Bounds for the dislocation densities and the stress intensity factors in elastic crack problems

A method for obtaining bounds for the dislocations density along a crack and for the stress intensity factors at the tips of the crack inside an elastic medium under plane (or antiplane) conditions is proposed. This method is based on the reduction of such a crack problem to a Cauchy type singular integral equation and the transfer of well-known results for Fredholm integral equations of the second kind to the case of Cauchy type singular integral equations. The results of the paper are of particular interest in the problems where we wish to know if the values of the stress intensity factors at the tips of the crack exceed or not a critical value. Four applications to simple plane and antiplane elasticity problems are made for the illustration of the theoretical results.

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Résumé Une méthode pour obtenir des bornes pour la densité des dislocations le long d'une fissure et pour les facteurs d'intensité de contrainte aux extrémités de la fissure dans un milieu élastique à conditions planes (ou antiplanes) est proposée. Cette méthode se base à la réduction d'un tel problème de fissure à une équation intégrale singulière du type de Cauchy et au transfert des résultats bien connus pour des équations intégrales du type de Fredholm de deuxième espèce au cas des équations intégrales singulières du type de Cauchy. Les résultats de cet article sont d'intérêt particulier aux problèmes où nous désirons savoir si les valeurs des facteurs d'intensité de contrainte aux extrémités de la fissure excéder ou non une valeur critique. Quatre applications aux problèmes simples de l'élasticité plane et antiplane sont faites pour l'illustration des résultats théoriques.

     

On some numerical methods for the solution of the plane elasticity problem for bodies with cracks by means of singular integral equations

Comparison is given of the accuracy of calculation of stress intensity factors at the crack tips by various methods when solving plane elasticity problems for bodies with cruciform and edge cracks. It is shown that, within the range of quadrature formulas for singular integrals discussed, the type of the formula chosen for the solution of an equation, if used correctly, affects negligibly the accuracy of the stress intensity factor evaluation at the crack tip, and in view of this a method is proposed based on simple relationships.

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Résumé On compare l'exactitude des calculs des facteurs d'intensité de contrainte aux extrémités d'une fissure à l'aide de diverses méthodes à l'occasion de la solution de problèmes d'élasticité plane dans des corps présentant des fissures cruciformes et des fissures de bord. On montre que dans les limites des formules de quadrature des intégrales singulières qui sont discutées, le type de formule choisie pour la solution d'une équation n'a qu'une influence négligeable si elle est utilisée correctement sur l'exactitude du facteur d'intensité de contrainte évalué à l'extrémité de la fissure. Dans cette optique, on propose une méthode basée sur des relations simples.

     

A boundary integral solution for the problem of multiple interacting cracks in an elastic material

A boundary integral equation method for the solution of a class of two-dimensional elasticity problems involving multiple interacting cracks in an elastic material is presented. The method is used to obtain a procedure for the numerical evaluation of the crack tip stress intensity factors for this class of problems. The stress intensity factors for some specific problems are computed using this procedure.

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Résumé On présente une méthode par équations intégrales de contour pour solutionner une classe de problèmes d'élasticité bidimensionnelle comportant de multiples fissures interactives dans un matériau élastique. On utilise la méthode pour obtenir une procédure d'évaluation numérique des facteurs d'intensité de contraintes à l'extrémité de la fissure, pour cette classe de problèmes. En utilisant cette procédure, on peut calculer les facteurs d'intensité de contraintes correspondant à divers problèmes spécifiques.

     

On the finite element method for calculating stress intensity factors with a modified elliptical model

A finite element method based on the modification of the elliptical displacement function model developed earlier by the authors is presented for the determination of stress intensity factors in cracked bodies. The modified elliptical model not only retains the simplicity of the original method in describing stress conditions at the crack tips but also extends the application of the method to cases where the elliptical shape of the crack surface is not entirely preserved. The present method avoids the need for successive computations of several strain energies in a cracked body as required by the strain energy approach and of high concentration of very fine elements at the crack tip by the conventional stress approach.

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Résumé On présente une méthode par éléments finis basée sur la modification du modèle de la fonction de déplacements elliptiques développée précédemment par les auteurs, pour déterminer les facteurs d'intensité des contraintes dans des solides fissurés. Le modèle modifié conserve la simplicité de la méthode originale pour décrire les conditions de contraintes aux extrémités d'une fissure. En outre, il permet d'étudier son application à des cas où la forme de la surface de la fissure n'est pas rigoureusement elliptique.La méthode proposée évite de devoir procéder à des calculs en série de plusieurs énergies de déformation dans le corps fissuré, ainsi que le requiert l'approche basée sur l'énergie de déformation. Elle permet aussi de ne pas devoir calculer des concentrations importantes d'éléments à très petites mailles à l'extrémité de la fissure, ainsi que l'exige l'approche concentionnelle basée sur les contraintes.

     

An improved analysis of the potential drop method for measuring crack lengths in compact tension specimens

A single-parameter logarithmic equation is suggested for the calibration of the potential drop method for measuring crack length in compact tension specimens. This equation follows the correct asymptotic solution for long crack lengths and is shown to hold for even very short crack lengths for specimens with a small notch. Use of this equation provides a first step towards evaluation of calibration fata for anomalies such as those associated with variation of electrical conductivity due to plasticity of the crack tip and with uneven crack growth. In addition, use of this equation as a two-parameter model allows determination of the electrical resistivity of the specimen from the calibration data. Data are presented for specimens with large notches which support the results obtained in a previous paper by a numerical method coupled with conformal mapping.

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Résumé On suggère une équation logarithmique à paramètre simple pour l'étalonnage de la méthode de la chute potentielle, applicable à la mesure des longueurs de fissure dans des éprouvettes de traction compactes. Cette équation est conforme à la solution asymptotique correcte pour les fissures longues, et on montre qu'elle est applicable même pour des fissures très courtes dans la cas d'éprouvette comportant une petite entaille.L'utilisation de cette équation permet l'évaluation des données d'étalonnage dans le cas d'anomalies telles que celles qui sont associées à une variation de la conductibilité électrique due à la plasticité à l'extrémité de la fissure, et en présence d'une croissance inégale de celle-ci.En outre, l'utilisation de cette équation comme modèle à deux paramètres permet la détermination de la résistivité électrique d'une éprouvette au départ de données d'étalonnage.Des données sont présentées pour des éprouvettes à grande entaille. Elles viennen àa l'appui des résultats obtenus dans un article précédant par une méthode numérique associée à une représentation conforme.

     

The numerical evaluation of a class of generalized stress intensity factors by use of the Lobatto-Jacobi numerical integration rule

The Lobatto-Jacobi method of numerical solution of Cauchy type singular integral equations and determination of stress intensity factors, based on the use of the corresponding numerical integration rule, was modified so as to become applicable to the evaluation of a special class of generalized stress intensity factors associated with a real singularity. The same technique can also be used for the evaluation of generalized stress intensity factors associated with a pair of complex conjugate singularities. An application of the method to a plane elasticity problem is also made. Finally, the modification of the method valid for a pair of complex conjugate singularities is illustrated in detail in a numerical example.

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Résumé La méthode Lobatto-Jacobi pour la solution numérique des équations singulières intégrales de type Cauchy et la détermination des facteurs d'intensité des contraintes, se basant à l'utilisation de la méthode correspondante d'intégration numérique, est modifiée afin qu'elle devienne applicable à l'évaluation d'une classe spéciale de facteurs d'intensité des contraintes associés à une singularité réelle. La même technique peut également être utilisée pour l'évaluation des facteurs d'intensité des contraintes generalisés, associés à une paire des singularités complexes conjuguées. Une application de la méthode à un probléme de l'élasticité antiplane est aussi faite. Finalement, la modification de la méthode valable pour une paire des singularités complexes conjuguées est illustrée en détail à un example numérique.

     

Somewhat circular tensile cracks

In this paper we apply the method developed by Rice [1], of solving for the elastic field of a crack with a front perturbed from some reference shape, to solve the elasticity problems of somewhat circular planar tensile cracks under arbitrary load distributions. The method is based on a known solution for the stress intensity factor along a circular crack due to a pair of wedge-opening point forces on its surfaces. A full solution, accurate to first order in the deviation from a circular shape, is derived for the stress intensity factor and the crack opening displacement distributions. The results of a perturbation in a harmonic wave form suggest that a circular crack, under axially symmetric loading, can be configurationally unstable (not grow as a circle) for loadings that increase in intensity with distance from the center. Circular cracks with harmonic shape perturbations are found to have the same form of variation of the stress intensity factor with arc length along the crack edge (to first order accuracy) as found in previous work for a half plane crack. As a test case for the perturbation solution, an elliptical planar tensile crack under uniform tension is viewed as being perturbed from a circular crack. Results derived from the perturbation formulae through numerical evaluation are compared with the exact solutions existing in the literature. The perturbation results show a very good match with the exact solutions even when the semi-axis lengths of the elliptical crack differ by a factor of two (and by as much as a factor of three when special choices of the reference circular crack location are made). This suggests that the perturbation procedure presented here, while theoretically exact only to first order, can be used to produce acceptable results for some planar cracks whose shapes deviate appreciably from a circle.

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Résumé On applique la méthode proposée par Rice (1985) pour la solution du champ élastique d'une fissure dont le front s'écarte d'une forme de référence, à la solution des problèmes d'élasticité relatifs à des fissure planaires sensiblement circulaires et soumises à tension sous l'effet de distribution de charges arbitraires. La méthode est basée sur la connaissance du facteur d'intensité de contraintes le long d'une fissure circulaire, soumise à un couple de forces d'ouverture par coin qui agissent sur sa surface. Pour ce facteur d'intensité de contrainte et des distributions données du déplacement d'ouverture de la fissure, on déduit une solution complète, exacte au premier ordre, décrivant la déviation par rapport à la forme circulaire. Les résultats obtenus pour une perturbation suivant une onde harmonique suggérent qu'une fissure circulaire soumise à sollicitation axi-symétrique, peut présenter une configuration instable, c'est-à-dire croîte selon une forme autre que circulaire, en présence de sollicitations croissant en intensité au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre. La même forme de variation en fonction de la longueur d'arc le long du bord de la fissure est constatée pour des fissures circulaires soumis à des perturbations de forme harmonique, en ce qui regarde le facteur d'intensité de contraintes; ceci avait été trouvé dans un travail précédent pour des fissures hémiplanaires. Pour tester la solution des perturbations, on considère qu'une fissure elliptique plane sous tension est une évolution perturbée d'une fissure circulaire. On compare les résultats dérivés des formules de perturbations et mis sous forme numérique aux solutions exactes disponibles dans la littérature. On trouve que l'accord est excellent, même dans le cas où les longueurs des demi-axes de l'ellipse sont dans un rapport de deux (voire trois) pour des conditions spéciales de position de la fissure circulaire de référence. Ceci suggère que la méthode des perturbations présentées, si elle n'est théoriquement exacte que pour le premier ordre, peut à l'usage produire des résultats acceptables dans le cas de fissures planaires dont la forme dévie de manière appréciable d'une forme circulaire.

     

Fracture of nonhomogeneous materials

The nonhomogeneous materials considered in this work are of a class whose elastic moduli are specified by continuous and generally differentiable functions of the spatial coordinates. The elastic stress and displacement fields near a crack tip in a two-dimensional nonhomogeneous cracked body are derived utilizing an extension of the Wiliams eigenfunction expansion technique. The nature of the stress and strain singularity is ascertained to be precisely of the same form as the well-known inverse square root stress singularity near a crack tip in a homogeneous material, independent of the functional form of the elastic moduli variation. A new quasipath-independent integral has been generated which proves useful for computing the energy release rate and mixed-mode stress intensity factors in nonhomogeneous cracked bodies. The integral is used in conjunction with finite element analysis for purposes of computing stress intensity factors. Numerical results are compared with certain exact solutions which are available for nonhomogeneous cracked bodies. Cracked composite bodies have traditionally been modeled and analyzed as possessing discontinuous elastic moduli, but are treated here as having rapid, but smooth variations of the material properties.

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Résumé Les matériaux non homogène pris en considération dans ce travail entrent dans une classe dont les modules d'élasticité sont des fonctions continues, et généralement différentielles, des coordonnées spaciales. On deduit les champs de contraintes élastiques et de déplacements au voisinage de l'extrémité d'une fissure dans un corps non homogène à deux dimensions et fissuré, en recourant à une extension de la technique d'expansion d'une eigen-fonction due à Williams. On constate que la nature de la singularité de contrainte et de déformation est précisément de la même forme que la singularité bien connue, en forme de l'inverse de la racine carrée de la contrainte, au voisinage de l'extrémité d'une fissure dans un matériau homogène, indépendamment de la forme analytique de vatiation du module d'élasticité. On établit une intégrale quasi indépendante du parcours, qui se révèle utile pour calculer la vitesse de dissipation de l'énergie et les facteurs d'intensité de contrainte correspondant à des modes mixtes, dans des corps non homogènes fissurés. L'intégrale est utilisée en association avec une analyse par éléments finis, en vue de calculer les facteurs d'intensité de contraintes. Les résultats numériques sont comparés à certaines solutions exactes disponibles pour des corps non homogènes fissurés. Les corps fissurés en matériaux composites ont été traditionnellement modélisés et analysés comme s'il présentaient des modules d'élasticité discontinus. Ils sont traités ici comme des corps présentant des variations rapides mais continues des propriétés de matériaux qui les constituent.

     

Stress singularities in composite materials with an arbitrarily oriented crack meeting an interface

The plane, bending and antiplane strain elastostatic problems for two bonded half planes containing an arbitrarily oriented semi-infinite crack meeting the interface, are examined. A simple analogy between the interfacial continuity conditions for the plane and bending problems is derived and its implications are discussed. Using the eigenfunction-expansion method the crack tip stress singularities for various crack orientations and material combinations are compared for the three problems. It is shown that, under certain conditions, singularities are no longer present in the stress field. In the case of the antiplane strain problem subsequent paths of crack propagation are predicted.

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Résumé On examine des problèmes élasto-statiques en déformation plane, de flexion, et antiplanaire rencontrés dans deux demi-plans solidaires comportant, dans leur interface, une fissure semi-infinie orientée arbitrairement. On tire une analogie simple entre les conditions de continuité et interfaciales qui se présentent dans le cas des problèmes plans et flexionnels; ses implications sont discutées. En utilisant une méthode d'expansion d'une eigenfonction, on peut comparer les singularités de contraintes aux extrémités de la fissure, pour diverses orientations de la fissure et de combinaisons de matériaux différents. On montre que, sous certaines conditions, le champ de contraintes peut ne plus présenter de singularités. On peut par ailleurs prédire les chemins de la propagation d'une fissure dans le cas d'une déformation antiplanaire.

     

A boundary integral method for internal piece-wise smooth crack problems

A new boundary integral method for plane elasticity problems with internal piece-wise smooth cracks is presented. The method can be applied to both infinite and finite geometries. A numerical technique which combines a collocation method for the cracks and the standard BEM technique for the outer boundary is used to solve the integral equations. Numerical examples are presented and compared either to existing solutions or to FEM calculations. All of the results provided by the present method are shown to be very accurate for both smooth and kinked cracks in both finite and infinite geometries.

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Résumé On présente une nouvelle méthode par intégrale de contour pour solutionner des problèmes d'élasticité plane de géométries comportant des fissures lisses similaires à des pièces. Cette méthode est applicable à des géométries infinies ou finies. Pour solutionner les équations intégrales, on utilise une technique numérique combinant une méthode de collocation pour les fissures, et la technique standard BEM pour les limites extérieures. On compare les exemples numériques et on les compare aux solutions existantes ou aux résultats de calculs par éléments finis. On montre que les résultats présentés par la présente méthode sont très précis pour des fissures lisses ou tourmentées, dans des géométries finies ou infinies.

     

On the accuracy of the Cruse-Besuner weight function approximation for two-dimensional cracks

The Cruse-Besuner method for calculating energy release rates or weighted stress intensity factors for semi-elliptical surface cracks is based on some assumptions. To check the accuracy of this method an internal elliptical crack under roof-shaped stress distribution is considered. The deviations from the exact solution are in the order of about 3%. From these results also for surface cracks in bending the same accuracies can be expected.

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Résumé On sait que la méthode de Gruse-Besuner pour le calcul des vitesses de relaxation de l'énergie ou des facteurs pondérés d'intensité de contraintes relatifs à des fissures de surface semi-elliptiques est basée sur certaines hypothèses.En vue de vérifier la précision de cette méthode, on considère une fissure elliptique interne soumise à une distribution triangulaire de contraintes. On constate que les écarts par rapport à la solution exacte sont de l'ordre de 3%.A partir de ces résultats, on peut s'attendre à une précision semblable pour des fissures de surface soumises à contraintes de flexion.

     

The use of the J-integral in thermal stress crack problems

Methods of using the J-line integral to extract the magnitude of crack tip stress intensity factors from finite element solutions for thermal stress crack problems are presented. The properties of the J-line integral in the presence of thermal stresses are determined. From these properties a procedure for calculating crack tip stress intensity factors is developed. Also a superposition method involving crack surface tractions is presented for thermal stress crack problems. In this procedure the J-line integral path must include segments of the crack surface. All methods developed are illustrated by numerical examples.

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Résumé On présente des méthodes pour utiliser l'intégrale J linéaire afin de dériver l'amplitude des facteurs d'intensité de contraintes à l'extrémité d'une fissure à partir d'éléments finis et dans le cas de problème de fissuration par contrainte thermique. Les propriétés de l'intégrale J-linéaire en présence des contraintes thermiques sont déterminées. Pour ces propriétés, on développe une procédure pour le calcul des facteurs d'intensité de contraintes à l'extrémité de la fissure. On présente également une méthode par superposition conportant des tractions sur la surface de la fissure dans le cas de problèmes de fissuration sous contraintes thermiques. Suivant cette procédure, le chemin de l'intégrale J linéaire doit inclure des segments de la surface fissurée. Toutes les méthodes développées sont illustrées à l'aide d'exemples numériques.

     

Use of finite element method for determining stress intensity factors with a conic-section simulation model of crack surface

A method for the determination of the stress intensity factors of a cracked body using a conic-section-simulation model of the crack surface is presented. Stress distribution around the crack is determined using a finite element code having the elastic crack tip singularity 1/r. This method improves the accuracy of the stress intensity factor values and is simple enough to be used with most standard isoparametric finite element programs. The method also eliminates the necessity of extrapolation to estimate the stress intensity factors at the crack tip.

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Résumé On présente une méthode pour déterminer les facteurs d'intensité de contrainte d'un corps fissuré en utilisant un modèle de simulation à section conique de la surface de la fissure. La distribution des contraintes aux alentours de la fissure est déterminée en utilisant un code d'eléments finis possédant un singularité de l'extrémité élastique de la fissure 1/r. Cette méthode améliore la précision des valeurs de facteur d'intensité de contrainte et est suffisamment simple pour être utilisée dans la plupart des programmes d'élément fini standard isoparamétrique. La méthode élimine également la nécessité d'extrapoler à des valeurs estimées des facteurs d'intensité de contrainte aux extrémités de la fissure.

     

On the use of special crack tip elements in cracked elastic sheets

This paper presents a finite element method for determining the stress intensity factor in a cracked elastic sheet. Special cracked elements are placed around each crack tip; in each special element the stresses and displacements are derived from the exact stress function while the continuity of the displacements at the nodes is satisfied in a least square sense. A general procedure for evaluating the stiffness matrix of a cracked isotropic, or orthotropic, element is presented, and the numerical results obtained are compared with exact analytical results.

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Résumé Le mémoire présente une méthode par éléments finis pour déterminer le facteur d'intensité de contrainte dans un feuillard élastique fissuré. Des éléments spéciaux, présentant des fissures, sont disposés autour de chaque extrémité de fissures. Dans chacun de ces éléments spéciaux, les contraintes et les déplacements sont déduits de la fonction exacte d'une contrainte tandis que la continuité des déplacements aux noeuds satisfait à une règle des moindres carrés. Une procédure générale pour l'évaluation de la matrice de rigidité d'un élément fissuré à caractère isotrope ou orthotrope est présentée, et les résultats numériques obtenus sont comparés avec les résultats analytiques exacts.

     

A mixed-mode crack analysis of rectilinear anisotropic solids using conservation laws of elasticity

A very simple and convenient method of analysis for studying two-dimensional mixed-mode crack problems in rectilinear anisotropic solids is presented. The analysis is formulated on the basis of conservation laws of anisotropic elasticity and of fundamental relationships in anisotropic fracture mechanics. The problem is reduced to a system of linear algebraic equations in mixed-mode stress intensity factors. One of the salient features of the present approach is that it can determine directly the mixed-mode stress intensity solutions from the conservation integrals evaluated along a path removed from the crack-tip region without the need of solving the corresponding complex near-field boundary value problem. Several examples with solutions available in the literature are solved to ensure the accuracy of the current analysis. This method is further demonstrated to be superior to other approaches in its numerical simplicity and computational efficiency. Solutions of more complicated and practical engineering problems dealing with the crack emanating from a circular hole in composites are presented also to illustrate the capacity of this method.

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Résumé On présente une méthode d'analyse simple et bien adaptée à l'étude de problèmes de fissuration bidimensionnelle de mode mixte dans des solides rectilinéaires anisotropes. L'analyse est formulée sur la base des lois de conservation de l'élasticité anisotrope et sur les relations fondamentales dans la mécanique de rupture anisotrope. Le problème est ramené à un système d'équations algébriques linéaires exprimant les facteurs d'intensité d'entaille pour un mode mixte. L'un des faits saillants de l'approche envisagée est qu'elle peut déterminer directement les solutions d'intensité de contrainte suivant un mode mixte à partir des intégrales de conservation évaluées le long d'un parcours éloigné par rapport à l'extrémité de la fissure, sans qu'il soit nécessaire de résoudre le problème correspondant de la valeur du champ proche complexe. Divers exemples, ainsi que des solutions disponibles dans la littérature, sont résolus et confrontés en vue de tester la fiabilité de l'analyse réalisée. La méthode s'avère supérieure aux autres approches de par sa simplicité numérique et son efficacité de calcul. Des solutions à des problèmes plus compliqués et pratiques rencontrés en ingénièrie où une fissure émane d'un trou circulaire dans des matières composites sont également présentées, en vue d'illustrer les capacités de cette méthode.

     

An effective numerical stress intensity factor calculation with no crack discretization

An effective numerical procedure for calculating stress intensity factors (SIF) in plane problems based on a modified boundary element technique not requiring any crack discretization was proposed by Snyder [1]. Instead of the usual fundamental solution, he used Green's function for the problem of a traction-free central crack in an anisotropic plate.In the first part of the present paper, the corresponding Green's function for the isotropic problem, not explicitly included in [1], is presented. In addition to the central crack, a semi-infinite edge crack is considered. Both Green's functions are given for the case of the anti-plane state of strain as well. In the first step of the proposed procedure, the tractions and displacements along the outer boundary are calculated. In the second step, the SIF for modes I, II and III are derived in terms of simple boundary integrals over quantities known from the previous step. Contrary to Snyder's derivation, the determination of the SIF is based on the asymptotic displacement field at the crack tip. The method can easily be extended to multiple crack problems by using the subregion technique. Some illustrative examples demonstrate the effectiveness of the method.

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Résumé Snyder a proposé une procédure numérique pour le calcul des facteurs et intensité de contraintes dans les problèmes plans, en se basant sur une modification de la technique des éléments aux limites ne requérant pas de discrétisation de la fissure. Au lieu d'une solution fondamentale habituelle, il a utilisé une fonction de Green pour traiter le problème d'une fissure centrale libre de contraintes dans un plaque anisotrope.Dans la première partie de la présente étude, on présente la fonction de Green qui correspond à un problème isotrope, qui n'était pas explicitement couvert par le travail de Snyder. Outre le cas de la fissure centrale, on considère le cas de la fissure de bord dans un milieu semi-infini. Les deux fonctions de Green relatives au cas d'un état de déformation antiplanaire sont également communiquées. Dans une première étape de la procédure proposée, on calcule les sollicitations et déplacements le long du contour extérieur; dans une deuxième étape, on établit les facteurs d'intensité de contraintes relatifs aux modes I, II et III en terms d'intégrals sur un contour simple défini par les valeurs résultant de l'étape précédente. Contraitement à l'approche de Snyder, on détermine le facteur d'intensité des contraintes sur base du champs de déplacement asymptotique à l'extrémité de la fissure. Par la technique des sous-régions, on peut aisément étendre la méthode à des problèmes de fissuration multiples. L'efficacité de la méthode est illustrée par divers exemples.

     

Energy convergence and evaluation of stress intensity factor K 1 for stress singular problems by mixed finite element method

The energy convergence of stress singular problems using the mixed finite element method is established. A mixed finite element method for determination of elastic crack tip stress intensity factor by energy release rate is also presented. It is shown through numerical examples that the mixed method has excellent potential for approximate analysis of stress singular problems.

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Résumé On établit la convergence d'énergie dans des problèmes singuliers de contrainte en utilisant une méthode d'éléments finis mixtes. La méthode d'éléments finis mixte pour la détermination du facteur d'intensité des contraintes au sommet d'une fissure est également présentée dans le cas où l'énergie se détend avec une certaine vitesse. On montre à l'aide d'exemples numériques que la méthode mixte présente une potentialité excellente pour une analyse approximative des problèmes singuliers de contraintes.

     

Dynamic fields near a collinear macrocrack-microcrack configuration under antiplane impact loading

Dynamic interaction between a macrocrack and a collinear, neighboring microcrack is investigated. The mathematical formulation presented here is two-dimensional, and for a state of antiplane strain. A time-domain boundary integral equation method is presented to calculate elastodynamic stress intensity factors generated by the incidence of stress (or displacement) pulses on single cracks and systems of two collinear cracks. As a check of the time-stepping technique presented here, numerical calculations have been carried out for pulse incidence on a single crack, and the results have been compared with those of other authors. For macrocrack-microcrack configurations the variation of the effective stress intensity factors at the tips of the macrocrack with time, with the microcrack location, and with the microcrack size will be displayed and discussed.

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Résumé On étudie l'interaction dynamique entre une macrofissure et une microfissure colinéaire voisine. La formulation mathématique présentée est à deux dimensions et relative à un état de déformations antiplanaires. On présente une méthode à intégrales permettant de calculer les facteurs d'intensité de contraintes élastodynamiques dus à l'effet de pics de contraintes ou de déplacements sur des fissures simples ou sur des systèmes de deux fissures colinéaires. Pour contrôler la technique présentée, des calculs numériques sont effectués pour l'effet d'une impulsion sur une fissure simple, et les résultats sont comparés avec ceux d'autres auteurs. Pour des configurations macro-microfissure, on établit et on discute la variation des facteurs d'intensité de contraintes aux extrémités de la macrofissure en fonction du temps, de la position de la microfissure et de sa dimension.

     

Asymptotic solution of three-dimensional elasticity problems of elongated plane tensile cracks

Three-dimensional elasticity problems of plane tensile crack elongated along the plane curve are considered. The asymptotic solution of the problems is obtained by the method of outer and inner expansions applied directly to the two-dimensional integro-differential equation for the displacement of crack surface points. The formulae for crack opening and distribution of stress intensity factors are derived for various crack forms. Some estimates are found of the stress intensity factor in the small neighbourhoods of ends of the curve along which the crack extends and where the above mentioned asymptotic formulae don't hold. Comparison of obtained results with known analytical and numerical solutions demonstrates the high efficiency of our formulae.

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Résumé On considère les problèmes élastiques à trois dimensions caractérisant une fissure plane de traction s'étendant le long d'un plan. On obtient une solution asymptotiques en appliquant intégrodifférentielle à deux dimensions qui caractérise le déplacement des points de la surface de la fissure.On déduit les formules d'ouvertures de la fissure et de distribution des facteurs d'intensité de contrainte, pour diverses formes de fissures. On établit une estimation du facteur d'intensité d'entaille dans le proche voisinage des extrémités de la courbe le long de laquelle s'étend la fissure, et où ne s'appliquent pas les formules asymptotiques décrites ci-dessus.Une comparaison avec des résultats obtenus par des méthodes analytiques et numériques connues démontre que les formules proposées donnent entière satisfaction.

     

Stress intensity factor for a plane crack under normal pressure

The problem of a plane crack in an infinite solid under normal internal pressure is formulated to result in an integral equation for the unknown normal stresses on the plane of the crack. Once these stresses are determined the stress intensity factor, K _I, around the crack edge and the normal displacements of points inside the crack region are obtained numerically. The crack contour shape and the normal loading of the crack can be arbitrary. In this paper the integral equation is solved numerically and the stress intensity factor, K _I, is obtained for cracks subjected to uniform and linearly varying normal pressure and having various convex contour shapes.

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Résumé En formulant le problème de la fissure plane dans un solide infini soumis à une pression interne normale, on aboutit à une équation intégrale pour les contraintes normales inconnues dans le plan de la fissure. Lorsque ces contraintes sont déterminées, le facteur d'intensité des contraintes K _I au bord de la fissure et les déplacements normaux des points situés à l'intérieur de la région de la fissure, peuvent être obtenus par voie numérique. La forme du contour de la fissure et la charge normale sur la fissure peuvent être arbitraires. Dans ce mémoire, l'équation intégrale est résolue par voie numérique et le facteur d'intensité des contraintes K _I est obtenu dans le cas de fissures soumises à une pression normale uniforme et variant linéairement, ces fissures ayant des contours divers de forme convexe.