Analisi numerica di una disequazione variazionale legata al moto di un fluido attorno ad un ostacolo

Riassunto In un loro lavoro Brezis e Stampacchia ([1]) hanno dimostrato che il moto stazionario e irrotazionale di un fluido incomprimibile attorno ad un profilo alare si può ricondurre allo studio nel piano odografo della soluzione di una disequazione variazionale. Questo lavoro è dedicato allo studio numerico di tale disequazione variazionale col metodo degli elementi finiti. Particolare attenzione è rivolta alla valutazione dell'errore che si commette nell'approssimare la disequazione variazionale con un'altra la cui soluzione è definita su un dominio limitato; alla maggiorazione dell'errore di discretizzazione, e al delicato problema di riportare la soluzione dal piano odografo al piano fisico.

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In this paper we study the variational inequality which describes the steady flow of an incompressible fluid past a given profile from the numerical point of view. Use is made of the finite element technique and some error estimates are given.

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Questo lavoro, estratto dalla tesi di laurea (Rel. Prof A. Laratta), è stato eseguito nell'ambito del G. N. I. M. del C. N. R.     

Risoluzione numerica di una disequazione variazionale

Riassunto Sia Ω un insieme aperto, connesso e limitato dello spazio euclideo reale adn dimensioni ℝ ⁿ . Sia ψ una funzione reale definita sulla chinsura di Ω e non positiva in prossimità della frontiera Γ di Ω. Presentiamo un metodo per la risoluzione numerica della disequazione variazionale dove ℝ={u∈H ₀ ¹ (Ω)|u≥ψ su ea(u, v) è una forma bilineare coercitiva sul sottospazioH ₀ ¹ (Ω) dello spazio reale di SobolevH ¹ (Ω).

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Let Ω be an open, connected and bounded set of then-dimensional real Euclidean space ℝ ⁿ . Let ψ be a real function defined on the closure of Ω and non-positive near the boundary of Ω. We present a method for the numerical solution of the variational inequality where ℝ={u∈H ₀ ¹ (Ω)|u≥ψ on anda(u, v) is a bilinear form coercive on the subspaceH ₀ ¹ (Ω) of the real Sobolev spaceH ¹ (Ω).

     

Sul calcolo della soluzione di un problema di fluidodinamica con metodi alle differenze finite

Sommario Si considera un problema di fluidodinamica, a suo tempo studiato in convenienti classi funzionali. Si construisce un problema integro-differenziale ad esso equivalente ed a questo si adattano metodi alle differenze finite di tipo esplicito ed implicito. Si dimostra la stabilità di questi metodi nonchè la convergenza della soluzioni dei problemi alle differenze ottenuti, alla soluzione del problema in studio. Nello schema di tipo implicito non occorre introdurre ulcuna ipotesi restrittiva sul rapporto delle dimensioni della reticolazione del piano coordinato.

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This paper deals with a problem in fluidodynamic which has already been studied in appropriate functional classes. An integro-differential problem equivalent to the previous one is formulated and to this problem finite-difference methods of explicit and implicit type are adapted. The stability of these methods is proved, as well as the convergence of the solutions of the difference problems to the solution of the problem we are studying. The implicit-type scheme does not require any restrictive hypotesis concerning the ratio of the dimensions of the grid of the plane.

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Questo lavovo è stato eseguito nell'ambito dei gruppi di ricerca del C.N.R. nell'anno 1969.     

Sulla selezione di un sistema completo di funzioni ai fini dell’approssimazione in media della soluzione di un problema di tipo misto

Sommario Considerato un problema alle derivate parziali di tipo misto, adopero, per l’applicazione del metodo dei minimi quadrati, un sistema di funzioni soddisfacenti le condizioni al contorno del problema. Dimostro la completezza del predetto sistema facendo ricorso alla relazione di reciprocità relativa al problema in studio. Questo precedimento a mio parere inusitato, mi sembra conferisca semplicità alla dimostrazione.

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A differential problem of mixed type has been considered and a set of functions satisfying the boundary conditions of the problem is used in order to applicate the least-squares method. The completeness of this set of functions is proved by means of the adjointness relation for the given problem. This method unusual, seems to confer more simplicity to the proof.

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Questo lavoro è stato eseguito nell’ambito dei gruppi di ricerca del C.N.R. nell’anno 1969.     

Sull’applicazione della programmazione dinamica del Bellman ad un problema di prenotazione di posti

Sunto Considerato che su un mezzo di trasporto (aereo, treno, ecc.) si possa accedere da due o più stazioni solamente previa prenotazione e che le stazioni non siano in comunicazione fra loro,D. Fürst ha studiato e determinato, da diversi punti di vista, la ripartizione preventiva ottima del numero totale dei posti fra le varie stazioni. In questa Nota si affronta il problema, risolvendolo con il metodo della programmazione dinamica diR. Bellman, che ne fornisce una soluzione del tutto generale, permettendo tra l’altro di superare all’occorrenza anche alcune ipotesi restrittive, come quella che le stazioni non siano in comunicazione fra loro. Il metodo, risolvendo il problema in forma parametrica, ne fornisce una soluzione dinamica, perchè dà la ripartizione ottima non solo del numero totale dei posti disponibili, ma anche di un numero di posti qualsiasi, ovviamente inferiore a quello massimo. Questa fondamentale proprietà del metodo permette di ridistribuire, senza ulteriori calcoli, in ogni momento ed in maniera sempre ottima, il numero dei posti eventualmente non utilizzati; numero che può essere rilevato periodicamente, stabilendo la comunicazione fra le stazioni allo scadere di convenienti intervalli di tempo, oppure appena una, almeno, delle stazioni ha esanrito l’aliquota dei posti assegnatile. Un breve richiamo del metodo della programmazione dinamica, nell’impostazione indicata daM. Volpato, precede lo studio del problema.

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Considering that it is possible to get on a means of transportation (aircraft, train, etc.) from two or more stations only upon booking and that there is no communication from one station to another,D. Fürst studied and resolved, from various points of view, the optimum preventive allotment of the total number of seats among the stations. In this paper the A. deals with the problem solving it byR. Bellman’s method of dynamic programming, that supplies a general solution, permitting among other things to get over, if necessary, even restrictive hypotheses, such as when stations have no communication with one another. The method, solving the problem in parametric form, supplies a dynamic solution, because it gives the optimum allotment not only of the total number of available seats, but also of any number of seats, obvionsly lower than the maximum. This fundamental property of the method permits to allot again, without further calculi, at any moment and always in the optimum way, the number of non utilized seats; this number can be learned periodically, by fixing the communication among stations at convenient intervals of time, or as soon as one, at least, of the stations has exhausted its aliquot of seats. A concise recall of the dynamic programming method, in the formulation done byM. Volpato, precedes the study of the problem.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Gruppo di Ricerca n. 38 del Comitato per la Matematica del C. N. R. per l’anno accademico 1963-64.     

Un algoritmo per la risoluzione numerica di una disequazione variazionale relativa al comportamento elastoplastico di una trave appoggiata agli estremi

Sommario Si presenta un algoritmo per la risoluzione numerica di una diseguaglianza variazionale relativa al comportamento elasto-plastico di una trave appoggiata agli estremi.

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Summary An algorithm is developed for the numerical solution of a variational inequality related to an elastic-plastic beam.

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Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.I.M.     

Esistenza,unicità e calcolo della soluzione di un sistema non lineare

LetX be a point of the realn-dimensional Euclidean space ? ⁿ ,G(X) a given vector withn real components defined in ? ^u ,U an unknown vector withs real components,K a known vector withs real components andA a given reals×n matrix of ranks. Assuming that, for every pair of pointsX ₁ , X₂of ? ⁿ ,G(X) satisfies the conditions $$(G(X_1 ) - G(X_2 ), X_1 - X_2 ) \geqslant o (X_1 - X_2 , X_1 - X_2 )$$ and $$\left\| {(G(X_1 ) - G(X_2 )\left\| { \leqslant M} \right\|X_1 - X_2 )} \right\|$$ wherec andM are positive constants, we prove that a unique solution of the system $$\left\{ \begin{gathered} G(X) + A ^T U = 0 \hfill \\ AX = K \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ exists and we show a method for finding such a solution     

Sul calcolo numerico della soluzione di un problema ai limiti per l’equazione differenzialey′=f(x,y,λ)

In this paper the Author gives a method of solving numerically the problem:

$$\begin{gathered} y'_\lambda (x) = f(x,y_\lambda (x),\lambda ) \hfill \\ y_\lambda (x) = y_1 ,y_\lambda (x_2 ) = y_2 \hfill \\ \end{gathered} $$     

Su di un problema di A. M. Hobbs

Sommario Si dimostra in questa nota un Teorema di esistenza relativo alle classiF _n,12 (n≥12) di grafi planari con 12 vertici di valenza 5 edn−12 vertici di valenza 6, risolvendo così un problema posto da A. M. Hobbs.

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In this article we prove, in opposition to a conjecture stated by R. H. Fox, the existence of a class of maximal planar graphs with exactly 12 vertices of valence 5 and all other vertices of valence 6.

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Lavoro svolto nell'ambito del GNAFA, CNR.     

Tecniche Monte Carlo per un metodo di determinazione della probabilità di mancanza di potenza erogata in una rete di centrali elettriche

A method based on Monte Carlo techniques has been realized to determine the probability density for a function ofn random variables statistically independent. It is here used to determine the production loss probability not greater than a preset value for a network of 433 power stations.

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Work performed at Servizio Automazione CPN.     

Su una applicazione di un teorema di a. Coppel

Sommario Utilizzando un risultato di A. Coppel, si costruiscono iterazioni convergenti atte al calcolo di radici reali di polinomi algebrici di grado non superiore a 7, prescindendo dalla preliminare separazione delle radici medesime.

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Starting from a result by A. Coppel, convergent iterations are established that are suitable for computing real roots of algebraic polynomials of degre 7, leaving the preliminary separation of the roots themselves out of consideration. The strength of the method is illustrated by examples on computer.

     

Nucleo di una rete PERT e problema dei ritardi

Summary The sub-division of the total floats of a PERT Project is a difficult problem and it is computationally burdensome. These difficulties have been decisively overcome by breaking the problem up into small independent problems. This is made possible by considering a subnet of the PERT network under examination. This subnet, called a nucleus, is easy to identify and its graphic properties are closely connected to concepts of the slack problem. It is particulary the knowledge of the nucleus' connectivity that makes it posible to sub-divide the slack problem as referred to above. In order to demonstrate the effective usefulness of this means, a table is given describing a nucleus' characteristics with an example enconntered on a practical level.      

Sulla dipendenza degli autovalori di un problema di elasticità tridimensionale da un parametro

The eigenvalue problem of three dimensional linear elasticity operatorL, for a cube and under the Dirichlet condition, is considered. Various procedures for the approximate calculation of the eigenvalues of the operatorL are presented. Numerical tables are reported for several different values of the parameter.      

Su di una equazione funzionale della programmazione dinamica

Sommario Un problema economico di programmazione degli interventi conduce allo studio dell'equazione funzionale . Essa non rientra nelle classi di equazioni della programmazione dinamica per le quali attualmente si conoscono teoremi di esistenza ed unicità. Sotto condizioni naturali per la funzionek (x) si dimostrano esistenza ed unicità di una soluzione ϕ (x) tendente a zero perx tendente a zero. Si considerano alcuni casi particolari e si presenta un procedimento di approssimazioni successive.

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An economic problem of development programming leads to the study of the functional equation . It does not belong to any class of dynamic programming equations for which at pressent existence and uniqueness theorems are known. Under proper requirements for the functionk(x), existence and uniquenness of a solution ϕ(x) convergent to 0 whenx→0 is prooved. Some particular cases are considered and an iterative method of successive approximations is given.

     

Sulla risoluzione numerica di un problema misto in fluidodinamica

In this work the problem of the numerical solution of a third order partial differential equation, which is used in various fields of fluid dynamics, has been faced. Two discrete methods (explicit and implicit) have been used to prove the convergence theorem and some estimates of error have also been given. Various experimental test problems have been performed in order to estimate the accuracy of the different methods.      

Alcune considerazioni numeriche relative alla soluzione di un noto problema ai limiti per l'equazionex=f(t,x,λ)

An iterative method for the computation of the solution of a boundary value problem for the equation is discussed from a numerical point of view. A practical exemple is also given.

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Lavoro eseguito nell'ambito del Gruppo n^o 11 del Comitato per la Matematica del C.N.R. nel corso dell'anno accademico 1967–68.     

Un procedimento di interpolazione per una funzione realef(P) di cui è assegnata la restrizione ad un generico insieme finito di punti

Riassunto Viene dato dapprima un procedimento di interpolazione (basato sulle formule di Taylor) per funzioni di cui sono noti i valori in un generico insieme finito di punti; viene poi indicato un affinamento del metodo stesso. Nell'ipotesi che le coordinate dei punti siano date in on sistema di riferimento generale curvilineo, si indica come possano valutarsi sia le vere grandezze delle componenti controvarianti del vettore gradiente sia il laplaciano della funzione.

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Summary A procedure of interpolation is given for a function of two variables know on a finite set of points. The procedure is used in particular in the case where the coordinates of the points are given in a curvilineas system of reference.

     

Riduzione della varianza nei metodi Monte Carlo come problema di ottimizzazione inR n

In the frame of Monte Carlo methods a tecnique for reducing variance is considered. Generalizing a procedure suggested in a previous work [1], we give a method wich reduces the variance by solving an unconstrained optimization problem. Concerned with the approximate integration, some numerical tests are considered. The described technique is shown to allow more accurate results than some known in literature.      

Un ulteriore esempio relativo ad un certo problema di approssimazione negli spaziL 2 dφ [a,b]

Summary See the first thirtheen lines of Introduction and Theorem 1.I.