包含Smarandache幂函数的均值问题

利用初等数论和解析数论的方法研究著名的Smarandache幂函数SP(n)的均值估计问题.首先给出Smarandache幂函数SP(n)的定义,几个重要的性质和相关引理.在此基础上得到了一些有意义的结果,即在简单数序列上得到了∑n∈A n≤x1/S(SP(n))和∑n∈A n≤x S(SP(n))的均值.     

k-free数与其逆的差

运用Kloosterman和、特征和以及三角和的一些基本性质和估计得到了k-free数与其逆的差的一个渐近公式.并且证明了:当k≥2,m≥2,n2,n∈N,k∈N,m∈N,ε0时,M(n,m;k)=2φ(n)nm/ζ2(k)(m+1)(m+2)+O(2mnm+1/2+2/(k+1)+2εd(n)σ-1/2(n)σ(n)).特别是当k=2时,有无平方因子数与其逆的差:M(n,m;2)=72φ(n)nm/π4(m+1)(m+2)+O(2mnm+1/2+2/(k+1)+2εd(n)σ-1/2(n)σ(n).此处的d(n)表示因数函数,(n)表示欧拉函数.     

关于m进制中数字和函数的三次均值

设n,m∈N ,a(n)为n在m进制中的数字和函数.研究了α3(p)的均值性质,给出了一个求和公式.     

一个包含Smarandache函数S（n）和Z1（n）的方程及其整数解

对任意正整数n,著名的Smarandache函数S（n）定义为S（n）=min{m：m∈N,n｜m!）,而伪Smarandache函数Z1（n）定义为Z1（n）=min{m：m∈N,n｜1^2＋2^2＋…＋m^2）．研究方程Z1（n）＋1=S（n）的可解性,并利用初等方法得到了该方程的所有正整数解,同时也给出了所有解的具体表示形式．     

具有有限时滞的差分系统的稳定性

考虑具有有限时滞的差分系统 :x(n +1) =f (n,xn) ,n∈ Z,(1)其中 f :Z× Cd → Rk ,f(n,0 )≡ 0 ,n∈ Z,Cd 是所有函数φ:Z[- l,0 ]→ Rk,Z[- l,0 ] ={ - l,… ,- 1,0 }构成的集合 ,xn 定义为 xn(m) =x(n +m) ,m∈ Z[- l,0 ] .对向前差分算子得到了系统 (1)的零解的一致渐进稳定性 .     

关于中心化子的一类映射

X表示实数域或复数域F上的Banach空间,设M是X上的一个标准算子代数,I是M的单位元.证明了若可加映射φ:M→B(X)满足(V)A∈M,(E)非零实数m和n,有(m+n)φ(A2)-mAφ(A)-nφ(A)A∈FI.则(E)λ∈F,使得φ(A)=λA.     

数论函数及其方程

n∈N,著名的Euler函数φ(n)定义为不大于n且与n互素的正整数的个数.而Smaran-dache可乘函数S1(n)定义为S1(1)=1,如果n>1且p1α1p2α2…pkαk为n的标准素因数分解式,其中p1相似文献   

三角代数上的n阶导子系

设U=Tri(A,M,B)是三角代数,Dn={δ0,δ1,…,δn}为U上的一组可加映射且δ0=I.若A,B∈U有δm(AB)=∑mk=0Cmkδk(A)δm-k(B)(m=0,1,2,…,n),则称Dn为U上的一个n阶导子系,若A∈U有δm(A2)=∑mk=0Cmkδk(A)δm-k(A)(m=0,1,2,…,n),则称Dn为U上的一个n阶Jordan导子系.利用算子论的方法讨论了三角代数上的n阶导子系,证明了三角代数上的每个n阶Jordan导子系都是n阶导子系.     

数学归纳法的几个推广

将通常适用于自然数系的数学归纳法推广到了下有界整数集{n|n∈Z,n≥n0}与上有界整数集{n|n∈Z，n≤m0}及全体整数集Z。并证明了关于命题{P(m,n)}m,n∈z的二元数学归纳法。     

关于Smarandache函数的一个方程

n∈N+,著名的伪Smarandache函数Z(n)定义为满足∑mk=1k能被n整除的最小正整数m,即Z(n)=min{m:n|(m(m+1))/2}.Smarandache互反函数Sc(n)定义为满足y|n!且1≤y≤m的最大正整数m,即Sc(n)=max{m:y|n!,1≤y≤m;m+1 n!}.借助同余方程,利用初等方法,分析数论函数性质,研究了包含伪Smarandache函数Z(n),Smarandache互反函数Sc(n)的方程Sc(n)+Z(n)=2n的解的问题,并给出一些有趣的结果.     

一类包含Smarandache对偶函数方程的解

橙 n ∈ N＋，Smarandache对偶函数s＊（n）定义为最大的正整数m ，使得m！｜ n 。利用初等数论的方法，研究了Smarandache对偶函数方程∑d｜n 1s＊（d）＝ω（n）Ω（n）的可解性，并获得了该方程的所有正整数解。     

一个包含Smarandache函数的方程

应罗马尼亚数论专家F．Smarandache教授的要求,寻求一个包含Smarandache函数的方程的整数解．利用初等方法,获得了这个方程的所有正整数解,发展了F．Smarandache教授在《Only Problems,Not Solution））中涉及的相关研究工作．     

关于伪Smarandache函数的一个方程

任意n∈N＋,伪Smarandache无平方因子函数Zw（n）定义为最小的正整数m,满足n｜m^n．Z（n）定义为最小的正整数k,满足n｜（k（k＋1））/2．用初等方法研究了方程Zw（Z（n））-Z（Zw（n））=0的可解性,并证明了该方程有无穷多个正整数解．同时给出了不等式Zw（Z（n））-Z（Zw（n））〈0和Zw（Z（n））-Z（Zw（n））〉0的正整数解．     

数论函数方程φ（x）=S（x~k）的非平凡解

对于正整数n,设φ（n）和S（n）分别是Euler函数和Smarandache函数.对于给定的正整数k,如果正整数x适合x〉1以及φ（x）=S（xk）,则称x是方程φ（x）=S（xk）的非平凡解.运用初等数论方法证明了：（ⅰ）方程φ（x）=S（xk）的平凡解x都满足2k     

一个关于SmarandacheLCM对偶函数的方程

橙 n ∈ N＋,著名的Smarandache LCM 函数的对偶函数定义为 SL ＊（n）＝ max｛k｜[1,2,？,k]｜ n ,k∈ N＋｝,Ω（n）表示n的所有素因子的个数。利用初等数论和分类讨论的方法研究了一个包含SL ＊（n）及素因子函数方程∑d｜n 1SL＊（d）＝Ω（n）的可解性,并给出了这个方程的所有正整数解的具体形式。     

关于三角数的Smarandache连续数列

一个自然数n称为三角数,如果n=m（m＋1）/2,其中m为任意正整数.三角数的Smarandache连续数列E={Tn}={1,13,136,13 610,1 361 015,136 101 521,13 610 152 128,…},即Tn就是由前n个三角数相继连接起来构成的正整数.利用初等方法以及等比级数的性质研究三角数的Smarandache连续数列E的算术性质,并给出其对数倒数形成的无穷级数的敛散性的一个判别准则.     

关于F．Smarandache因子分拆问题

对于F.Smarandache因子分拆,利用初等及组合方法研究一些特殊整数的所有不同分拆个数的计算问题,并给出一个确切的计算公式,从而解决了Amarnath Murthy及Charles Ash-bacher提出的2个猜想!