lim to(x→∞)(1 1/x)~x=e的推广和e的近似计算

数学分析中用lim to(n→∞)(1 1/n)~n=e(n为自然数)定义无理数e,并可用来近似计算e,e是自然对数的底。同时,lim to(x→∞)(1 1/x)~x=e是证明指数函数等基本初等函数导数公式的关键,     

关于重要极限limn→∞(1+1/n)n=e教学的思考

对于limn→∞(1+1/n)n=e,文章提出了与许多教材上不同的另外三种证明数列{(1+1/n)n单调有界的方法,并对limn→∞(1+1/n)n=e进行了推广.     

关于重要极限n→∞^lim（1＋1／n）^n=e教学的思考

对于n→∞^lim(1 1/n)^n=e，文章提出了与许多教材上不同的另外三种证明数列{(1 1/n)^n}单调有界的方法，并对n→∞^lim(1 1/n)^n=e进行了推广。     

n人会面问题

本文从三个方面对n人会面问题作了论证,得出其结果为p(n,t)=n(t/T)~(n-1)-(n-1)(~0t/T)~n     

数列a_n=(1+t/n)n+p单调下降的条件

本文对文[1]中三个数列:an=（1+1/n）n+pan=（1+t/n）n+1及an=（1+1/n）n（1+t/n）单调下降的充要条件推广至函数形式。证明了函数f（x）=（1+t/x）x+p（p>0,x>max{0,-t}）和φ（x）=（1+1/x）x（1+t/x）（x>0）单调下降的充分必要条件。     

关于(0,2,3)型插值多项式的逼近阶研究

设f(x) ∈C_(2π),Qn(f,x)是以x_(kn)=(2πk)/n(k=0,1,…,n-11)为基点的(0,2,3)型插值多项式,n=2m+1。Tm(f,x)是以{X_(kn)}_(k=0)~(n-1)为基点的(0)型插值多项式。因为u_n(x)∈C_(2π),使得 lim[f(x)-Q_n(f,x)-u_n(x)(f(x)-T_m(f,x))]=0 n→∞ (关于0≤x≤2π一致地成立)。本文进一步得到了逼近阶估计: |f(x)-Q_n(f,x)-u_n(x)(f(x)-T_m(f,x))| ≤C[ω(f,(1_nn)/n)+1/n_(k=1)~nΣω(f,1/k)]     

In_nNa_m(n+m=6,n=1～5)团簇结构及振动光谱

采用密度泛函理论中的B3LYP方法,对InnNam(n+m=6,n=1~5)团簇的所有可能构型进行了优化,并作了频率计算.结果表明:InnNam(n+m=6,n=1~5)团簇的稳定结构主要是由小团簇生长而来的;InnNam(n+m=6,n=1~5)团簇基态结构的最强吸收峰对应的频率分别为155,153,119,163 cm-1和140 cm-1.     

响应均方值ψ_Y~2=1/2π integral from n=-∞ to +∞(S_Y(ω)dω)的优化计算——留数在随机振动系统中的应用

本文的目的在于证明如下均方值的优化公式:Ψ_Y~2=(-1)~n/2a_?Δ_B/Δ_A,n=1.2.3…     

完整三角和的一种新估计

设q为一个正整数,f(x)=sum from n=0 to ka_nx~n(k≥4)是一个适合条件(a_1,a_2,…,a_k)=1,且(na_n,q)=(1l有|s(p~1,f(x)|≤(k-1)p~V,其中 1/2,1=1或偶数 V= ,以及对任意 (1+1)/2,1≥3且1为奇数自然数a有 |s(a,f(x))|≤e(0.247(k-1)~4)q(3/4)     

数列{(1 1/n)~n}极限存在性的一种简单证明

给出了数列{（1＋1/n）~n}极限存在性的一种简单证明．     

Stirling公式与Wallis公式之间的关系

Stirling公式为对于任意自然数n,n!=√2nπ(n/e)n·θ/e12n=(0＜θ＜1)及wallis公式limn→∞1/2n+1[(2n)!!/(2n-1)!!]2=π/2,由级数收敛理论及通过构造相应的收敛级数来揭示这二者之间的内在联系.     

广义Fibonacci数列和Lucsa数列的关系式

根据广义的Fibonacci数列{u_n}:u_n+1=Au_n+Bu_n-1和广义Lucas数列{v_n}:v_n+1=Av_n+Bv_n-1的定义, 采用初等方法证明了广义的Fibonacci数列和Lucas数列的几个新的关系式$\sum\limits_{i = 0}^n {{u_i}{v_{n - i}} = \left( {n + 1} \right){u_n}} $、 ${2^{n + 1}}{u_{n + 1}}=\sum\limits_{i = 0}^n {{2^i}{v_i}{A^{n - i}}}$、 $\sum\limits_{i = 0}^n {{{\left( { - B} \right)}^i}{v_{n - 2i}} = 2{u_{n + 1}}} $、 ${3^{n + 1}}{u_{n + 1}} = \sum\limits_{i = 0}^n {{3^i}{v_i}{A^{n - i}}} + \sum\limits_{i = 0}^{n + 1} {{3^{i - 1}}{u_i}{A^{n + 1 - i}}} $、 $\sum\limits_{i = 0}^n {{v_i}{v_{n - i}} = \left( {n + 1} \right){v_n}} + 2{u_{n + 1}} = \left( {n + 2} \right){v_n} + A{u_n}$、 $\left( {{A^2} + 4B} \right)\sum\limits_{i = 0}^n {{u_i}{u_{n - i}}} = \left( {n + 1} \right){v_n} - 2{u_{n + 1}} = n{v_n} - A{u_n} $, 将Fibonacci数列和Lucsa数列关系的结论进行了推广。     

非负Ricci曲率与开流形的拓扑

研究了具非负Ricci曲率和大体积增长的完备非紧Riemann流形的拓扑.利用Riemann流形上距离函数的临界点理论,证明了如果截面曲率KM≥C>-∞且lim r→∞ sup{(volB[(p,r)]/ωnrn-αM) rn+1/n-1}<2-n(log2/8√C) n+1/n-1 αM,则此流形就具有有限拓扑型.同时且证明了若给定常数C>0,α∈[0,2]和整数n≥2,则存在正常数ε=ε(n,C,α),只要kp(r)≥-C/ (1+r)α且vol[B(p,r)]/ωnrn<(1+ε)αM,则此流形就与□n微分同胚.推广改进了Sha-Shen等人的结果.     

自然数方幂和与Bernolli数

本文证明了自然数的方幂和sum from1=1 to n(1/n)i~k是关于n的k+1次多项式,揭示了这个多项式的系数与Bernoulli数之间的关系.     

关于分数算子的一个注记

Let f*g (z) be the convolution or Hadamard product of two functiom f(z) and g(z), that is, if f (z) =z+sum from n=2 to ∞a_nz~n and g(z) =z+sum from n=2 to ∞b_n z_n, then f*g(z)=z+sum from n=2 to ∞a_n b_n z~n (1) Let T denote the class of functions of the form     

关于Riemann—ξ函数sum from n=1 to ∞ 1/n~z的注记

本文给出Riemann—ξ函数sum from n=1 to ∞(1/n~z)求和的一种行之有效的简单方法,并推导出与有关文献中的某些不同的结论。     

一类复杂等幂和问题的探讨

本文讨论了数论中的一类复杂等幂和问题,证明了下述定理:两组自然数 A_(nj)=sum from i=1 to n(10~(n-i)a_(ij))和B_(nj)=sum from i=1 to n(10~(n-i)b_(ij)),若b_(i1)=a_(i1)+r_i b_(i2)=a_(i2)-(1+m)r_i b_(i3)=a_(i3)+mr_i,a_(i1)-(1+m)a_(i2)+ma_(i3)+(1+m+m~2)r_i=0 n≥K_2≥K_1≥1,s=1,2,则sum from j=1 to 3(sum from i=K_1 to K_2(10~(K_2-i)a_(ij)))~2=sum from j=1 to 3(sum from i=K_1 to K_2(10~(K_2-i)b_(ij)))~3 本文还讨论了m和r_i的取值范围。     

子样方差K阶递推公式

本文给出了子样方差递推公式:S_n~2 K=n/n K S_n~2 1/n K sum from i=n 1 to n K(X~2 n/n K 以及另外一种表达式:S_n~2 K=n/n K S_n~2 1/n k sum from to n K(X_J)~2 O(1/n~2)。     

关于丢番图方程 (2n~2 4n 1)~x 2(2n(2n 1))~y=(6n~2 4n 1)~z

本文作者提出了如下猜想:(T)如果正整数a,b,c,x,y,z 满足a~2 2b~2=c~2和a~x 2b~y=c~2,a≠1,那么x=y=z=2.并且证明了,对于a=2n~2 4n 1,b=2n(2n 1),c=6n~2 4n 1,n(?)0(mod4),这个猜想(T)成立.     

Descartes园定理的非欧推广

本文证明:如果在曲率为K的n维常曲率空间中n+2个球两两外切,用k_1,k_2……k_n(+2)表示它们的主曲率,则下列关系成立:(sum from i=1 to n+2 k_i)~2-n sum from i=1 to n+2 k_i~2=2nK当K=0,n=2时,即得Descartes园定理的原始形式。