehnung der Ständerwicklung um Nuten - Ordnungszahl der Läuferoberfelder - _r G relative Permeabilität der Grundfeldzahninduktion - _r P relative Permeabilität der Zahnpulsation - Ordnungszahl der Ständeroberfelder - Wicklungsfaktor - _S Sehnungsfaktor der Meßschleife - _z Sehnungsfaktor des Ständerzahnes - _ns Ständernutteilung im Bogenmaß - Korrekturfaktor aus der digitalen Feldberechnung - Netzkreisfrequenz Indizes gr der Ordnungszahlg _r - i desi-ten Ständerzahnes - r Läufer - s Ständer - ung ungesättigt - z im Ständerzahn Hochgestellte Indizes und Sonderzeichen N Nutungsoberfeld - Scheitelwert - Re Realteil einer komplexen Größe Unterstreichung: komplexe Größe     

Berechnung von elektromagnetischen Feldern in zylindrischen Induktionssystemen mit periodisch geschlitzten Wänden

Übersicht Der Einfluß der konstruktiven Gestaltung auf die elektromagnetische Durchlässigkeit von zylindrischen Induktionssystemen mit periodisch geschlitzten metallischen Wänden wird am Beispiel des Kaltwand-Induktions-Tiegelofens analysiert. Zweidimensionale und dreidimensionale mathematische Modelle des mittelfrequenten elektromagnetischen Feldes in Induktionsystemen mit geschlitzten metallischen Wänden werden entwickelt. Auf diesen Modellen sowie der Boundary-Element-Methode basierende numerische Berechnungen werden vorgestellt. Für eine einfache Bewertung der Effizienz geschlitzter Induktionssysteme kommt ein spezielles analytisches Modell zur Anwendung. Experimentelle Untersuchungen des elektromagnetischen Feldes erfolgen an Labormodellen und an einer industriellen Pilotanlage. Meßergebnisse der magnetischen Induktion und der integralen Größen werden mit theoretischen Ergebnissen verglichen.

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Calculation of electromagnetic fields in cylindrical induction systems with slitted metallic walls

Contents In order to study the influence of various construction parts on the electromagnetic transparency of a cylindrical induction system with slitted metallic walls the electromagnetic field distribution in the induction furnace with a cold crucible is analysed. Two-dimensional and three-dimensional mathematical models of the middle-frequency electromagnetic field in the induction systems with slitted metallic walls are developed. Numerical calculations based on this models and the Boundary-Element-Method are carried out. An integral model for simple evaluations of the efficiency is offered. The electromagnetic field in laboratory models and in an industrial set-up is experimentally studied. The measurements of the magnetic flux density in the crucible and the integral characteristics are compared with theoretical results.

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Formelzeichen a m Abstand - A Vs/m magnetisches Vektorpotential - b m geometrische Schlitzbreite - B Vs/m² magnetische Flußdichte (Induktion) - D _EM 1 Stromnutzungsgrad - f Hz Frequenz - F A Skalarpotential - H A/m magnetische Feldstärke - i 1 Imaginäreinheit - I A elektrischer Strom - j A/m elektrischer Strombelag - K _an ,K _2D 1 Tiegelparameter - l m Länge - L m Länge - M 1 Tiegelparameter - n 1 Schlitzanzahl - r m Koordinate - R ₀ m Radius der Tiegelinnenwand - S m² Fläche, Oberfläche - T A Stromfunktion - w m Wanddicke - x m Koordinate - y m Koordinate - z m Koordinate - m elektromagnetisches Eindringmaß - 1/(m) elektrische Leitfähigkeit - ₀ Vs/(Am) magnetische Feldkonstante - Vs magnetischer Fluß - Vs/m magnetischer Flußbelag - As/m² fiktive Oberflächendichte der ladung Indizes an analytisch - EM elektromagnetisch - ex außen - Im Imaginär - in innen - k kurzgeschlossen - n normal - Re Real - s auf der Oberfläche - S gesamt - S _P Spaltbereich - z zylindrisch - 0 charakteristische Größe - azimutal - tangential - 2D zweidimensional     

Eine Theorie des Wechselstromkreises mit Lichtbogen

Die Ausgleichvorgänge durch Kreis- und Erdkapazitäten Bei den nachfolgenden Ausführungen handelt es sich um eine Fortsetzung des in Bd. 44 (1959) Heft 4 dieser Zeitschrift bereits erschienenen ersten Teiles Eine Theorie des Wechselstromkreises mit Lichtbogen.Bezeichnungen R ₁ Ohmscher Widerstand von Trafo und Netzzuleitung - R ₂ Ohmscher Widerstand des Lastkreises - R ₃ Ohmscher Widerstand vorC ₁ - R ₄ Ohmscher Widerstand vorC ₂ - R Kleinstmöglicher Widerstand der Verbindung zweier Stromkreise über ein Schaltgerät - Phasenwinkel der Spannung im Augenblick des Stromnulldurchganges bei metallisch geschlossenem Stromkreis - Phasenwinkel der Spannung im Augenblick des Stromnulldurchganges nach der Zündung bei Berücksichtigung vonL undR stattL undR - Phasenwinkel des Stromes im metallisch geschlossenen Stromkreis - Phasenwinkel des Stromes im metallisch geschlossenen Stromkreis vor der Zündung des Lichtbogens - ₁ - ₂ - Phasenwinkel der Ausgleichströme - tg - ₁ - ₂ - 2f (Kreisfrequenz beif=50Hz: =314) - ₁ - ₂ - z _ges - z ₄ - e _b Lichtbogenspannung= (Die konstante induktive und ohmsche Komponente der Lichtbogenspannung ist bereits zu den StromkreiskonstantenL undR addiert) - u Spannungsabfall an einem lastseitigen Stromkreisglied Mit 5 Textabbildungen     

Über den ballistischen Entmagnetisierungsfaktor zylindrischer Stäbe

Übersicht Es werden Beziehungen abgeleitet, die eine einfache Ermittlung des ballistischen Entmagnetisierungsfaktors für praktisch interessierende Maßverhältnissep bis herab zup=0 und Suszeptibilitäten 0 gestatten; ferner wird der Zusammenhang zwischen dem ballistischen Entmagnetisierungsfaktor zylindrischer Stäbe und dem Entmagnetisierungsfaktor von Ellipsoiden genauer untersucht.Mit 14 Textabbildungen.     

Die Läufererwärmung beim dynamischen Betrieb von Käfiganker-Asynchronmaschinen

Übersicht Ausgehend von einem vereinfachten, thermischen Modell des Läufers werden die Systemgleichungen abgeleitet. Die Läuferstaberwärmung wird am Beispiel des dynamischen Hochlaufs einer ausgeführten Maschine berechnet.

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Contents Basing on a simplified heat flow diagram of a squirrel-cage rotor a set of differential equations is presented, which describe the dynamic behaviour of the motor. The heating of the rotor bars is calculated for an existing machine.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole

Symbole a Nutschlitzhöhe - a Dreher um 120° - b Breite - C Kapazität, Drehfederzahl - D Bohrungsdurchmesser - g ganze Zahl - h Höhe - i Augenblickswert des Stromes - I Massenträgheitsmoment - j Dreher um 90° - k natürliche Zahl - l Länge, Selbstinduktionskoeffizient - L Induktivität - m Drehmoment, Gegeninduktionskoeffizient - M Gegeninduktivität - n ganze Zahl - p Polpaarzahl - q Nutenzahl je Pol und Strang - R, Widerstand - s Nutschlitzbreite - t Zeit - u Augenblickswert der Spannung - Windungszahl - z Nutenzahl - Temperaturkoeffizient oder Winkel - magnetischer Luftspaltleitwert - Temperatur oder Bogenkoordinate - Ordnungszahl oder magnetischer Streuleitwert - Nummer eines Läuferstabes oder magnetischer Leitwert - Wicklungsfaktor - Streukoeffizient - Drehschub oder Teilung - verketteter magnetischer Fluß Indizes o bezogen auf das System 3facher Polpaarzahl - a Anfangswert - A Außen, Arbeitsmaschine - A Strangbezeichnung im Ständer - B Strangbezeichnung im Ständer - C Strangbezeichnung im Ständer - (AS) A-Seite des Motors - (BS) B-Breite des Motors - dv doppelt verkettet - E Eisen - g geometrisch - ges gesamt - I, i Innen - i ideell - Im Imaginärteil - i, k, n natürliche Zahlen zur Teilstabbezeichnung - L Läufer oder Luft - M Motor - N Nut oder Netz - R Kurzschlußring, Reibung - Re Realteil - S Ständer oder Schwungmasse - St Stab - Schr Schrägung - th thermisch - T Torsion - U Umgebung - W Wicklung oder Welle - Streugröße - natürliche Zahl Der Verfasser dankt Herrn Prof. Dr.-Ing. H. W. Lorenzen (Inhaber des Lehrstuhls elektrische Maschinen und Geräte im Institut für Energietechnik der TU München) für die Anregung und Förderung dieser Arbeit und Herrn Dr.-Ing. H. Fürsich (wissenschaftlicher Assistent am Lehrstuhl für elektrische Maschinen und Geräte im Institut für Energietechnik der TU München) für die Unterstützung bei der numerischen Auswertung. Diese Arbeit ist ein Auszug aus der Dissertation des Verfassers.     

Power losses in a conducting ring enclosing a conductor with a transient current

Contents In the paper Joule power losses are calculated in a conducting ring enclosing a conductor with a transient current having an alternating component.—Theoretical calculation and numerical computation are worked out basing on a link Bubnov-Galerkin method in its numerical version using the finite elements for the conductor with the Time-Stepping algorithm for the time discretization.—On the basis of numerical computation, graphs of the relative power losses are plotted as a time function.

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Leistungsverluste in einem leitenden Ring, der einen Leiter mit einem instationären Strom umschließt

Übersicht In diesem Beitrag werden die Joulschen Leistungsverluste in einem leitenden Ring berechnet, der einen Leiter umschließt, in dem ein instationärer Strom mit Wechselanteil fließt. Die theoretischen Betrachtungen und numerischen Berechnungen hat man in Anlehnung an die Bubnov-Galerkin-Methode (in ihrer numerischen Variante, die von einen Leiter unter Verwendung der Methode der finiten Elemente realisiert wird) in Verbindung mit einem Schritt-Algorithmus mit der diskretisierten Zeit ausgeführt. Auf der Grundlage numerischer Berechnungen sind Diagramme für die relative Leistung in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt.

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List of symbols Symbol Unit Physical parameter - B Wb/m² magnetic induction vector - H A/m magnetic field intensity vector - H, H A/m -component of the magnetic field vector - E V/m electrical field vector - E _r ,E _z V/m components of the electric field - f s^–1 frequency - I A current intensity (r.m.s. value) - L H inductance - P W power losses - P ₀ W power losses for d.c. - R resistance - t sec time - ^–1 m_–1 electric conductivity of the conductor - Hm^–1 magnetic permeability - _ijk m² finite element area - basis function - rad s^–1 pulsation - N _i ,N _j ,N _k function of finite element shape - 3.141593... - region - ² Laplace's operator - r, ,z cylindrical coordinates - ^h region approximating the region - ^e finite element region - M number of discretization points of the region - V number of finite elements - (N–1) number of steps - i, j, k indices of vertices of triangular finite element