Γ-环的一般根论和Baer根

本文首先建立Γ-环的一般根理论,然后利用该理论对素根给出了六种新的刻划。     

一致环确定的两种特殊类及其上根

给出了一致环类能够形成特殊类的两个充分条件．即所有的F一致环形成一个特殊类,其中F环类是弱特殊类;非S-半单的半素一致环类是特殊类,其中S是一种根性,该根性对应的根包含Baer根．如Levitizi根,Koethe根,Brown-McCoy根等．最后对一致环所确定的上根进行了刻画．     

Γ-环由元素性质确定的根(Ⅱ)

用文献［１］所建立的理论于Γ－环论中几类重要根类的考察,成功地说明了文献［１］的理论能统一处理Γ－环中由元素的性质所确定的根论问题,从而简化了人们的工作．同时利用元素的幂等性、零化性、零因子、强正则性、λ－正则性和ｆ－正则性引进了相应的六类新根和其它一些新根．     

结合环的近似P-根

对文献[1]中定义的结合环的近似P-根做了进一步地研究，证明了近似P-根为零的环的构造定理：近似P-半单纯环恒同构于一组近似P-半单索环的一个亚直接和。利用这个构造定理．给出了近似P-根的模刻划，最后证明了近似P-根为特殊根。     

原子根格中的大根环类

设W是全根格的子格。本文证明了:(1) 如果W是原子根格,则R∈W是W的大根环类当且仅当R包含W的所有原子;(2) 如果W是完备格且是原子格,则W中的所有大根环类的交是大根环类且是W的所有原子的并。作为特例给出了遗传根格、半遗传根格、次幂等根格中的大根环类的刻划,同时还给出了超幂零根格是否原子根格的一个判别条件。     

分次Jacobson根及其分次补根

在有限群的条件下，构造了两个分次特殊类Ｔ１和Ｔ２，其并Ｔ１∪Ｔ２恰好是全体分次右本原环类；设α１和α２分别表示由Ｔ１和Ｔ２所确定的分次上根，则α１∩α２恰是分次Ｊａｃｏｂｓｏｎ根。     

Г—环由元素性质确定的根（Ⅰ）

本文列出六个条件,研究出当Г－环元素具有的性质适合哪些条件就能确定根类,从而使判断元素的某个性质是可否可确定根类相当简化。此方法不仅使许多熟知的具体根类可由统一方式给出,还得到一大批Г－环新的根类。全文分二部分,本文是第一部分：基础理论。     

满足多项式恒等式的环及其根

论及的从理论上与Ｐ．Ｉ．代数平行的Ｐ．Ｉ．环在环论中有着与前者在代数中类似的地位，证明了Ｒ＝Ａ｛ｘ１……ｘｋ｝的Ｊａｃｏｂｓｏｎ根是幂零的，因而找出了一类较广泛的使Ｂ－根，Ｌ－根，Ｋ－根与Ｊ－根－致的环。同时，本文通过定义环的Ｐ．Ｉ．理想与Ｐ．Ｉ．根，着重讨论了存在于一个环内部的Ｐ．Ｉ．成分以及相应的半单纯环结构定理，指出Ｐ．Ｉ．半单纯素环类是特别环类。     

弱 Γ_N—环的最大(Ncumann)正则理想

本文主要结果如下:(1)每一个弱Γ_N-环 R 存在最大(Neumann)正则理想 M_(R),M_(R)被特征刻划了。(2)M_(R)是遗传根。M_(R)∩J_(R)=(0),其中 J_(R)是 R 的 Jacobson 根。(3)给出了弱Γ_N-环是(Neumann)正则环的一个特征该划。弱Γ_N-环是比结合环更广泛的环类,上述结果推广了结合环中的相应结果。     

满足多项式恒等式的环及其根

论及的从理论上与Ｐ．Ｉ．代数平行的Ｐ．Ｉ．环在环论中有着与前者在代数中类似的地位，证明了Ｒ＝Ａ｛ｘ１……ｘｋ｝的Ｊａｃｏｂｓｏｎ根是幂零的，因而找出了一类较广泛的使Ｂ－根，Ｌ－根，Ｋ－根与Ｊ－根一致的环。同时，本文通过定义环的Ｐ．Ｉ．理想与Ｐ．Ｉ．根，着重讨论了存在于一个环内部的Ｐ．Ｉ．成分以及相应的半单纯环结构定理，指出Ｐ．Ｉ．半单纯素环类是特别环类。     

广义矩阵环的特殊根

本文研究广义矩阵环的某些特殊根。即：广义矩阵环的Ｌｅｖｉｔｚｋｉ诣零根ｒｌ，诣零根ｒｋ，Ｊａｃｏｂｓｏｎ根ｒｊ，Ｂｒｏｗｎ－ＭｃＣｏｙ根ｒｂｍ和强素根ｒｓｐｒ，以及研究广义矩阵环Ａ，Ａｊｉ＾－环Ａｉｊ和环Ａ的特殊根之间的关系，对于环的超幂零根ｒ。     

关于有正则元环的交换性定理

为了研究环的交换性条件,依据Herstein关于交换性的著名结论以及Jacobson密度定理等理论,讨论有中心正则元的环,在一定条件下的交换性,推广了一系列已有定理,该结论中多项式条件比较宽松,涵盖了多个已有结论.     

本原环的注记

本文得到下列主要结果:本原环是除环,则它必定是无零因子环;无零因子环是除环或是 Jacobson 根环。最后还导出了半本原环是除环亚直和的条件。     

本质环及其决定的两个特殊根

定义了本质环 ,它同时是亚直不可约环和素环的推广 ;给出了本质环的一些描述及基本性质 ;研究了由本质环所决定的两个特殊根 .     

Γ-环的拟幂零根

本文在Γ－环中导入一个介于强幂零和诣零之间的概念：幂零，然后研讨由幂零确定的根．首先借用拟Ｐ－根方式得到了拟幂零根，然后，在Ｐ是同态闭的条件下用超限归纳法构造出拟Ｐ－根．这样作为特款，拟幂零根，拟强幂零根和拟强诣零根都可用超限归纳法构造出来     

关于超幂零根格与特别根格的原子

本文讨论了超幂零根格与特别根格的原子问题,给出了包含环R的最小超幂零根ZR是超幂零根格的原子的充要条件及包含环R的最小特别根ZR特别根格的充要条件。最后给出了France-Jackson提出的一个问题的部分回答。     

结合环的一个交换性定理

对Jacobson在结合环中的一个交换性条件做了进一步的推广，给出了环的一个交换性定理．     

双群结合环的强诣零根

本文继文献[1]进一步讨论双群结合环的诣零性,并得到:(1)每个强诣零单侧理想必包含于某强诣零理想内;(2)每个双群结合环必有强Koethe根,且此根包含它的所有强诣零单侧理想;(3)每个强Koethe半单环是一些强Koethe半单、素环的亚直和。