关于Diophantine方程4x2n-py2=1

设n>1是正整数,p是大于3的奇素数.本文运用初等数论的方法,结合广义Lebesgue-Nagell方程和广义Fermat方程的性质,研究了丢番图方程4x2n-py2=1的整数解,并证明了对于任意奇数n,此方程没有正整数解(x,y).     

Diophantine方程x~3-8=py~2解的研究

研究丢番图方程正整数解的情况.运用初等方法及同余理论,证明了Diophantine方程x3-8=py2,当p是奇素数且p=3(24k+19)(24k+20)+1,其中k是非负整数,则方程x3-8=py2无正整数解.给出了丢番图方程x3-8=py2无正整数解的一个充要条件.     

方程x~3-8=py~2有本原正整数解的判别条件

设p是适合p≡1(mod6)的奇素数.根据二次Diophantine方程的性质,运用初等方法给出了方程x3-8=py2有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的新的判别条件.当p≡1或7(mod24)时,该方程无解;当p≡13(mod24)时,该方程有解(x,y)=(3r2+2,3rs),其中s是适合ps2=3r4+6r2+1的正整数;当p≡19(mod24)时,该方程有解(x,y)=(r2+2,rs),其中s是适合ps2=r4+6r2+12的正整数.     

关于Diophantine方程x~3-5~3=3py~2

设p是给定的素数,运用初等数论方法证明了方程x3-53=3py2有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的充要条件是p=Q(27a4+45a2+25),其中a是正整数,Q(27a4+45a2+25)是27a4+45a2+25的无平方因子部分.由此可知,当p≠7或13(mod30)时,该方程没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y).     

方程x~3-1=py~2有正整数解的判别条件

设p是适合p≡1(mod6)的奇素数.根据二次Diophantine方程的性质,给出了方程x3-1=py2有正整数解(x,y)的新的判别条件.     

广义Brocard-Ramanujan方程x~2-D=y!解的上界

设D是无平方因子正整数,即D为不含任意素数p的方幂.运用初等方法及二次非剩余的性质,讨论了广义Brocard-Ramanujan方程x2-D=y!的正整数解(x,y)的上界估计问题,证明了该方程的正整数解(x,y)都满足y<4槡DlogD.     

Diophantine方程p~x+q~y=z~2（英文）

设p和q是两个奇素数,且p相似文献   

关于数论函数方程σ(x~3)=y~2的一点注记

对于正整数a,设σ(a)是a的所有约数之和.设p是奇素数,r和s是正整数.文中证明了当x=2rps时,若方程σ(x~3)=y~2满足下列条件之一:(ⅰ)2■r,p≡1(mod 6);(ⅱ)2■r,p≡5(mod 6),2|s;(ⅲ)2■rs,p是Fermat数,则σ(x~3)=y~2没有正整数解(x,y).     

关于Diophantine方程组x+1=3pqa~2,x~2-x+1=3b~2

设p,q是适合3pq的奇素数.根据二次和四次Diophantine方程的结果,运用初等数论方法证明当且仅当(p,q)=(7,13)时方程组x+1=3pqa~2,x~2-x+1=3b~2有正整数解(x,a,b)=(4 367,4,2 521).     

关于指数Diophantine方程x^2＋2^（2m）=y^n

运用Lucas数本原素因数存在性的结果讨论方程x^2＋2^2m=y^n的正整数解（x,y,m,n）,证明了该方程仅有正整数解（x,y,m,n）=（2^（n-1）/2,2^r（rs-1）/2,s）和（2^3k.11,2^2k.5,3k＋1,3）适合n〉2,其中r和s是适合s〉2的正奇数,k是非负整数.     

Peter组的一个应用

设D是无平方因子正整数．运用Peter组的性质讨论了Pell方程x2-py2=-1的可解性,证明了当D=2p,其中P是适合P兰5（mod8）的奇素数;或者D—Pq,其中P和q是适合P三q兰1（mod4）以及（p／g）=-1的奇素数,方程X2-Dy2=-1有正整数解（z,y）．     

一类包含Smarandache对偶函数方程的解

橙 n ∈ N＋，Smarandache对偶函数s＊（n）定义为最大的正整数m ，使得m！｜ n 。利用初等数论的方法，研究了Smarandache对偶函数方程∑d｜n 1s＊（d）＝ω（n）Ω（n）的可解性，并获得了该方程的所有正整数解。     

关于Smarandache函数的一个方程

n∈N+,著名的伪Smarandache函数Z(n)定义为满足∑mk=1k能被n整除的最小正整数m,即Z(n)=min{m:n|(m(m+1))/2}.Smarandache互反函数Sc(n)定义为满足y|n!且1≤y≤m的最大正整数m,即Sc(n)=max{m:y|n!,1≤y≤m;m+1 n!}.借助同余方程,利用初等方法,分析数论函数性质,研究了包含伪Smarandache函数Z(n),Smarandache互反函数Sc(n)的方程Sc(n)+Z(n)=2n的解的问题,并给出一些有趣的结果.     

一个包含Smarandache函数S（n）和Z1（n）的方程及其整数解

对任意正整数n,著名的Smarandache函数S（n）定义为S（n）=min{m：m∈N,n｜m!）,而伪Smarandache函数Z1（n）定义为Z1（n）=min{m：m∈N,n｜1^2＋2^2＋…＋m^2）．研究方程Z1（n）＋1=S（n）的可解性,并利用初等方法得到了该方程的所有正整数解,同时也给出了所有解的具体表示形式．     

关于一类整值多项式平方数的研究

运用Pell方程的性质讨论了形如f（n,z）的平方数,其中f（n,z）=1＋（1／2）n。x（x＋1）,n,z∈N＋．证明了对于任意给定的正整数,存在无穷多个正整数X可使f（n,z）是平方数．