Una variazione del metodo di Halley

Sommario In questa nota si studia una classe di metodi iterativi, per la ricerca delle radici di una equazione, che include il metodo di Halley. Si prova che ogni metodo della classe è del terzo ordine e si calcola la costante di errore per ognuno di essi. Si individuano poi quei metodi della classe che sono globalmente convergenti per funzioni genus zero o uno. Infine is trova un metodo che ha una costante in valore assoluto più piccola di quella di Halley. Tale metodo è di tipo razionale e involge le stesse derivate di quello di Halley.

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We study a class of iterative methods devoted to the search of the roots of an equation. The class includes Halley's method. We prove each method belonging to the class to be of third order and for it evaluate the error constant. Among such methods we identify the ones which are globally convergent for zero or one genus functions. In particulary we find a method which has an error constant whose absolute value is less than the Halley's one. This is a rational one-point method which involves the same derivatives as Halley's method.

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Lavoro svolto nell'ambito del gruppo G.N.I.M.     

Sviluppo di memorie di funzioni e logiche di comando per la simulazione analogica iterativa di sistemi a derivate parziali

Riassunto Viene descritta una apparecchiatura che permette l'nso di una calcolatrice analogica normale per la risoluzione iterativa di sistemi a derivate parziali. Essa è costituita essenzialmente da una memoria di funzioni, del tipo a tamburo di condeusatori, e da un circuito di comando, che coordina l'operazione della memoria e del cirenito analogico iterativo.

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The equipment here described has been developed to allow the use of a normal analog computer for the iterative solution of partial differential equations. It contains essentially a memory for several functions, of the capacitor drum type, and a control circuit, which coordinates the operation of the memory and of the iterative analog circuit.

     

Schema di prove ripetute «senza rimessa» a due variabili ed a due alternative per ciascuna variabile

Sommario In questo articolo è stata studiata la distribuzione bivariata che si ottiene considerando simultaneamente i successi di due modalità di due caratteri di una popolazione quando dalla stessa si estraggono ?senza rimessa?n unità. Di detta distribuzione si sono determinati la legge di probabilità ed i momenti. Inoltre è stata rivolta particolare attenziono alle distribuzioni subordinate che equivalgono alla somma stocastica di dne distribuzioni ipergeometriche. Tra l'altro si è determinato che le medie subordinate giacciono su rette e che le varianze subordinate giacciono su parabole. Completano la memoria esempi numerici ed una esperienza tratta dalle estrazioni dei numeri del lotto la quale mostra molta aderenza alla distribuzione studiata. In appendice si è riportato il flow-chart per il calcolo della probabilità di una determinazione della distribuzione esaminata.

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Summary In this article we have examined the bivariate distribution that results when we consider jointly the succes of two qualities of a population when we draw ?withont replacement?n elements from it. Of this distribution we have examined the probability law and its moments. Moreover we have considered the conditional distributions that are the stocastique sum of two binomial distributions. In particular we have determined that the conditional averages lies on straight lines. This paper is completed by numerical examples and an experience that we have derived from the ?State Lottery? which conforms to the examined bivariate distribution. The flow-chart which is in the appendix can be used to calculate the probability of a determination of the bivariate distribution shown in this note.

     

Sulla determinazione della inversa delle matrici tridiagonali e tridiagonali a blocchi

Sommario Si espone un procedimento che consente il calcolo in una forma esplicita, abbastanza compatta, degli elementi della inversa di una qualsiasi matrice tridiagonale, con determinante diverso da zero. I risultati sono estesi a matrici tridiagonali a blocchi con sottomatrici fra di loro commutative.

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We give here a method for the direct inversion of a tridiagonal non singular matrix. The method applies also to block-tridiagonal matrices.

     

Proprietà di alcune matrici e loro utilizzazione in problemi differenziali

Sommario Si utilizzano le proprietà di una classe di matrici per ottenere una maggiorazione dell'errore di discretizzazione che si presenta nella risoluzione numerica, col metodo delle differenze finite, di problemi al contorno per equazioni differenziali ordinarie.

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We use the properties of a matrix class to obtain discretization error bounds for some approximations to boundary value problems.

     

Modelli per l’interferenza di macchine con priorità nei servizi

Riassunto Si studia un problema di interferenza di macchine che si arrestano per più cause e che vengono assistite da un unico servente; questi osserva una disciplina di servizio che attribuisce priorità ad una delle cause di arresto. Più precisamente si considerano i casi in cui i processi delle chiamate per servizio sono poissoniani e le distribuzioni dei tempi di servizio esponenziali od erlangiane. Si indica, per la risoluzione numerica del problema, un procedimento di calcolo ricorrente.

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This is a study of an interference problem with several interruption canses, one of which is the main, on machines served by one operator only. More exactly the cases are considered here when the imputs are Poisson processes and the distributions of service times are exponential or Erlangian ones. For the numerical solution of the problem a recurrent method is indicated.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Raggruppamento n. 27 del C. N. R. (1967–68).     

Programma «procuste» per l'analisi di linguaggi naturali

Sunto Viene tentata la deduzione di informazioni sulla struttura del primo livello di organizzazione che si incontra in una lingua naturale come l'Italiano, cioè sul passaggio da lettere a sillabe. Si descrive un procedimento matematico che può dare ?sillabe? diverse da quelle della grammatica convenzionale, seppure per certi aspetti più convenienti; quelle convenzionali potrebbero facilmente essere ottenuti con una facile estensione del procedimento, ove lo si volesse. Il presente lavoro appartiene a una serie sulla analisi generale delle forme, ed ha lo scopo di fornire una prima base per il lavoro sperimentale che si ritiene necessario prima di approfondire ulteriormente la teoria.

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Summary An attempt is made to deduce structural information about the first organizational level met in a natural language such as Italian, viz. the passage from letters to syllables. A mathematical procedure is outlined which can yield ?syllables? different from, and in some respects more convenient than, those of the conventional grammar; the latter ones could be easily deduced in a second step, if wanted. This work is one of a series on general form analysis, and is intended to provide a first basis for the experimental work which is deemed necessary before further attempts at theorizing are made.

     

Sulla computazione di funzioni ricorsive

Sommario In questo articolo introduciamo un Calcolo Funzionale per discutere il problema della computazione delle funzioui definite ricorsivamente. Come è ben noto dalla letteratura, la computazione di una funzione ricorsiva può dare differenti valori, a seconda che sia eseguita con la leftmost-outermost rule, o con la leftmost-innermost rule. Nel calcolo precedentemente menzionato diamo una condizione sufficiente perché la computazione di una funzione dipenda dalla regola di computazione utilizzata.

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In this paper a Function Calculus is introduced in order to discuss the problem of computing recursively defined functions. As it is well known from literature, the computation of a recursive function may give differents values whether executed with the lefmost-outermost rule or with the leftmost-innermost rule. In the above mentioned calculus we give a sufficient condition in order that the computation of a function depends on the computational rule.

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La ricerca è stata effettuata nell'ambito del Contratto N. 71.02104/75 del Consiglio Nazionale delle Ricerche (Progetto Speciale per l'Informatica).     

Caratterizzazione dei reticoli continui per la teoria della computazione di Dana Scott

Sommario La struttura dei reticoli continui, che sta alla base della teoria, viene studiata e se ne dà una precisa caratterizzazione in termini di retrazioni di algebre di Boole. Viene inoltre presentato un teorema particolarmente utile per verificare la continnità di reticoli completi contennti in reticoli continui.

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The structure of continuous lattices, on which the theory of computation of Dana Scott is based, is investigated and a precise characterisation in terms of retractions of Boolean algebras is given. In particular, a theorem useful to check the continuity of complete lattices contained in continuous lattices is presented.

     

Reduction of storage employed to represent families of information structures

The aim of this paper is to analyze a representation of information structures which minimizes the storage employed for their memorization. These structures must belong to a family satisfying given conditions. This representation is realized by constructing alisting, which is a one-one correspondence between the family of information structures and the setD of non-negative integers. The listing algorithm presented in this paper is an extension of that one given in [5]. The run time of both these listing algorithms and the resulting saving of storage are analyzed. As examples of application of the extended listing method, the listings of the family of structured programs according to [1] and of the families of ordered and non-ordered forest structures are treated extensively.

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Sommario Lo scopo di questo lavoro è studiare un metodo di rappresentazione di strutture informative, che soddisfano condizioni date, tale da minimizzare lo spazio necessario per la loro memorizzazione. Tale metodo di rappresentazione è realizzato mediante la costruzione di una corrispondenza biunivoca tra la famiglia di strutture informative e l'insiemeD dei numeri interi non negativi. L'algoritmo che realizza tale corrispondenza qui presentato è una estensione dell'algoritmo dato in [5]; di entrambi gli algoritmi è data una analisi sia del tempo di esecuzione sia dello spazio di memoria occupato. Infine, a totolo di esempio, il metodo qui presentato è applicato alla famiglia dei programmi strutturati secondo [1] e alle famiglie delle strutture a foresta ordinata e non ordinata.

     

Sull’approssimazione di funzioni continue mediante operatori lineari

Sommario Si introduce un operatore lineare, definito su un insieme di funzioni reali, continue e limitate, definite in una parte diR ⁿ e si propongono alcune formule generali di approssimazione. Successivamente si stabilisce un procedimento che consente di estendere a funzioni di più variabili ogni trasformazione lineare di funzioni di una variabile. Si ottengono, così, formule di approssimazione che contengono un termine residuo, di facile costruzione. Si trovano criteri di convergenza uniforme e formule di maggiorazione del resto. Come applicazione si ottengono in modo semplice ed uniforme risultati già noti, peraltro conseguiti con procedimenti diversi, ed altri nuovi. In particolare si migliora un risultato di Quilghini, riguardante i polinomi di Hermite-Fejer in due variabili ed un teorema di Merli relativo alla convergenza dei polinomi interpolanti di Lagrange.

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We introduce a linear operator defined on a set of real continuous and bounded functions, defined on a subset ofR ⁿ , and suggest some approximation formulae. Moreover we establish a method which extends any linear transformation of functions of one real variable to functions of many variables. Thus we obtain approximation formulae with remainder of easy construction. We find criteria of uniform convergence and evaluations of errors. As application we obtain well known results differently and some else new. We improve a theorem of Quilghini, about polynomials of Herminte-Fejer in two variables, and a theorem of Merli concerning the convergence of Lagrange’s interpolating polynomials.

     

Un metodo iterativo non stazionario per la risoluzione di equazioni algebriche

Sommario In questa nota, mediante una successione di metodi che generalizzano quello di Laguerre ([4]), costruiamo un metodo non stazionario per la risoluzione di equazioni algebriche. Applichiamo poi il metodo al calcolo degli autovalori di matrici in forma di Hessemberg. Si ottengono risultati rilevanti, in particolare per zeri complessi e per autovalori mal condizionati.

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In this paper, by means of a class of methods that generalise the Laguerre’s method, we describe a nonstationary iterative method to solve polynomial equations. We then apply this method to the matrix eigen-value problem. We have numerical appreciable results expecially for complex roots and ill-conditioned eigenvalues.

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Lavoro svolto nell’ambito delle attività del G.N.I.M.     

Sulla valutazione dell'errore nel calcolo numerico degli integrali trigonometrici

Sommario La tecnica di Davis è applicata per determinare una maggiorazione dell'errore di un metodo numerico per il calcolo degli integrali trigonometrici. Tale maggiorazione permette un confronto tra note formule che possono ottenersi come casi particolari del metodo considerato.

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Davis'technique is applied to obtain an error bound for a numerical calculation method of trigonometric integrals. This expression may be used to compare many quadrature formulas which are special cases of the above method.

     

Formule ottimali di integrazione numerica del tipo predittore-correttore

Riassunto In questo lavoro si prende in considerazione la definizione di stabilità per le formule di integrazione approssimata a passo multiplo, per la quale è stata adottata da Wilf e da altri autori la denominazione distabilità assoluta e si dà una analoga definizione per le formule del tipo a coppie predittore-correttore. Inoltre, facendo uso di un criterio di stabilità applicato da Wilf per la ricerca di formule ottimali del tipo correttore, si indica un procedimento per la determinazione di comppie ottimali predittore-correttore che, nella pratica del calcolo, sono preferite all'uso iterato di un solo correttore.

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Wilf's definition of absolute stability for corrector methods in the numerical integration of differential equations is modified to apply to couples of predictor-corrector formulae. An optimal predictor-corrector formula is indicated.

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Gli esperimenti numerici e la rappresentazione grafica dei risultati sono stati eseguiti in collaborazione con la dottoressa L. Manacorda Galletti che qui colgo l'occasione di ringraziare. La ricerca si è svolta nell'ambito del gruppo di ricerca n. 22 del Comitato per la Matematica del C. N. R.     

Error bounds for direct and composite cubature formulae-II

In this part II, narrow cubature error bounds given by Lether are used and made suitable for comparing direct and composite integration techniques for two-dimensional Gauss-Legendre formulae. The results we obtain support the conclusion that in many cases composite formulae turn out to be preferable in comparison with direct ones.

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Sommario In questa parte II vengono utilizzati limiti di errore di cubatura particolarmente stringenti dati da Lether, rendendoli adatti al confronto fra tecniche dirette e composte per formule di integrazione bidimensionale di Gauss-Legendre. I risultati confermano che, contrariamente ad una opinione abbastanza diffusa, le formule composte possono, in molti casi, risultare preferibili alle dirette.

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This work has been done within the GNAFA-CNR research activity.     

Sul calcolo degli spettri di onde modulate in frequenza

Sommario Si è determinato numericamente, con l'ausilio di un elaboratore elettronico, l'andamento dello spettro di un'onda modnlata in frequenza, adattando al calcolo automatico metodi già proposti ed estendendone la applicabilità all'intero campo di variazione dei parametri. Si propone una semplice relazione approssimata, praticamente valida in tutto il campo, che fornisce i corretti valori delle frequenze delle onde componenti lo spettro ed un insieme di formule che nel loro vasto e ben determinato campo di validità delineauo un quadro pressocchè completo dell'andamento degli spettri.

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Summary The Spectral distribution of frequency-modulated wave has been evaluated with the use of a digital compnter. Methods already proposed are used and extended to cover all the variations of parameters. An approximate relation expressing the frequencies of the waves composing the spectrum is derived and several formulas are presented that enable one to obtain an almost complete picture of the spectal behavionrs.

     

Sull'invarianza dei codici lineari rispetto a certe trasformazioni

Sommario In questo lavoro si considerano alcuni tipi di trasformazioni lineari che lasciano invariato un codice, inteso come sottospazio lineare dello spazioV _n di tutte len-uple costruite con elementi diG(A). Si considerano dapprima gli automorfismi diV _n che lasciano invariato un codice sistematico assegnato e si trova la forma di tali trasformazioni. Si considerino poi gli operatori di proiezione, che possono portare ad una semplificazione dello schema di decodifica dei codici lineari.

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In this article a code is considered as a linear subspace of the spaceV _n , formed by all of then-tuples built up by means of elements fromG(A) (Galois field of orderA). Certain linear transformations are studied, which do not affect a given code: a class of tranformations of this type is looked for and characterized among the automorphisms ofV _n . Then the projection operators are considered, and a possible simplification in the decoding scheme for linear codes is pointed out.

     

Un metodo per l'inversione numerica della trasformata di laplace

Riassunto Si presenta un metodo per il calcolo dell'antitrasformata di Laplace che utilizza la serie cardinale di Whittaker; si indica una classe di funzioni per la quale è possibile stimare l'errore. Si riportano esempi numerici.

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A numerical method to compute the inverse Laplace transforms by using Whittaker's cardinal series is presented. The error bound is estimated. Numerical results are given.

     

Analisi numerica di una disequazione variazionale legata al moto di un fluido attorno ad un ostacolo

Riassunto In un loro lavoro Brezis e Stampacchia ([1]) hanno dimostrato che il moto stazionario e irrotazionale di un fluido incomprimibile attorno ad un profilo alare si può ricondurre allo studio nel piano odografo della soluzione di una disequazione variazionale. Questo lavoro è dedicato allo studio numerico di tale disequazione variazionale col metodo degli elementi finiti. Particolare attenzione è rivolta alla valutazione dell'errore che si commette nell'approssimare la disequazione variazionale con un'altra la cui soluzione è definita su un dominio limitato; alla maggiorazione dell'errore di discretizzazione, e al delicato problema di riportare la soluzione dal piano odografo al piano fisico.

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In this paper we study the variational inequality which describes the steady flow of an incompressible fluid past a given profile from the numerical point of view. Use is made of the finite element technique and some error estimates are given.

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Questo lavoro, estratto dalla tesi di laurea (Rel. Prof A. Laratta), è stato eseguito nell'ambito del G. N. I. M. del C. N. R.     

Un metodo euristico per la verifica dell'isomorfismo di due grafi semplici non orientati

Sommario Viene presentato un procedimento per la verifica dell'isomorfismo di due grafi semplici non orientati. I grafi vengono rappresentati da insiemi di insiemi: ogni insieme corrisponde ad un nodo del grafo ed ai relativi collegamenti con gli altri nodi. Il procedimento consiste nell'effettuare successive suddivisioni dell'insieme di nodi in sottoinsiemi corrispondenti nei due grafi; una prima suddivisione viene eseguita in base a certe proprietà die nodi legate alla struttura dei grafi stessi; le suddivisioni successive vengono ottenute applicando una regola di tipo iterativo. Lo scopo finale, che è quello di ottenere dei sottoinsiemi corrispondenti tutti ad un solo elemento—che consentano cioè di stabilire una corrispondenza binnivoca immediata tra i nomi dei nodi dei due grafi—non viene però sempre raggiunto. Tuttavia, in molti casi, questo procedimento consente di ridurre notevolmente il tempo di calcolo che sarebbe richiesto dalla applicazione di un metodo di tipo completamente enumerativo.

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A method for determining the isomorphism of two non-oriented graphs is herein presented. Each graph is represented by means of a set of sets; each one of the latter sets represents a node of the graph and the links connecting it to other nodes. The method consists in subsequent subdivisions of the sets of nodes into subsets of the two graphs having a one-to-one correspondence; a first subdivision is obtained on the base of certain properties of the nodes, which depend on the structure of the graphs; subsequent subdivisions are obtained by applying an iterative rule. The final purpose, which is to obtain corresponding subsets, each composed of a single node (so that a biunivocal correspondence can immediately be established between the nodes of the graphs), is not always achieved. Anyhow, this method considerably reduces—in many cases—the computation time with respect to the time required by a completely enumerative method.